Home 数学 线性代数

线性空间是线性代数中最大的舞台，毫无疑问线性映射就是其中最重要的主角

# 线性映射

定义
令 V,WV, W 分别为 F\mathbb F 上的线性空间
称映射 f:V→Wf: V \to W 为从 VV 到 WW 的 线性映射 (Linear Map)「線形写像」，当且仅当对于任意 u,v∈V\boldsymbol u, \boldsymbol v \in V 以及任意 k∈Fk \in \mathbb F，均满足：

  • ∀u,v∈V,f(u+v)=f(u)+f(v){}^\forall \boldsymbol u, \boldsymbol v \in V, \quad f(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = f(\boldsymbol u) + f(\boldsymbol v)
  • ∀v∈V,∀k∈F,f(kv)=kf(v){}^\forall \boldsymbol v \in V, {}^\forall k \in \mathbb F, \quad f(k \boldsymbol v) = k f(\boldsymbol v)
  • 特别地，称 VV 到 VV 的线性映射为 线性变换

由于 V,WV, W 均为线性空间，为了区分不同空间中不同的元，通常记二者的零元分别为 0V,0W\boldsymbol 0_V, \boldsymbol 0_W
线性映射最基本的性质保证了：构成整个线性空间的核心（零元）是相连的

f(0V)=f(0⋅v)=0⋅f(v)=0Wf(\boldsymbol 0_V) = f(0 \cdot \boldsymbol v) = 0 \cdot f(\boldsymbol v) = \boldsymbol 0_W

示例
映射 f:R3→R2f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2，

f(x1x2x3)=(2x1+3x2−x2+4x3)f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + 3x_2 \\ -x_2 + 4x_3 \end{pmatrix}

成为一个线性映射

证明

对于任意 u=(u1u2u3),v=(v1v2v3)∈R3\boldsymbol u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3，以及任意 k∈Rk \in \mathbb R，有

f(u+v)=f(u1+v1u2+v2u3+v3)=(2(u1+v1)+3(u2+v2)−(u2+v2)+4(u3+v3))=((2u1+3u2)+(2v1+3v2)(−u2+4u3)+(−v2+4v3))=f(u)+f(v)\begin{aligned} f(\boldsymbol u + \boldsymbol v) &= f\begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(u_1 + v_1) + 3(u_2 + v_2) \\ -(u_2 + v_2) + 4(u_3 + v_3) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (2u_1 + 3u_2) + (2v_1 + 3v_2) \\ (-u_2 + 4u_3) + (-v_2 + 4v_3) \end{pmatrix} = f(\boldsymbol u) + f(\boldsymbol v) \end{aligned}

以及

f(kv)=f(kv1kv2kv3)=(2(kv1)+3(kv2)−(kv2)+4(kv3))=k(2v1+3v2−v2+4v3)=kf(v)\begin{aligned} f(k \boldsymbol v) &= f\begin{pmatrix} k v_1 \\ k v_2 \\ k v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(k v_1) + 3(k v_2) \\ -(k v_2) + 4(k v_3) \end{pmatrix} \\ &= k \begin{pmatrix} 2 v_1 + 3 v_2 \\ -v_2 + 4 v_3 \end{pmatrix} = k f(\boldsymbol v) \end{aligned}

因此 ff 为线性映射
□\square

线性映射最基本的性质是，只要确定了各个基的映射结果，线性映射是可以唯一确定的

命题
令 V,WV, W 分别为域 F\mathbb F 上的线性空间，取 VV 的一组基底 A={a1,a2,…,an}\mathscr A = \{\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_n\}
对于任意 WW 中的元 b1,b2,…,bn\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_n，存在唯一的线性映射 f:V→Wf: V \to W，使得

f(ai)=bi,i=1,2,…,nf(\boldsymbol a_i) = \boldsymbol b_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n

证明

任取向量 v∈V\boldsymbol v \in V，则 v\boldsymbol v 可唯一表示为基底 A\mathscr A 的线性组合形式

v=k1a1+k2a2+⋯+knan,k1,k2,…,kn∈F\boldsymbol v = k_1 \boldsymbol a_1 + k_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k_n \boldsymbol a_n, \quad k_1, k_2, \ldots, k_n \in \mathbb F

若 ff 是线性映射，那么

f(v)=f(k1a1+k2a2+⋯+knan)=k1f(a1)+k2f(a2)+⋯+knf(an)=k1b1+k2b2+⋯+knbn\begin{aligned} f(\boldsymbol v) &= f(k_1 \boldsymbol a_1 + k_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k_n \boldsymbol a_n) \\ &= k_1 f(\boldsymbol a_1) + k_2 f(\boldsymbol a_2) + \cdots + k_n f(\boldsymbol a_n) \\ &= k_1 \boldsymbol b_1 + k_2 \boldsymbol b_2 + \cdots + k_n \boldsymbol b_n \end{aligned}

这个值唯一确定了 ff 的取值，所以 ff 唯一确定
ff 本身是线性映射的验证是很简单的
□\square

命题
令 U,V,WU, V, W 分别为线性空间，映射 f:U→V,g:V→Wf: U \to V, g: V \to W 均为线性映射，则复合映射 g∘f:U→Wg \circ f: U \to W 也是线性映射

证明

取向量 a,b∈U\boldsymbol a, \boldsymbol b \in U 以及任意 k∈Fk \in \mathbb F，则

(g∘f)(a+b)=g(f(a+b))=g(f(a)+f(b))=g(f(a))+g(f(b))=(g∘f)(a)+(g∘f)(b)(g∘f)(ka)=g(f(ka))=g(kf(a))=kg(f(a))=k(g∘f)(a)\begin{aligned} (g \circ f)(\boldsymbol a + \boldsymbol b) &= g(f(\boldsymbol a + \boldsymbol b)) \\ &= g(f(\boldsymbol a) + f(\boldsymbol b)) \\ &= g(f(\boldsymbol a)) + g(f(\boldsymbol b)) \\ &= (g \circ f)(\boldsymbol a) + (g \circ f)(\boldsymbol b) \\ (g \circ f)(k \boldsymbol a) &= g(f(k \boldsymbol a)) \\ &= g(k f(\boldsymbol a)) \\ &= k g(f(\boldsymbol a)) \\ &= k (g \circ f)(\boldsymbol a) \end{aligned}

因此 g∘fg \circ f 为线性映射
□\square

线性使得反方向的移动（回溯）也是线性的

命题
若线性映射 f:V→Wf: V \to W 可逆，则其逆映射 f−1:W→Vf^{-1}: W \to V 也是线性映射

证明

取任意 w1,w2∈W\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2 \in W 以及任意 k∈Fk \in \mathbb F，则

f−1(w1+w2)=f−1(f(f−1(w1))+f(f−1(w2)))=f−1(f(f−1(w1)+f−1(w2)))=f−1(w1)+f−1(w2)f−1(kw1)=f−1(f(kf−1(w1)))=f−1(kf(f−1(w1)))=kf−1(w1)\begin{aligned} f^{-1}(\boldsymbol w_1 + \boldsymbol w_2) &= f^{-1}(f(f^{-1}(\boldsymbol w_1)) + f(f^{-1}(\boldsymbol w_2))) \\ &= f^{-1}(f(f^{-1}(\boldsymbol w_1) + f^{-1}(\boldsymbol w_2))) \\ &= f^{-1}(\boldsymbol w_1) + f^{-1}(\boldsymbol w_2) \\ f^{-1}(k \boldsymbol w_1) &= f^{-1}(f(k f^{-1}(\boldsymbol w_1))) \\ &= f^{-1}(k f(f^{-1}(\boldsymbol w_1))) \\ &= k f^{-1}(\boldsymbol w_1) \end{aligned}

因此 f−1f^{-1} 为线性映射
□\square

# 核与像

对于线性映射来说，以下两个集合（实际上是像和原象），是极其重要的概念

定义
令线性映射 f:V→Wf: V \to W

  • 定义 ff 的 核 (Kernel)「核」 为 \mathrm{Ker} f = \
  • 定义 ff 的 像 (Image)「像」 为 \mathrm{Im} f = \

命题
令线性映射 f:V→Wf: V \to W，则

  • 核 Kerf\mathrm{Ker} f 为 VV 的子空间
  • 像 Imf\mathrm{Im} f 为 WW 的子空间
证明

因为 f(0V)=0Wf(\boldsymbol 0_V) = \boldsymbol 0_W，所以 0V∈Kerf\boldsymbol 0_V \in \mathrm{Ker} f，0W∈Imf\boldsymbol 0_W \in \mathrm{Im} f

任取 u,v∈Kerf\boldsymbol u, \boldsymbol v \in \mathrm{Ker} f，则

f(u+v)=f(u)+f(v)=0W+0W=0Wf(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = f(\boldsymbol u) + f(\boldsymbol v) = \boldsymbol 0_W + \boldsymbol 0_W = \boldsymbol 0_W

所以 u+v∈Kerf\boldsymbol u + \boldsymbol v \in \mathrm{Ker} f
任取 u,v∈Imf\boldsymbol u, \boldsymbol v \in \mathrm{Im} f，则存在 u′,v′∈V\boldsymbol u', \boldsymbol v' \in V，使得 u=f(u′),v=f(v′)\boldsymbol u = f(\boldsymbol u'), \boldsymbol v = f(\boldsymbol v')，所以

f(u′+v′)=f(u′)+f(v′)=u+vf(\boldsymbol u' + \boldsymbol v') = f(\boldsymbol u') + f(\boldsymbol v') = \boldsymbol u + \boldsymbol v

所以 u+v∈Imf\boldsymbol u + \boldsymbol v \in \mathrm{Im} f

任取 u∈Kerf\boldsymbol u \in \mathrm{Ker} f 以及任意 k∈Fk \in \mathbb F，则

f(ku)=kf(u)=k0W=0Wf(k \boldsymbol u) = k f(\boldsymbol u) = k \boldsymbol 0_W = \boldsymbol 0_W

所以 ku∈Kerfk \boldsymbol u \in \mathrm{Ker} f
任取 u∈Imf\boldsymbol u \in \mathrm{Im} f 以及任意 k∈Fk \in \mathbb F，则存在 u′∈V\boldsymbol u' \in V，使得 u=f(u′)\boldsymbol u = f(\boldsymbol u')，所以

f(ku′)=kf(u′)=kuf(k \boldsymbol u') = k f(\boldsymbol u') = k \boldsymbol u

所以 ku∈Imfk \boldsymbol u \in \mathrm{Im} f

因此 Kerf\mathrm{Ker} f 为 VV 的子空间，Imf\mathrm{Im} f 为 WW 的子空间
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显然像无非就是值域，所以满射等价于像等于整个陪域
另一边，单射要求元一一对应，这将不允许有第二个可以映射到零元的元存在，所以单射等价于核仅包含零元

命题
令线性映射 f:V→Wf: V \to W，则

  1. ff 为单射，当且仅当 \mathrm{Ker} f = \
  2. ff 为满射，当且仅当 Imf=W\mathrm{Im} f = W
证明

(1)
(⇒\Rightarrow)
假设 ff 为单射，取任意 v∈Kerf\boldsymbol v \in \mathrm{Ker} f，则 f(v)=0W=f(0V)f(\boldsymbol v) = \boldsymbol 0_W = f(\boldsymbol 0_V)
因为 ff 为单射，所以 v=0V\boldsymbol v = \boldsymbol 0_V，因此 \mathrm{Ker} f = \

(⇐\Leftarrow)
假设 Kerf={0V}\mathrm{Ker} f = \{\boldsymbol 0_V\}，取任意 u,v∈V\boldsymbol u, \boldsymbol v \in V，使得 f(u)=f(v)f(\boldsymbol u) = f(\boldsymbol v)，那么

f(u−v)=f(u)−f(v)=0Wf(\boldsymbol u - \boldsymbol v) = f(\boldsymbol u) - f(\boldsymbol v) = \boldsymbol 0_W

所以 u−v∈Kerf={0V}\boldsymbol u - \boldsymbol v \in \mathrm{Ker} f = \{\boldsymbol 0_V\}，因此 u−v=0V\boldsymbol u - \boldsymbol v = \boldsymbol 0_V，即 u=v\boldsymbol u = \boldsymbol v，所以 ff 为单射

(2)
根据满射的定义显然等价
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若一个线性映射 f:V→Wf: V \to W 是双射的，这意味着其连接的两个线性空间从骨架上都是相等的，所以在线性的意义下相等
称这样的线性映射为 同构 (Isomorphism)「同型写像」，称 VV 与 WW 同构，并记作 V≅WV \cong W
实际上对于线性映射 f:V→Wf: V \to W，若 A\mathscr A 是 VV 的基

  • ff 单射 ⟺A\iff \mathscr A 的元线性无关
  • ff 满射 ⟺f(A)\iff f(\mathscr A) 生成 WW

所以 ff 为双射 ⟺f(A)\iff f(\mathscr A) 也是 WW 的基，这一点也可以得出结论：

V≅W⟺dim⁡V=dim⁡WV \cong W \iff \dim V = \dim W

注：同构 ≅\cong 是一种等价关系，不妨试着证明 U≅V,V≅W⟹U≅WU \cong V, V \cong W \implies U \cong W

命题
任意一个 nn 维线性空间 VV 与 Rn\mathbb R^n 同构

证明

取 VV 的基 底 A={a1,a2,…,an}\mathscr A = \{\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_n\}
定义映射 f:Rn→Vf: \mathbf R^n \to V，

f(x1x2⋮xn)=x1a1+x2a2+⋯+xnanf\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n

线性映射
直接代入任意两个向量与数验证

f(x1x2⋮xn)+f(y1y2⋮yn)=x1a1+x2a2+⋯+xnan+y1a1+y2a2+⋯+ynan=(x1+y1)a1+(x2+y2)a2+⋯+(xn+yn)an=f(x1+y1x2+y2⋮xn+yn)f(k(x1x2⋮xn))=f(kx1kx2⋮kxn)=kx1a1+kx2a2+⋯+kxnan=k(x1a1+x2a2+⋯+xnan)=kf(x1x2⋮xn)\begin{aligned} f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + f\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} &= x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n + y_1 \boldsymbol a_1 + y_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + y_n \boldsymbol a_n \\ &= (x_1 + y_1) \boldsymbol a_1 + (x_2 + y_2) \boldsymbol a_2 + \cdots + (x_n + y_n) \boldsymbol a_n \\ &= f\begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix} \\ f\left(k \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right) &= f\begin{pmatrix} k x_1 \\ k x_2 \\ \vdots \\ k x_n \end{pmatrix} \\ &= k x_1 \boldsymbol a_1 + k x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k x_n \boldsymbol a_n \\ &= k (x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \bold a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n) \\ &= k f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{aligned}

单射
取任意 x=(x1x2⋮xn),y=(y1y2⋮yn)∈Rn\boldsymbol x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \boldsymbol y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \in \mathbb R^n，使得 f(x)=f(y)f(\boldsymbol x) = f(\boldsymbol y)，则

x1a1+x2a2+⋯+xnan=y1a1+y2a2+⋯+ynanx_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n = y_1 \boldsymbol a_1 + y_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + y_n \boldsymbol a_n

因为 A\mathscr A 为 VV 的基底，所以系数唯一确定，因此

x1=y1,x2=y2,…,xn=ynx_1 = y_1, \quad x_2 = y_2, \quad \ldots, \quad x_n = y_n

所以 x=y\boldsymbol x = \boldsymbol y，因此 ff 为单射

满射
取任意 v∈V\boldsymbol v \in V，则 v\boldsymbol v 可唯一表示为基底 A\mathscr A 的线性组合形式

v=k1a1+k2a2+⋯+knan,k1,k2,…,kn∈R\boldsymbol v = k_1 \boldsymbol a_1 + k_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k_n \boldsymbol a_n, \quad k_1, k_2, \ldots, k_n \in \mathbb R

令 x=(k1k2⋮kn)∈Rn\boldsymbol x = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix} \in \mathbb R^n，则

f(x)=k1a1+k2a2+⋯+knan=vf(\boldsymbol x) = k_1 \boldsymbol a_1 + k_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k_n \boldsymbol a_n = \boldsymbol v

所以 ff 为满射

因此 ff 为双射线性映射，所以 V≅RnV \cong \mathbb R^n
□\square

命题
令线性映射 f:V→Wf: V \to W，则

  • dim⁡V=dim⁡(Kerf)+dim⁡(Imf)\dim V = \dim(\mathrm{Ker} f) + \dim(\mathrm{Im} f)
证明

设 dim⁡Kerf=r\dim \mathrm{Ker} f = r，取 Kerf\mathrm{Ker} f 的一组基底 A={a1,a2,…,ar}\mathscr A = \{\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_r\}
将 A\mathscr A 扩充为 VV 的一组基底 B={a1,a2,…,ar,ar+1,…,ar+s}\mathscr B = \{\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_r, \boldsymbol a_{r+1}, \ldots, \boldsymbol a_{r+s}\}
则 dim⁡V=r+s\dim V = r + s
接下来证明 f(ar+1),f(ar+2),…,f(ar+s)f(\boldsymbol a_{r+1}), f(\boldsymbol a_{r+2}), \ldots, f(\boldsymbol a_{r+s}) 为 Imf\mathrm{Im} f 的一组基底，这样一来就有 dim⁡(Imf)=s\dim(\mathrm{Im} f) = s，从而得到结论

令 bi:=f(ar+i),i=1,2,…,s\boldsymbol b_i := f(\boldsymbol a_{r+i}), i = 1, 2, \ldots, s，则 b1,b2,…,bs∈Imf\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_s \in \mathrm{Im} f
根据像的定义，任意 w∈Imf\boldsymbol w \in \mathrm{Im} f，存在 v∈V\boldsymbol v \in V，使得 w=f(v)\boldsymbol w = f(\boldsymbol v)
将 v\boldsymbol v 用基底 B\mathscr B 表示为线性组合形式

v=k1a1+k2a2+⋯+krar+kr+1ar+1+⋯+kr+sar+s\boldsymbol v = k_1 \boldsymbol a_1 + k_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k_r \boldsymbol a_r + k_{r+1} \boldsymbol a_{r+1} + \cdots + k_{r+s} \boldsymbol a_{r+s}

则

w=f(v)=f(k1a1+k2a2+⋯+krar+kr+1ar+1+⋯+kr+sar+s)=k1f(a1)+k2f(a2)+⋯+krf(ar)+kr+1f(ar+1)+⋯+kr+sf(ar+s)=kr+1b1+kr+2b2+⋯+kr+sbs\begin{aligned} \boldsymbol w &= f(\boldsymbol v) \\ &= f(k_1 \boldsymbol a_1 + k_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + k_r \boldsymbol a_r + k_{r+1} \boldsymbol a_{r+1} + \cdots + k_{r+s} \boldsymbol a_{r+s}) \\ &= k_1 f(\boldsymbol a_1) + k_2 f(\boldsymbol a_2) + \cdots + k_r f(\boldsymbol a_r) + k_{r+1} f(\boldsymbol a_{r+1}) + \cdots + k_{r+s} f(\boldsymbol a_{r+s}) \\ &= k_{r+1} \boldsymbol b_1 + k_{r+2} \boldsymbol b_2 + \cdots + k_{r+s} \boldsymbol b_s \end{aligned}

所以 b1,b2,…,bs\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_s 生成 Imf\mathrm{Im} f
接下来证明 b1,b2,…,bs\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_s 线性无关
取任意 k1,k2,…,ks∈Fk_1, k_2, \ldots, k_s \in \mathbb F，使得

k1b1+k2b2+⋯+ksbs=0Wk_1 \boldsymbol b_1 + k_2 \boldsymbol b_2 + \cdots + k_s \boldsymbol b_s = \boldsymbol 0_W

则

0W=k1f(ar+1)+k2f(ar+2)+⋯+ksf(ar+s)=f(k1ar+1+k2ar+2+⋯+ksar+s)\begin{aligned} \boldsymbol 0_W &= k_1 f(\boldsymbol a_{r+1}) + k_2 f(\boldsymbol a_{r+2}) + \cdots + k_s f(\boldsymbol a_{r+s}) \\ &= f(k_1 \boldsymbol a_{r+1} + k_2 \boldsymbol a_{r+2} + \cdots + k_s \boldsymbol a_{r+s}) \end{aligned}

所以 k1ar+1+k2ar+2+⋯+ksar+s∈Kerfk_1 \boldsymbol a_{r+1} + k_2 \boldsymbol a_{r+2} + \cdots + k_s \boldsymbol a_{r+s} \in \mathrm{Ker} f
因为 B\mathscr B 为 VV 的基底，且 a1,a2,…,ar\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_r 为 Kerf\mathrm{Ker} f 的基底，所以

k1ar+1+k2ar+2+⋯+ksar+s=0Vk_1 \boldsymbol a_{r+1} + k_2 \boldsymbol a_{r+2} + \cdots + k_s \boldsymbol a_{r+s} = \boldsymbol 0_V

因此 k1=k2=⋯=ks=0k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0，所以 b1,b2,…,bs\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_s 线性无关
□\square

  • 由此可以得到引理：dim⁡V=dim⁡W⟹dim⁡Kerf=0\dim V = \dim W \implies \dim \mathrm{Ker} f = 0，所以此时满射等价于单射