# 映射

回顾一下函数的概念。通常，如果有两个变量 $x, y$ ，确定了 $x$ 的值后， $y$ 的值也对应地唯一确定，则称 $y$ 是 $x$ 的函数。
在大学数学中，将不再局限于实数或复数，而是处理一般集合的元之间的对应关系。这种推广了意义的函数称为 “映射”

定义
每确定集合 $X$ 的一个元 $x$ ，就按照某种法则 $f$ 唯一确定集合 $Y$ 的一个元 $y$ ，称法则 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的 映射 (Map, Mapping)「写像」，记作：

$f: X \to Y$

$X$ 称为 $f$ 的 始域 (Domain)「始域」 或 定义域 (Domain)「定義域」。
$Y$ 称为 $f$ 的 终域 (Codomain)「終域」。也称为陪域
对于 $a \in X$ ，由 $f$ 确定的 $Y$ 的元 $y$ 记作 $f(a)$ ，称为 $f$ 在 $a$ 处的 值 (Value)「値」（或 $a$ 的像）。
$f$ 使 $x \in X$ 对应 $f(x) \in Y$ 这一点记作 $x \mapsto f(x)$

若从 $X$ 到 $Y$ 的两个映射 $f, g$ 对所有 $x \in X$ 都有 $f(x) = g(x)$ ，则称 $f$ 与 $g$ 相等，记作 $f = g$

这意味着，只要确定了定义域中所有元的值，映射也就唯一确定了。

中学数学中遇到的各种函数，在大学数学中都作为映射处理。

由指数函数 $\exp(x) = e^x$ 给出的映射 $\exp: \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto e^x$
由对数函数 $\ln(x)$ 给出的映射 $\ln: (0, \infty) \to \mathbb R, x \mapsto \ln(x)$

通过使用直积集合或其子集作为定义域，像 $z=f(x,y)$ 这样的多变量函数也可以作为映射处理。

对于 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ ，可以视作由 $\mathbb R^2$ 中的元到实数 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 的映射，即 $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y) \mapsto \sqrt{x^2 + y^2} \quad$

从集合 $X$ 到 $\mathbb R$ 的映射称为 $X$ 上的 实数值函数 (Real-valued Function)「実数値関数」
从 $X$ 到 $\mathbb C$ 的映射称为 $X$ 上的 复数值函数 (Complex-valued Function)「複素数値関数」

映射是比函数更高阶的概念，数列，甚至是运算符号本质上都是映射的一种

数列 $\{a_n\}_{n \in \mathbb N}$ 可以视为映射 $f: \mathbb N \to S, n \mapsto a_n$ ，其中 $S$ 是数列 $\{a_n\}$ 的值域
二元运算符号 $*$ 可以视为映射 $f: S \times S \to S, (a, b) \mapsto a * b$ ，其中 $S$ 是运算符号 $*$ 的定义域与值域

要成为映射最需要考察的性质是良定性 Well-defined，即对于定义域中的每一个元 $x$ ，映射 $f$ 都能唯一确定值 $f(x)$ 。以下是一些不成为映射的例子

$f: \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto \frac{1}{x}$ 不是映射，因为当 $x=0$ 时， $f(0)$ 无法确定
$f: \mathbb Z \to \mathbb Z, x \mapsto \frac{x}{2}$ 不是映射，因为当 $x$ 为奇数时， $f(x)$ 不是整数，无法在 $\mathbb Z$ 中确定

命题
令 $m, n \in \mathbb N$ ，由 $\{1, 2, \ldots, m\}$ 到 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 的映射 $f$ 一共有 $n^m$ 个。

证明

对于定义域中的每一个元 $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ ， $f(i)$ 有 $n$ 种取法，因此总的取法数为 $n \times n \times \cdots \times n = n^m$ 。
$\square$

# 映射的复合

定义
对于映射 $f: X \to Y$ 与 $g: Y \to Z$ ，定义

$g \circ f: X \to Z, \quad x \mapsto g(f(x))$

称为映射 $f$ 与 $g$ 的 复合映射 (Composite Map)「合成写像」。

复合运算是映射的重要运算，映射之间的 “乘法” 往往指的不是数值的乘法，而是复合运算。（注意这是非交换的运算）
定义幂映射 $f^n := \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n \text{ times}}$
注意！只有在 $f$ 的值域与 $g$ 的定义域相同的情况下，复合映射 $g \circ f$ 才可以定义

若某个映射在定义域内取完全相同的值，则称其为 常数映射 (Constant Map)「定値写像」。
显然根据定义可以知道，映射 $f$ 成为常数映射的充分必要条件是对于任意 $x_1, x_2 \in X$ ，都有 $f(x_1) = f(x_2)$ 。
在映射的复合乘法中，常数映射相当于零元。若映射 $g$ 为常数映射，则对于任意映射 $f, h$ ，可以确定 $g \circ f$ 和 $h \circ g$ 都为常数映射

若某个映射将定义域中的任意一个元映射到它自己，则称其为 恒等映射 (Identity Map)「恒等写像」，记作 $\mathrm{id}_X$ 。
$f$ 成为恒等映射的充分必要条件是对于任意 $x \in X$ ，都有 $f(x) = x$ 。
恒等映射相当于映射复合乘法中的单位元。对于任意映射 $f: X \to Y$ ，都有 $\mathrm{id}_Y \circ f = f$ 且 $f \circ \mathrm{id}_X = f$ 。

取定义域内一个子集 $A \subseteq X$ ，称映射

$\mathrm{incl}_A: A \to X, \quad a \mapsto a$

为从 $A$ 到 $X$ 的 包含映射 (Inclusion Map)「包含写像」。

由此可以实现对映射的限制
令映射 $f: X \to Y$ ，以及 $X$ 的子集 A \subseteqeq X，定义映射 $f$ 在 $A$ 上的 限制 (Restriction)「制限」 为

$f|_A := f \circ \mathrm{incl}_A: A \to Y$

命题
对于映射 $f: X \to Y, g: Y \to Z, h: Z \to W$ ，有

$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

证明

对于任意 $x \in X$ ，有

$\begin{aligned} h \circ (g \circ f)(x) &= h((g \circ f)(x)) \\ &= h(g(f(x))) \\ &= (h \circ g)(f(x)) \\ &= ((h \circ g) \circ f)(x) \end{aligned}$

因此 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ 。
$\square$

# 逆映射

定义
令映射 $f: X \to Y$ 。称映射 $g: Y \to X$ 为 $f$ 的 逆映射 (Inverse Map)「逆写像」，当且仅当

$g \circ f = \mathrm{id}_X, \quad f \circ g = \mathrm{id}_Y$

等价来说，逆映射的条件相当于

${}^\forall x \in X, g(f(x)) = x$
${}^\forall y \in Y, f(g(y)) = y$

逆映射的概念是对称的，如果 $g$ 是 $f$ 的逆映射，则 $f$ 也是 $g$ 的逆映射。

一般来说，映射并不一定存在逆映射

命题
逆映射唯一

证明

设映射 $f: X \to Y$ 存在两个逆映射 $g_1, g_2: Y \to X$ ，则有

$\begin{aligned} g_1 &= g_1 \circ \mathrm{id}_Y \\ &= g_1 \circ (f \circ g_2) \\ &= (g_1 \circ f) \circ g_2 \\ &= \mathrm{id}_X \circ g_2 \\ &= g_2 \end{aligned}$

$\square$

如果映射 $g$ 是映射 $f$ 的逆映射，则记作 $g = f^{-1}$ 。请注意 $f^{-1}$ 的记号只有在 $f$ 存在逆映射时才有意义

示例
若 $f(x,y) = (e^x y, x+1)$ ，则 $g(z,w) = (w-1, e^{1-w} z)$ 是 $f$ 的逆映射

证明

注意各自的定义域与终域， $f,g : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$
对于任意的 $(x,y) \in \mathbb R^2$ ，有

$\begin{aligned} g \circ f (x,y) &= g(f(x,y)) \\ &= g(e^x y, x+1) \\ &= ( (x+1) - 1, e^{1-(x+1)} (e^x y) ) \\ &= (x, y) \end{aligned}$

对于任意的 $(z,w) \in \mathbb R^2$ ，有

$\begin{aligned} f \circ g (z,w) &= f(g(z,w)) \\ &= f(w-1, e^{1-w} z) \\ &= ( e^{w-1} (e^{1-w} z), (w-1) + 1 ) \\ &= (z, w) \end{aligned}$

因此 $g$ 是 $f$ 的逆映射。
$\square$

# 图像

如同映射是函数的高阶推广，映射的图像也是函数图像的推广。
在初等数学中，函数往往捆绑着可以在实平面上画出的图像，这样的图像对于一般的映射来说是很难画出来的，但是我们可以定义图像这一概念本身

定义
令映射 $f: X \to Y$ ，称 $X \times Y$ 的子集

$\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in X\}$

为映射 $f$ 的 图像 (Graph)「グラフ」。

当 $X = Y = \mathbb R$ 时，图像即为我们熟悉的函数图像

特别地，对于恒等映射来说，其图像

$\Gamma_{\mathrm{id}_X} = \{(x, x) \mid x \in X\}$

称为集合 $X$ 的 对角线 (Diagonal)「対角線」，记作 $\Delta_X$ 。

图像是映射的另一种表示手法，这使得映射的存在性可以通过图像来讨论

命题
令集合 $X, Y$ 非空， $\Gamma \subseteq X \times Y$ 。以下等价

存在某图像 $\Gamma_f$ 使得 $\Gamma = \Gamma_f$
对任意 $x \in X$ ，存在唯一的 $y \in Y$ 使得 $(x, y) \in \Gamma$

证明

( $\Rightarrow$ )
任取 $x \in X$ ，由于 $(x,f(x)) \in \Gamma = \Gamma_f$ ，所以自然

${}^\exists y \in Y, y = f(x)$

且根据图像的定义，若存在 $y'$ 使得 $(x, y') \in \Gamma$ ，则 $y' = f(x)$ ，所以 $y$ 是唯一的。

( $\Leftarrow$ )
对于各个 $x \in X$ ，根据假设存在唯一的 $y_x$ 与之对应，设这个对应关系为 $f: X \to Y, x \mapsto y_x$ ，则有

$\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in X\} = \{(x, y_x) \mid x \in X\} = \Gamma$

$\square$

通过图像，才可以真正正确地定义映射

定义
令 $X,Y$ 为集合， $\Gamma \subseteq X \times Y$
称组 $f = (X, Y, \Gamma)$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的 映射 (Map, Mapping)「写像」，当且仅当对于任意 $x \in X$ ，存在唯一的 $y \in Y$ 使得 $(x, y) \in \Gamma$ 。

# 双射

介绍完映射本身后，让我们讨论一下映射的一般性质，其中最为重要的就是双射的概念
双射指两个性质的复合体，分别是单射与满射

定义
令映射 $f: X \to Y$
称映射 $f$ 为 单射 (Injection)「単射」，当且仅当对于任意 $x_1, x_2 \in X$ ，有

$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$

称映射 $f$ 为 满射 (Surjection)「全射」，当且仅当对于任意 $y \in Y$ ，存在 $x \in X$ 使得

$f(x) = y$

称映射 $f$ 为 双射 (Bijection)「全単射」，当且仅当映射 $f$ 既为单射又为满射。

映射的定义本身的要求是：对于每一个定义域中的元，都必须指向一个位置
这个位置是可以重合的，也就是说可能会出现将 $2$ 与 $-2$ 都映射到 $4$ 的情况
而单射保证了不会出现这种重合的情况，使得映射是一一对应的，每一个定义域的元都唯一地对应到值域中的一个元

而满射可以确保值域中不会漏掉某一个元。

请注意！在涉及到单射性的证明中，往往采取定义的对偶命题而不是原定义

$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$

示例

映射 $f: \mathbb R \to \mathbb R,\ x \mapsto x^2$ 不是单射，因为 $f(2) = f(-2) = 4$
映射 $f: \mathbb Z^2 \to \mathbb Z,\ (x,y) \mapsto x - y$ 不是单射，因为 $f(1,0) = f(2,1) = 1$
映射 $f: \mathbb Z^2 \to \mathbb Z^2,\ (x,y) \mapsto (x - y, 2y)$ 是单射
映射 $\mathrm{pr}_X: X \times Y \to X,\ (x,y) \mapsto x$ 是满射，称该映射为 投影 (Projection)「射影」

合成映射会保持单射与满射的性质

命题
若映射 $f: X \to Y, g: Y \to Z$ 均为单射（满射），则复合映射 $g \circ f: X \to Z$ 亦为单射（满射）

证明

（单射）
对于任意 $x_1, x_2 \in X$ ，若有

$g \circ f (x_1) = g \circ f (x_2)$

则由 $g$ 的单射性可知

$f(x_1) = f(x_2)$

再由 $f$ 的单射性可知

$x_1 = x_2$

因此 $g \circ f$ 为单射。

（满射）
对于任意 $z \in Z$ ，由于 $g$ 为满射，存在 $y \in Y$ 使得

$g(y) = z$

由于 $f$ 为满射，存在 $x \in X$ 使得

$f(x) = y$

因此有

$g \circ f (x) = g(y) = z$

所以 $g \circ f$ 为满射。
$\square$

实际上，通过合成映射的性质可以反推出单射性与满射性，但是这里有注意点，首先要明白

单射是对定义域一方的限制
满射是对值域一方的限制

在复合映射 $g \circ f$ 中可以理解为 $f$ 负责定义域，而 $g$ 负责值域，这会导致复合映射的

单射性与定义域挂钩，所以只能传递给定义域的映射 $f$
满射性与值域挂钩，所以只能传递给值域的映射 $g$

命题
令映射 $f: X \to Y, g: Y \to Z$

若复合映射 $g \circ f$ 为单射，则映射 $f$ 单射
若复合映射 $g \circ f$ 为满射，则映射 $g$ 满射

证明

（单射）
对于任意 $x_1, x_2 \in X$ ，若有

$f(x_1) = f(x_2)$

则有

$g \circ f (x_1) = g \circ f (x_2)$

由于 $g \circ f$ 为单射，故

$x_1 = x_2$

因此映射 $f$ 单射。

（满射）
对于任意 $z \in Z$ ，由于 $g \circ f$ 为满射，存在 $x \in X$ 使得

$g \circ f (x) = z$

设 $y = f(x)$ ，则有

$g(y) = z$

因此映射 $g$ 满射。
$\square$

单射性确保每一个对应都是唯一的，而满射性确保每一个对应都是完整的，这使得双射成为非常好的性质

命题
令映射 $f: X \to Y$ ，则映射 $f$ 存在逆映射的充分必要条件是映射 $f$ 为双射

证明

( $\Rightarrow$ )
设映射 $g: Y \to X$ 为 $f$ 的逆映射，则对于任意 $x_1, x_2 \in X$ ，若有

$f(x_1) = f(x_2)$

则有

$g(f(x_1)) = g(f(x_2))$

$x_1 = x_2$

因此映射 $f$ 单射。
对于任意 $y \in Y$ ，由于 $g$ 为 $f$ 的逆映射，存在 $x \in X$ 使得

$f(x) = y$

因此映射 $f$ 满射。

( $\Leftarrow$ )
设映射 $f$ 为双射，定义映射 $g: Y \to X$ 如下：
对于任意 $y \in Y$ ，由于映射 $f$ 满射，存在 $x \in X$ 使得

$f(x) = y$

由于映射 $f$ 单射，该 $x$ 是唯一的，定义

$g(y) = x$

则对于任意 $x \in X$ ，有

$g \circ f (x) = g(f(x)) = x$

且对于任意 $y \in Y$ ，有

$f \circ g (y) = f(g(y)) = y$

因此映射 $g$ 为 $f$ 的逆映射。
$\square$

由于复合映射既可以传递单射性又可以传递满射性，因此复合映射也可以传递双射性

命题
令映射 $f: X \to Y, g: Y \to Z$ ，若映射 $f, g$ 均为双射，则复合映射 $g \circ f: X \to Z$ 亦为双射，且

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

证明

$g \circ f$ 由前述命题知为双射。此时验证逆映射的定义：

$\begin{aligned} (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) &= f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f \\ &= f^{-1} \circ \mathrm{id}_Y \circ f \\ &= f^{-1} \circ f \\ &= \mathrm{id}_X \end{aligned}$

另一边

$\begin{aligned} (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) &= g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} \\ &= g \circ \mathrm{id}_Y \circ g^{-1} \\ &= g \circ g^{-1} \\ &= \mathrm{id}_Z \end{aligned}$

因此 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ 。
$\square$

# 像与原像

定义
令映射 $f: X \to Y$ ，对于 $A \subseteq X$ ，称集合

$f(A) = \{ y \in Y \mid {}^\exists x \in A, f(x) = y \}$

为集合 $A$ 在映射 $f$ 下的 像 (Image)「像」。

对于 $B \subseteq Y$ ，称集合

$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

为集合 $B$ 在映射 $f$ 下的 原像 (Preimage)「逆像」。

等价地，值域可以写为 f(A) = \

关于原象的符号：虽然原象记作 $f^{-1}(B)$ ，但这里的 $f^{-1}$ 并不一定表示映射 $f$ 的逆映射，即使在逆映射不存在时也可以这么写。
如果逆映射存在，那么 $f^{-1}(B)$ 将会有两个含义

映射 $f$ 的逆映射作用在集合 $B$ 上的像
映射 $f$ 作用在集合 $B$ 上的原像

实际上这两个集合是相等的，所以这样的记号也没有问题。

像与原象具有如下一般地性质

命题
令映射 $f: X \to Y$
定义域的集合 $A_1, A_2 \subseteq X$ ，值域的集合 $B_1, B_2 \subseteq Y$ ，则有

$f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$
$f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$
$f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$
$f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

证明

(1)
( $\Rightarrow$ )
取 $y \in f(A_1 \cup A_2)$ ，由像的定义

${}^\exists x \in A_1 \cup A_2, f(x) = y$

则 $x \in A_1$ 或 $x \in A_2$ ，因此 $y \in f(A_1)$ 或 $y \in f(A_2)$ ，即 $y \in f(A_1) \cup f(A_2)$ 。

( $\Leftarrow$ )
取 $y \in f(A_1) \cup f(A_2)$ ，则 $y \in f(A_1)$ 或 $y \in f(A_2)$ 。
设 $y \in f(A_1)$ ，由像的定义

${}^\exists x \in A_1, f(x) = y$

则 $x \in A_1 \cup A_2$ ，因此 $y \in f(A_1 \cup A_2)$ 。同理若 $y \in f(A_2)$ 亦成立

(2)
取 $y \in f(A_1 \cap A_2)$ ，由像的定义

${}^\exists x \in A_1 \cap A_2, f(x) = y$

则 $x \in A_1$ 且 $x \in A_2$ ，因此 $y \in f(A_1)$ 且 $y \in f(A_2)$ ，即 $y \in f(A_1) \cap f(A_2)$ 。

(3)

$\begin{aligned} f^{-1}(B_1 \cup B_2) &= \{ x \in X \mid f(x) \in B_1 \cup B_2 \} \\ &= \{ x \in X \mid f(x) \in B_1 \text{ or } f(x) \in B_2 \} \\ &= \{ x \in X \mid f(x) \in B_1 \} \cup \{ x \in X \mid f(x) \in B_2 \} \\ &= f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \end{aligned}$

(4)

$\begin{aligned} f^{-1}(B_1 \cap B_2) &= \{ x \in X \mid f(x) \in B_1 \cap B_2 \} \\ &= \{ x \in X \mid f(x) \in B_1 \text{ and } f(x) \in B_2 \} \\ &= \{ x \in X \mid f(x) \in B_1 \} \cap \{ x \in X \mid f(x) \in B_2 \} \\ &= f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \end{aligned}$

$\square$

注意这里仅在 (2) 中给出了包含关系，而不是等号。这是因为在非单射的情况下，映射过去可能缩小

合成映射的像与原像也可以简单给出，此处省略证明

$(g \circ f)(A) = g(f(A))$
$(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))$

基于投影与图像，映射的像可以理解为：取图像中所选择的部分 $A$ ，将其投影到值域上所得到的集合

命题
令映射 $f: X \to Y$ ，集合 $A \subseteq X$ ，则

$f(A) = \mathrm{pr}_Y(\Gamma_f \cap \mathrm{pr}_X^{-1}(A))$

证明

( $\subseteq$ )
取 $y \in f(A)$ ，由像的定义

${}^\exists x \in A, f(x) = y$

则有 $(x, y) \in \Gamma_f$ 且 $(x, y) \in \mathrm{pr}_X^{-1}(A)$
因此 $(x, y) \in \Gamma_f \cap \mathrm{pr}_X^{-1}(A)$ ，由投影的定义可知 $y \in \mathrm{pr}_Y(\Gamma_f \cap \mathrm{pr}_X^{-1}(A))$ 。

( $\supseteq$ )
取 $y \in \mathrm{pr}_Y(\Gamma_f \cap \mathrm{pr}_X^{-1}(A))$ ，则存在 $x \in X$ 使得

$(x, y) \in \Gamma_f \cap \mathrm{pr}_X^{-1}(A)$

则 $(x, y) \in \Gamma_f$ 且 $(x, y) \in \mathrm{pr}_X^{-1}(A)$ ，由图像的定义可知 $y = f(x)$ ，由投影的定义可知 $x \in A$ 。
因此 $y \in f(A)$ 。
$\square$

# 映射

# 映射的复合

# 逆映射

# 图像

# 双射

# 像与原像

【集合论】4-等价关系

【集合论】7-Zorn 引理