# 映射

回顾一下函数的概念。通常，如果有两个变量 $x, y$，确定了 $x$ 的值后，$y$ 的值也对应地唯一确定，则称 $y$ 是 $x$ 的函数。
在大学数学中，将不再局限于实数或复数，而是处理一般集合的元之间的对应关系。这种推广了意义的函数称为 “映射”

• $X$ 称为 $f$ 的 始域 (Domain)「始域」 或 定义域 (Domain)「定義域」。
• $Y$ 称为 $f$ 的 终域 (Codomain)「終域」。
• 对于 $a \in X$，由 $f$ 确定的 $Y$ 的元 $y$ 记作 $f(a)$，称为 $f$ 在 $a$ 处的 值 (Value)「値」（或 $a$ 的像）。
• $f$ 使 $x \in X$ 对应 $f(x) \in Y$ 这一点记作 $x \mapsto f(x)$

若从 $X$ 到 $Y$ 的两个映射 $f, g$ 对所有 $x \in X$ 都有 $f(x) = g(x)$，则称 $f$ 与 $g$ 相等，记作 $f = g$

这意味着，只要确定了定义域中所有元的值，映射也就唯一确定了。

中学数学中遇到的各种函数，在大学数学中都作为映射处理。

通过使用直积集合或其子集作为定义域，像 $z=f(x,y)$ 这样的多变量函数也可以作为映射处理。

从集合 $X$ 到 $\mathbb R$ 的映射称为 $X$ 上的 实数值函数 (Real-valued Function)「実数値関数」
从 $X$ 到 $\mathbb C$ 的映射称为 $X$ 上的 复数值函数 (Complex-valued Function)「複素数値関数」

除了函数，数列和运算也是映射的一种。