【线性代数】Jordan 化

回顾至今为止的学习，我们已经知道：

• 并非所有的方阵都可以对角化
• 但是，任意方阵都可以上三角化

对角化本身具有非常好的唯一性：在给定变换矩阵 $P$ 的情况下，对角化的结果是唯一的。

但是上三角化的结果并非如此，我们期望找到一个标准的上三角化结果，这个过程就被称为 Jordan 化

基本性质

现在给定方阵 $A$，其特征多项式为

$$F_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{n_1} (\lambda - \lambda_2)^{n_2} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{n_k}$$

对于特征值 $\lambda$，定义广义特征空间

$$\overline W_\lambda := \{ \boldsymbol v \in K^n \mid {}^\exists r \in \mathbb N:\ (A - \lambda I)^r \boldsymbol v = \boldsymbol 0 \}$$

那么自然，$A - \lambda I$ 成为 $\overline W_{\lambda}$ 上的幂零算子，记

$$N := (A - \lambda I)$$

设 $\boldsymbol v \in \overline W_\lambda$，使得 $N^k \boldsymbol v \neq \boldsymbol 0$，可以获得一组基底

$$\mathcal B = \{ N^{k-1} \boldsymbol v, N^{k-2} \boldsymbol v, \ldots, N \boldsymbol v, \boldsymbol v \}$$

令

$$\begin{aligned} \boldsymbol e_1 &:= N^{k-1} \boldsymbol v \\ \boldsymbol e_2 &:= N^{k-2} \boldsymbol v \\ &\ \vdots \\ \boldsymbol e_k &:= \boldsymbol v \end{aligned}$$

此时具有映射链

$$e_k \xrightarrow{N} e_{k-1} \xrightarrow{N} \dots \xrightarrow{N} e_1 \xrightarrow{N} 0$$

接下来让我们回看矩阵 $A$ 在基底 $\mathcal B$ 下的表现：

$$\begin{aligned} A \boldsymbol e_1 &= A N^{k-1} \boldsymbol v = (N + \lambda I) N^{k-1} \boldsymbol v = N^k \boldsymbol v + \lambda N^{k-1} \boldsymbol v = \lambda \boldsymbol e_1 \\ A \boldsymbol e_2 &= A N^{k-2} \boldsymbol v = (N + \lambda I) N^{k-2} \boldsymbol v = N^{k-1} \boldsymbol v + \lambda N^{k-2} \boldsymbol v = \boldsymbol e_1 + \lambda \boldsymbol e_2 \\ &\ \vdots \\ A \boldsymbol e_k &= A \boldsymbol v = (N + \lambda I) \boldsymbol v = N \boldsymbol v + \lambda \boldsymbol v = \boldsymbol e_{k-1} + \lambda \boldsymbol e_k \end{aligned}$$

因此，矩阵 $A$ 在基底 $\mathcal B$ 下的矩阵表示为

$$[A]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix}$$

这正是我们想要寻找的 Jordan 矩阵。