# 商环

# 理想

回想商群的构造。我们其实是想在群上面找一个性质良好的子集（正规子群），从而能使得原本的群可以以一种类似除法的关系构造出多个等价类。然后称这些等价类全体为商群。

商环也是一样的，我们需要找到一个类似的，性质良好的子集来作 “除法”。但是注意到环和群最本质的区别是运算的数量多了一个。正规子群这个要求显然是不充分的。我们需要找一个更好的性质，这就是理想。

我们称满足以下性质的，环 $R$ 的非空子集 $J$ 为一个 左理想 (Left Ideal「左イデアル」)

• $a,b \in J \Rightarrow a + b \in J$
• $a \in J \Rightarrow \forall r \in R :\ ra \in J$

同样的有 右理想 (Right Ideal「右イデアル」) 的定义。
同时满足左右理想的条件即称为 理想 (Ideal「イデアル」)。

我们来推广一下例 3 中的主理想，作为之后内容的铺垫。
从环 $R$ 中取元 $a_1,\cdots,a_n$，对于任意 $x_1,\cdots,x_n$，形如

$$\sum_{i=1}^n x_ia_i = x_1a_1 + x_2a_2 + \cdots +x_na_n$$

的 $R$ 内的元全体构成的集合 $J$ 成为一个左理想（可以证明看看），并称为由 $a_1,\cdots,a_n$ 生成 (Generated「生成」) 的左理想。记作 $(a_1,\cdots,a_n)$。

并且，由单位元 $1$ 生成的主左理想与 $R$ 一致，由零元 $0$ 生成的为零环。零环会同时成为左右理想，称为 零理想 (Zero Ideal「零イデアル」)，也有的直接用 $0$ 来表示。

理想的性质也可以帮助我们来锁定环的性质，研究是否为除环 / 非可换域。

注意这个定理中可以将左理想换为右理想，但是不可以换成理想。
例如 $R$ 是除环可以得到只有 $0$ 和 $R$ 作为理想，但是反过来不一定成立。

# 商环

有了理想的概念，接下来我们就可以考虑构造商环了。

与商群类似，我们本质上是要现找到一个良好性质的集合（正规子群或者理想），然后在这个集合中选取元构造等价类。在良好的性质下我们是可以用这里面的元将整个群或者环 “整除” 掉的。

所以我们的商环可以如下构造：

显然有 $J=R \iff R/J=\{0\}$
以及主理想 $J=(0) \iff R/J = R$

若 $R$ 是交换环，那其任意的商环也是交换环。

# 整数商环

作为例子，我们用这个构造来考虑一下有理整数环 $\mathbb Z$。

取整数 $n \geq 2$，由此生成主理想 $n\mathbb Z = (n)$

并构造商环 $\mathbb Z/n\mathbb Z = \mathbb Z/(n)$，该商环也常写为 $\mathbb Z_n$

$\mathbb Z_n$ 中的元为各个陪集。我们将含有整数 $a$ 的陪集记为 $\overline{a}$
即 \overline{a} = \

显然可知，$\overline{0}$ 成为 $\mathbb Z_n$ 的零元，$\overline{1}$ 成为其单位元。

$\mathbb Z_n$ 中一共有 $n$ 个元，可以穷举写出 $\mathbb Z_n = \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\}$

针对其元有以下性质

由此，对于超过 $n$ 的整数我们一般都用同余关系来以 $n$ 以内的数字表示，例如在 $\mathbb Z_8$ 下 $\overline{35}$ 写作 $\overline{3}$ ($35 \equiv 3 \mod 8$)。

这个商环中的元并不一定都是单元，也就是说乘法意义下的单位元不一定存在。

例如在 $\mathbb Z_6$ 中，元 $\overline{2}$ 不存在乘法逆元，这可以轻松由列举确认：

• \overline{2} \cdot \overline{0} = \overline
• \overline{2} \cdot \overline{1} = \overline
• \overline{2} \cdot \overline{2} = \overline
• \overline{2} \cdot \overline{3} = \overline
• \overline{2} \cdot \overline{4} = \overline
• \overline{2} \cdot \overline{5} = \overline

特别的