# 矩阵表示

让我们从一类线性映射出发
给定 $m \times n$ 矩阵 $A$，定义映射

$$f_A: \mathbb R^n \to \mathbb R^m, \quad f_A(\boldsymbol x) = A \boldsymbol x$$

则容易验证 $f_A$ 为线性映射
称这一类线性映射为由矩阵诱导的线性映射

也非常容易验证的是，$f_A$ 的核实际上就是齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的解空间，而像则是 $A$ 的列向量的线性结合，也就是说

• $\mathrm{Ker} f_A = N(A),\quad \dim(\mathrm{Ker} f_A) = n - \mathrm{rank}(A)$
• $\mathrm{Im} f_A = C(A),\quad \dim(\mathrm{Im} f_A) = \mathrm{rank}(A)$

那么代入到单射与满射的判定，可以得到

• $f_A$ 为单射 $\iff r(A) = n$
• $f_A$ 为满射 $\iff r(A) = m$
• 若 $A$ 为方阵，则 单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 同构 $\iff$ $A$ 可逆

也就是说，通过分析矩阵 $A$，是完全可以等价于分析 $f_A$ 的性质的
实际上矩阵这一数学对象与线性映射之间的交互远远不止于此，自然产生的期望是：任意线性映射是否都可以用矩阵来分析？

令 $V, W$ 分别为域 $\mathbb F$ 上的线性空间，且 $\dim V = n, \dim W = m$
线性映射 $f: V \to W$
对于这两个线性空间，分别取

• $\mathscr A = \{\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_n\}$ 为 $V$ 的一组基
• $\mathscr B = \{\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_m\}$ 为 $W$ 的一组基

显然，对于 $V$ 中的基 $\boldsymbol a_j$，线性映射会使它成为 $W$ 中的元。那么就可以写作 $W$ 中基底的线性组合形式（注意这里的编号）

$$f(\boldsymbol a_j) = k_{1j} \boldsymbol b_1 + k_{2j} \boldsymbol b_2 + \cdots + k_{mj} \boldsymbol b_m, \quad j = 1, 2, \ldots, n$$

逐一计算所有 $V$ 中基底 $\mathscr A$ 的映射结果，可以得到如下关系

$$\begin{cases} f(\boldsymbol a_1) = k_{11} \boldsymbol b_1 + k_{21} \boldsymbol b_2 + \cdots + k_{m1} \boldsymbol b_m \\ f(\boldsymbol a_2) = k_{12} \boldsymbol b_1 + k_{22} \boldsymbol b_2 + \cdots + k_{m2} \boldsymbol b_m \\ \quad \vdots \\ f(\boldsymbol a_n) = k_{1n} \boldsymbol b_1 + k_{2n} \boldsymbol b_2 + \cdots + k_{mn} \boldsymbol b_m \end{cases}$$

将上述等式整理为矩阵形式

$$\begin{pmatrix} f(\boldsymbol a_1) \\ f(\boldsymbol a_2) \\ \vdots \\ f(\boldsymbol a_n) \end{pmatrix}_{1 \times n} = \begin{pmatrix} k_{11} & k_{21} & \cdots & k_{m1} \\ k_{12} & k_{22} & \cdots & k_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{1n} & k_{2n} & \cdots & k_{mn} \end{pmatrix}_{n \times m} \begin{pmatrix} \boldsymbol b_1 \\ \boldsymbol b_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol b_m \end{pmatrix}_{m \times 1}$$

对两边取转置，得到基的格式

$$(f(\boldsymbol a_1), f(\boldsymbol a_2), \ldots, f(\boldsymbol a_n)) = (\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_m) \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{mn} \end{pmatrix}$$

其中 $k_{ij}$ 指示了经由 $f$ 映射后，$V$ 中第 $j$ 个基底在 $W$ 中第 $i$ 个基底方向上的分量

称此处出现的矩阵

$$T = \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{mn} \end{pmatrix}$$

为线性映射 $f$ 在基底 $\mathscr A, \mathscr B$ 下的 矩阵表示 (Matrix Representation)「表現行列」

线性映射的矩阵表示如同线性映射的身份信息。
因为矩阵表示 完整描述 了所有与基底有关的变化情况。而任意的向量都可以被基底线性表示出来。
这就意味着：矩阵 $T$ 实际上决定了 所有 元的映射规则

不难看出，矩阵表示依赖于两个线性空间的基的选择，不同的基底会导致不同的矩阵表示
一般的，由 $\mathbb F^n$ 到 $\mathbb F^m$ 的线性映射 $f$ 在标准基底下的矩阵表示，称为 标准矩阵表示

矩阵表示方便的一点是

• 可以直接用矩阵积来计算线性映射的复合
• 可以直接用逆矩阵来计算线性映射的逆映射

• 注意可逆等价于双射，此时同构给出 $\dim V = \dim W$

现在，让我们来讨论一下元素在经由线性映射后，坐标会发生什么样的变化

注意方向：

• 基底变换中的结构是 新基底 = 旧基底 × 过渡矩阵
• 坐标变换中的结构是 新坐标 = 过渡矩阵 × 旧坐标

# 基底变换

令 $V$ 为线性空间，取两组基底

• $\mathscr A = \{\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \ldots, \boldsymbol a_n\} \quad$
• $\mathscr B = \{\boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \ldots, \boldsymbol b_n\} \quad$

由于各自都是各自的基底，所以可以用 $\mathscr A$ 来表示 $\mathscr B$，即

$$\boldsymbol b_j = k_{1j} \boldsymbol a_1 + k_{2j} \boldsymbol a_2 + \cdots + k_{nj} \boldsymbol a_n, \quad j = 1, 2, \ldots, n$$

将上述等式整理为矩阵形式

$$\begin{pmatrix} \boldsymbol b_1 & \boldsymbol b_2 & \cdots & \boldsymbol b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol a_1 & \boldsymbol a_2 & \cdots & \boldsymbol a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{n1} & k_{n2} & \cdots & k_{nn} \end{pmatrix}$$

从线性映射的角度来说，这无非是一个矩阵表示，令

$$P = \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{n1} & k_{n2} & \cdots & k_{nn} \end{pmatrix}$$

那么由 $P$ 诱导出的线性映射 $f_P: V \to V$ 成为一个线性变换，特别称为 基底变换 (Change of Basis)「基底変換」
将该基地变换的矩阵表示 $P$ 称为从基底 $\mathscr A$ 到基底 $\mathscr B$ 的 过渡矩阵 (Transition Matrix)「変換行列」

由于二者都是基底，可以互相表示，所以逆变换一定存在，并且其矩阵表示也可以由 $P^{-1}$ 给出

将基底变换应用到坐标变换的结论中，可以得到

$$[\boldsymbol v]_{\mathscr B} = P [\boldsymbol v]_{\mathscr A}$$

请注意：给出线性映射 $f: V \to W$ 在基底 $\mathscr A, \mathscr B$ 下的矩阵表示 $T$，那么实际上 $T$ 等价于从 $W(\mathscr B)$ 到 $V(\mathscr A)$ 的，由 $T$ 诱导的线性变换，即

$$V \xrightarrow{f} W \implies V(\mathscr A) \xleftarrow{T} W(\mathscr B)$$

现在让我们分析一个稍微复杂一些的情况
在 $V$ 中分别取两组基底

• $\mathscr A = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n\} \quad$
• $\mathscr A' = \{\boldsymbol v_1', \boldsymbol v_2', \ldots, \boldsymbol v_n'\} \quad$

在 $W$ 中分别取两组基底

• $\mathscr B = \{\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m\} \quad$
• $\mathscr B' = \{\boldsymbol w_1', \boldsymbol w_2', \ldots, \boldsymbol w_m'\} \quad$

分别令

• $P$ 为从基底 $\mathscr A$ 到基底 $\mathscr A'$ 的过渡矩阵
• $Q$ 为从基底 $\mathscr B$ 到基底 $\mathscr B'$ 的过渡矩阵

取线性映射 $T: V \to W$，并且令矩阵 $T$ 为其在基底 $\mathscr A, \mathscr B$ 下的矩阵表示
请参考如下示意图

$$\begin{array}{ccc} V(\mathscr A) & \xleftarrow{T} & W(\mathscr B) \\ \downarrow P & & \downarrow Q \\ V(\mathscr A') & \xleftarrow{?} & W(\mathscr B') \end{array}$$

问题：$?$ 处应当填入什么矩阵，才能使得图式成立？

假设 $X$ 为 $?$ 处的矩阵（也就是在基底 $\mathscr A'$ 和 $\mathscr B'$ 下的矩阵表示），那么根据定义，以下等式应当成立

$$(T(\boldsymbol v_1'), T(\boldsymbol v_2'), \ldots, T(\boldsymbol v_n')) = (\boldsymbol w_1', \boldsymbol w_2', \ldots, \boldsymbol w_m') X$$

整理以下已经有的关系式

$$\begin{aligned} (\boldsymbol v_1', \boldsymbol v_2', \ldots, \boldsymbol v_n') &= (\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n) P \\ (\boldsymbol w_1', \boldsymbol w_2', \ldots, \boldsymbol w_m') &= (\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m) Q \\ (T(\boldsymbol v_1), T(\boldsymbol v_2), \ldots, T(\boldsymbol v_n)) &= (\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m) T \end{aligned}$$

由于将线性映射同时作用于线性变换的两边，可以得到

$$(T(\boldsymbol v_1'), T(\boldsymbol v_2'), \ldots, T(\boldsymbol v_n')) = (T(\boldsymbol v_1), T(\boldsymbol v_2), \ldots, T(\boldsymbol v_n)) P$$

注意关系式 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$，统合上述所有结果

$$\begin{aligned} (T(\boldsymbol v_1'), T(\boldsymbol v_2'), \ldots, T(\boldsymbol v_n')) &= (T(\boldsymbol v_1), T(\boldsymbol v_2), \ldots, T(\boldsymbol v_n)) P \\ &= (\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m) T P \\ &= (\boldsymbol w_1', \boldsymbol w_2', \ldots, \boldsymbol w_m') Q^{-1} T P \end{aligned}$$

因此可以得到

$$X = Q^{-1} T P$$