第一类错误概率

$$P(X \geq 5 \mid H_0) = 0.1 + 0.1 + 0.05 = 0.25$$

第二类错误概率

$$P(X \lt 5 \mid H_1) = 0.05 + 0.1 + 0.15 + 0.2 = 0.5$$

检验效能

$$1 - \beta = 1 - 0.5 = 0.5$$

接下来考虑显著性水平 $\alpha = 0.07$ 下的情况
此时由于

$$P(X \geq 6) =0.15 \gt 0.07,\quad P(X \geq 7) = 0.05 \leq 0.07$$

所以拒绝域应设为 $X \geq 7$
此时第一类错误概率为

$$P(X \geq 7 \mid H_0) = 0.05 \lt 0.07$$

设定参量
样本量 $n = 36$
样本平均 $\overline X = 498.5$
总体方差 $\sigma^2 = 9$
宣称平均 $\mu_0 = 500$
显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）
原假设 $H_0: \mu = 500$
备择假设 $H_1: \mu \neq 500$
计算检验统计量

$$Z = \frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{498.5 - 500}{3/6} = -3$$

在 $\alpha = 0.05$ 下，$z(\alpha/2) = 1.960$
由于 $|Z| = 3 > 1.960$，落在拒绝域内
所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，能说该饮料容量确实不如标称的 500ml

设定参量
样本量 $n = 36$
样本平均 $\overline X = 498.5$
总体方差 $\sigma^2 = 9$
宣称平均 $\mu_0 = 500$
显著性水平 $\alpha = 0.05$ （单侧）
原假设 $H_0: \mu \leq 500$
备择假设 $H_1: \mu > 500$
计算检验统计量

$$Z = \frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{498.5 - 500}{3/6} = -3$$

在 $\alpha = 0.05$ 下，$z(\alpha) = 1.645$
由于 $Z = -3 < 1.645$，不落在拒绝域内
所以不拒绝原假设 $H_0$，无法接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，不能说该饮料容量确实大于 500ml

设定参量

• 样本量 $n = 12$
• 样本平均 $\overline X = 10.2167$
• 宣称平均 $\mu_0 = 10$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0: \mu = 10$
• 备择假设 $H_1: \mu \neq 10$

计算样本无偏方差

$$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{12} (X_i - \overline X)^2 = 0.245$$

计算检验统计量

$$T = \frac{\overline X - \mu_0}{S/\sqrt{n}} = \frac{10.2167 - 10}{\sqrt{0.245}/\sqrt{12}} \approx 1.52$$

在 $\alpha = 0.05$ 下，查 t 分布表可得

$$t_{11}(0.025) = 2.201$$

由于 $|T| \approx 1.52 < 2.201$，不落在拒绝域内
所以不拒绝原假设 $H_0$，无法接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，不能说该碳酸饮料的砂糖含量确实如标称的 10 g/L

设定参量

• 样本量 $n = 25$
• 差值平方和 $Q = 720$
• 宣称方差 $\sigma_0^2 = 25$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0: \sigma^2 = 25$
• 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 25$

计算检验统计量

$$\chi^2 = \frac{Q}{\sigma_0^2} = \frac{720}{25} = 28.8$$

自由度 $25$
在 $\alpha = 0.05$ 下，查卡方分布表可得

$$\chi^2_{25}(0.025) = 13.1,\quad \chi^2_{25}(0.975) = 40.7$$

由于 $\chi^2 = 28.8$ 不落在拒绝域内
所以不拒绝原假设 $H_0$，无法接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，不能说该产品的重量方差不同于 $25 g^2$

设定参量

• 样本量 $n = 10$
• 样本数据 $58, 63, 61, 60, 59, 62, 57, 64, 60, 61$
• 宣称方差 $\sigma_0^2 = 9$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0: \sigma^2 = 9$
• 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 9$

计算样本均值

$$\overline X = \frac{58 + 63 + 61 + 60 + 59 + 62 + 57 + 64 + 60 + 61}{10} = 60.5$$

计算平方和

$$Q = \sum_{i=1}^{10} (X_i - \overline X)^2 = (58 - 60.5)^2 + (63 - 60.5)^2 + \cdots + (61 - 60.5)^2 = 42.5$$

计算卡方统计量

$$\chi^2 = \frac{Q}{\sigma_0^2} = \frac{42.5}{9} \approx 4.7222$$

自由度 $10 - 1 = 9$
在 $\alpha = 0.05$ 下，查卡方分布表可得

$$\chi^2_{9}(0.025) = 2.7,\quad \chi^2_{9}(0.975) = 19.0$$

由于 $\chi^2 = 4.7222$ 不落在拒绝域内
所以不拒绝原假设 $H_0$，无法接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，不能说该饮料的咖啡因浓度方差不同于 $9 (mg/L)^2$

设定参量

• 样本量 $n = 400$
• 样本不合格数 $X = 14$
• 样本比例 $\hat p = \frac{X}{n} = \frac{14}{400} = 0.035$
• 宣称比例 $p_0 = 0.02$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （单侧）

假设

• 原假设 $H_0: p = 0.02$
• 备择假设 $H_1: p > 0.02$

计算检验统计量

$$Z = \dfrac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 (1 - p_0)}{n}}} = \dfrac{0.035 - 0.02}{\sqrt{\dfrac{0.02 \times 0.98}{400}}} \approx 2.143$$

在 $\alpha = 0.05$ 下，$z(\alpha) = 1.645$
由于 $Z \approx 2.143 > 1.645$，落在拒绝域内
所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，能说该工厂生产的产品不合格率确实大于 $2$

设定参量

• 样本量 $n_1 = 36$，$n_2 = 36$
• 样本平均 $\overline X = 498.5$，$\overline Y = 500.4$
• 总体方差 $\sigma_1^2 = 9$，$\sigma_2^2 = 9$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0: \mu_1 = \mu_2$
• 备择假设 $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

计算检验统计量

$$Z = \frac{(\overline X - \overline Y) - 0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} = \frac{(498.5 - 500.4) - 0}{\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{9}{36}}} = -2.69$$

在 $\alpha = 0.05$ 下，$z(\alpha/2) = 1.960$
由于 $|Z| = 2.69 > 1.960$，落在拒绝域内
所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，能说两家工厂生产的饮料容量存在差异

设定参量

• 样本量 $n_1 = 10$，$n_2 = 10$
• 样本平均 $\overline X = 100.54$，$\overline Y = 99.74$
• 样本方差 $S_1^2 = 0.0404$，$S_2^2 = 0.0227$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0: \mu_1 = \mu_2$
• 备择假设 $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

计算合并方差

$$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{9 \times 0.0404 + 9 \times 0.0227}{18} = 0.03156$$

计算检验统计量

$$T = \frac{(\overline X - \overline Y) - 0}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = \frac{(100.54 - 99.74) - 0}{\sqrt{0.03156} \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}} \approx 10.07$$

自由度 $n_1 + n_2 - 2 = 18$
在 $\alpha = 0.05$ 下，查 t 分布表可得

$$t_{18}(0.025) = 2.101$$

由于 $|T| \approx 10.07 > 2.101$，落在拒绝域内
所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，能说两种方法生产的药品有效成分含量存在差异

设定参量

• 样本量 $n = 150$
• 样本数据见上表
• 宣称分布 $p^{(0)} = (0.4, 0.3, 0.2, 0.1)$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0$: 该样本数据服从上述血型分布
• 备择假设 $H_1$: 该样本数据不服从上述血型分布

计算期望频数

计算检验统计量

$$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = 1.63$$

自由度 $k - 1 = 4 - 1 = 3$
在 $\alpha = 0.05$ 下，查卡方分布表可得

$$\chi^2_{3}(0.95) = 7.815$$

由于 $\chi^2 = 1.63$ 不落在拒绝域内
所以不拒绝原假设 $H_0$，无法接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，不能说该样本数据不服从上述血型分布

设定参量

• 样本量 $n = 206$
• 样本数据见上表
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$ （两侧）

假设

• 原假设 $H_0$: 【性别】 与 【喜欢的季节】 独立
• 备择假设 $H_1$: 【性别】 与 【喜欢的季节】 不独立

计算期望频数 E_{ij} = \frac{\text{行和}_i \times \text{列和}_j}

计算检验统计量

$$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \approx 3.08$$

自由度 $(r-1)(c-1) = (2-1)(4-1) = 3$
在 $\alpha = 0.05$ 下，查卡方分布表可得

$$\chi^2_{3}(0.95) = 7.815$$

由于 $\chi^2 \approx 3.08$ 不落在拒绝域内
所以不拒绝原假设 $H_0$，无法接受备择假设 $H_1$
结论：在显著性水平 0.05 下，不能说【性别】 与 【喜欢的季节】 存在关联