均匀分布的概率密度函数处处相等，所以如果设某一点的概率为 $c$ 的话，根据全概率和为 1

$$\int_a^b c \, dx = c(b-a) = 1 \implies c = \frac{1}{b-a}$$

所以概率密度函数为

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

$$\begin{aligned} E[X] &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx \\ &= \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx \\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} \\ &= \frac{a+b}{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\ &= \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} \, dx - \frac{(a+b)^2}{4} \\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} \\ &= \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} \\ &= \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ &= \frac{4(b^2 + ab + a^2) - 3(a^2 + 2ab + b^2)}{12} \\ &= \frac{b^2 - 2ab + a^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} M_X(t) &= E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx} f(x) \, dx \\ &= \int_a^b e^{tx} \cdot \frac{1}{b-a} \, dx \\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t},\quad t \neq 0 \\ &= \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)} \end{aligned}$$

设 $\lambda>0$。在 $x < 0$ 时，事件 $A$ 不可能发生，所以概率密度函数为 $0$。
在 $x \geq 0$ 时，定义指数分布的尾分布为 $P(X > x)=e^{-\lambda x}$。因此

$$P(X \leq x) = 1 - P(X > x) = 1 - e^{-\lambda x}$$

对其求导即得概率密度函数

$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

检查全概率和

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx = 1$$

$$\begin{aligned} E[X] &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx \\ &= \int_0^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ &= \left[-x e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} \, dx \\ &= 0 + \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \\ &= \int_0^{+\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx - \frac{1}{\lambda^2} \\ &= \left[-x^2 e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} 2x e^{-\lambda x} \, dx - \frac{1}{\lambda^2} \\ &= 0 + 2\left[-\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} \frac{2}{\lambda} e^{-\lambda x} \, dx - \frac{1}{\lambda^2} \\ &= 0 + 0 + \left[-\frac{2}{\lambda^2} e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} - \frac{1}{\lambda^2} \\ &= \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} M_X(t) &= E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx} f(x) \, dx \\ &= \int_0^{+\infty} e^{tx} \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ &= \lambda \int_0^{+\infty} e^{-(\lambda - t)x} \, dx \\ &= \lambda \left[-\frac{1}{\lambda - t} e^{-(\lambda - t)x}\right]_0^{+\infty},\quad t < \lambda \\ &= \frac{\lambda}{\lambda - t} \end{aligned}$$