【数学杂谈】复平面的完美

实变函数与复变函数，这个区别看起来只是自变量和因变量从实数变成复数，或者说从一维变成二维。
但是复变函数和实变函数的差异太大了，复变函数相比起来过于地完美。

• 解析刚性：局部得到全局
• 全纯性：一阶可微等价于光滑，等价于解析，可积分
• 保角性：局部形状不变

这一类性质在实变函数来看是不可想象的。尤其是 Cauchy 积分定理和积分公式，以及延伸出来的留数定理。留数定理甚至强大到不仅能处理复平面的积分，也可以处理实变函数的广义积分，或者是处理无穷级数等等。

这一切不单单只是从 $\mathbb R$ 到 $\mathbb R^2$ 的变化，需要理解的是究竟 $\mathbb R$ 到 $\mathbb C$ 带来了什么。
Hurwitz 定理给出重要的指引：任何有限维除代数都同构于 $\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O$ 中的一个。
这实际上是一个由宽松到严格的过程，实数域太过于包含了，对性质不好的对象实数域也能很好的接纳，而另一边例如在四元数环上甚至连交换律都会被破坏掉。虽然复平面也破坏了序结构，但是复平面带来的价值太大了：首当其冲就是代数闭域，这使得任何多项式方程都会停留在这里，不会再逃逸到更大的域中去。复平面是那一个恰好完美的平衡点。