本章节主要讨论线性下的方程

# 二阶线性常微分方程

二阶常微分方程 (Second-Order Ordinary Differential Equation, SODE)「二階常微分方程式」 是指形如

$$F(x, y, y', y'') = 0$$

的常微分方程，其中 $y$ 是未知函数，$x$ 是自变量，$y'$ 和 $y''$ 分别是 $y$ 关于 $x$ 的一阶和二阶导数。

特别地，如果方程形如

$$y'' + P(x) y' + Q(x) y = R(x)$$

其中 $P(x), Q(x), R(x)$ 是关于 $x$ 的已知函数，那么称其为 二阶线性常微分方程 (Second-Order Linear Ordinary Differential Equation)「二階線形常微分方程式」。

• 当 $R(x) = 0$ 时，称方程为 齐次 (Homogeneous)「斉次」

对于任意一个二阶线性常微分方程，即使 $R(x) \neq 0$，也可以定义其 对应齐次方程（Corresponding Homogeneous Equation）「同伴方程式」：

$$y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0$$

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接下来让我们分析对应齐次方程的重要性
令二阶线性常微分方程，以及其对应齐次方程

$$\begin{aligned} \mathrm{Equ}_1&: y'' + P(x) y' + Q(x) y = R(x) \\ \mathrm{Equ}_2&: y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \end{aligned}$$

设 $y, y_0$ 分别是 $\mathrm{Equ}_1$ 的通解与特解
设 $Y$ 是 $\mathrm{Equ}_2$ 的通解

那么代入通解与特解得到

$$\begin{cases} y'' + P(x) y' + Q(x) y = R(x) \\ y_0'' + P(x) y_0' + Q(x) y_0 = R(x) \end{cases}$$

因此

$$y'' - y_0'' + P(x)(y' - y_0') + Q(x)(y - y_0) = 0$$

也就是说 $y - y_0$ 是 $\mathrm{Equ}_2$ 的解，进而 $y - y_0$ 是 $\mathrm{Equ}_2$ 的通解，得到 $y - y_0 = Y$，即

$$y = y_0 + Y$$

这意味着，任意一个二阶线性常微分方程的通解，都可以表示为其特解与对应齐次方程的通解之和

接下来具体考虑如何构造 $\mathrm{Equ}_2$ 的通解 $Y$
在线性代数的笔记部分已经给出过证明：

$$V := \{y \mid y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0\}$$

是一个线性空间。所以如果可以给出 $\mathrm{Equ}_2$ 的两个线性无关的解 $y_1, y_2$，那么

$$Y = C_1 y_1 + C_2 y_2$$

就是 $\mathrm{Equ}_2$ 的通解。并且 $y_1, y_2$ 被称为 基本解
对于线性无关性的判定，有以下结论

# 常数系数

常数系数的二阶线性常微分方程是最简单的一类二阶线性常微分方程，由上述理论，我们只需要构造对应齐次方程的通解，即形如

$$y'' + a y' + b y = 0$$

其中 $a, b$ 是常数

不妨设基本解形如 $y = e^{\lambda x} \quad$

这里可能会产生的问题是，为什么能这么理所当然地设为指数函数？
首先在这个方程中，我们需要寻找一个函数 $y$，使得它的二阶导数、一阶导数和它本身的某种线性组合恒等于 $0$。也就是说需要找一个函数使得求导后也具有和原函数的线性。所有初等函数中，只有指数函数 $e^{\lambda x}$ 具有这种性质
至于唯一性，由于齐次方程的解空间是线性的，我们只需要找到一个基本解系就可以构造出所有的通解了，如果确实真的能找到另外一个不同的基本解系，那么实际发挥的作用和 $e^{\lambda x}$ 是一样的，并且应该是没有指数函数那么好的计算性质的

代入原方程可以得到（注意 $e^{\lambda x}$ 不为零）

$$\lambda^2 + a \lambda + b = 0$$

称该方程为 特征方程 (Characteristic Equation)「特性方程式」
该方程无非有三种情况

情况 1 具有两个相异实数解 $\lambda_1, \lambda_2$
条件等价于 $a^2 - 4b \gt 0$
此时可以得到两个解

$$y_1 = e^{\lambda_1 x},\quad y_2 = e^{\lambda_2 x}$$

代入 Wronskian 行列式可以得到

$$W(y_1, y_2) = (\lambda_2 - \lambda_1) e^{(\lambda_1 + \lambda_2)x} \neq 0$$

因此 $y_1, y_2$ 线性无关，构成 $\mathrm{Equ}_2$ 的基本解系。
即通解形如

$$Y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$$

情况 2 具有一个重根 $\lambda$
条件等价于 $a^2 - 4b = 0$
此时有解 $y_1 = e^{\lambda x}$，显然我们需要找到另外一个线性无关的解。自然地我们期待该解也具有指数函数的性质。不妨设 $y_2 = u(x) e^{\lambda x}$，其中 $u$ 是未知函数

代入原方程可以得到

$$[u'' + (2\lambda + a) u'] e^{\lambda x} = 0$$

利用 Vieta 定理可以得到 $2\lambda + a = 0$，因此

$$u'' = 0$$

解出 $u$ 的通解为 $u = C_1 x + C_2$，为一次函数，不妨考虑 $u = x$，此时

$$y_2 = x e^{\lambda x}$$

代入 Wronskian 行列式可以得到

$$W(y_1, y_2) = e^{2\lambda x} \neq 0$$

因此 $y_1, y_2$ 线性无关，构成 $\mathrm{Equ}_2$ 的基本解系。通解形如

$$Y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}$$

情况 3 具有一对共轭复数根 $\alpha \pm \beta i$，其中 $\beta \neq 0$
条件等价于 $a^2 - 4b \lt 0$
此时有解

$$y_1 = e^{(\alpha + \beta i)x},\quad y_2 = e^{(\alpha - \beta i)x}$$

代入 Wronskian 行列式

$$W(y_1, y_2) = -2\beta i e^{2\alpha x} \neq 0$$

因此 $y_1, y_2$ 线性无关，构成 $\mathrm{Equ}_2$ 的基本解系。构造通解前通常需要改写形式

Euler 公式给出

$$y_1 = e^{\alpha x} (\cos \beta x + i \sin \beta x),\quad y_2 = e^{\alpha x} (\cos \beta x - i \sin \beta x)$$

因此，注意常数的任意性，可以化简为实数函数

$$\begin{aligned} Y &= C_1 e^{\alpha x} (\cos \beta x + i \sin \beta x) + C_2 e^{\alpha x} (\cos \beta x - i \sin \beta x) \\ &= e^{\alpha x} [\underbrace{(C_1 + C_2)}_{\to C_1} \cos \beta x + \underbrace{i (C_1 - C_2)}_{\to C_2} \sin \beta x] \\ &= e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \end{aligned}$$

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现在常数系数的二阶线性常微分方程只剩下了一个问题：如何构造 $\mathrm{Equ}_1$ 的一个特解 $y_0$？
通过特征方程，先构造出 $\mathrm{Equ}_2$ 的基本解系 $y_1, y_2$，此时

$$Y = C_1 y_1 + C_2 y_2$$

为了分析如何将解从齐次方程提升到非齐次方程，最常用的分析手段是 常数变易法 (Method of Variation of Parameters)「定数変化法」，也就是将 $C_1, C_2$ 从常数变为未知函数 $C_1(x), C_2(x)$，假设特解形如

$$y_0 = C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2$$

对其微分，得到

$$y_0' = C_1' y_1 + C_1 y_1' + C_2' y_2 + C_2 y_2'$$

为了简化计算，通常会额外添加一个约束条件

$$C_1' y_1 + C_2' y_2 = 0$$

那么

$$y_0' = C_1 y_1' + C_2 y_2'$$

对其再次微分，得到

$$y_0'' = C_1 y_1'' + C_2 y_2'' + C_1' y_1' + C_2' y_2'$$

代入 $\mathrm{Equ}_1$

$$\begin{aligned} y_0'' + P y_0' + Q y_0 &= (C_1 y_1'' + C_2 y_2'' + C_1' y_1' + C_2' y_2') + P (C_1 y_1' + C_2 y_2') + Q (C_1 y_1 + C_2 y_2) \\ &= C_1 (y_1'' + P y_1' + Q y_1) + C_2 (y_2'' + P y_2' + Q y_2) + C_1' y_1' + C_2' y_2' \\ &= C_1' y_1' + C_2' y_2' \end{aligned}$$

因此

$$C_1' y_1' + C_2' y_2' = R$$

将约束条件与该式联立，得到

$$\begin{pmatrix}y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_1' \\ C_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ R\end{pmatrix}$$

由于 $y_1, y_2$ 线性无关，所以 Wronskian 行列式 $W(y_1, y_2) \neq 0$，可以解出

$$\begin{pmatrix}C_1' \\ C_2'\end{pmatrix} = \frac{1}{W(y_1, y_2)} \begin{pmatrix}y_2' & -y_2 \\-y_1' & y_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ R\end{pmatrix} = \frac{1}{W(y_1, y_2)} \begin{pmatrix}-y_2 R \\ y_1 R\end{pmatrix}$$

分别积分

$$C_1 = -\int \frac{y_2 R}{W(y_1, y_2)} dx,\quad C_2 = \int \frac{y_1 R}{W(y_1, y_2)} dx$$

代入，可以得到特解

$$y_0 = -y_1 \int \frac{y_2 R}{W(y_1, y_2)} dx + y_2 \int \frac{y_1 R}{W(y_1, y_2)} dx$$