Home 数学 抽象代数

# 陪集

以下 H≤GH \leq G
我们考虑一个同余关系

定义
对于 a,b∈Ga,b \in G，若 a−1b∈Ha^{-1}b \in H
则称 aa 和 bb 以 HH 为基准 左同余 (Left Congruence)「左合同」，记作 a≡b(modH)a \equiv b \ (mod \ H) 或 $ a \equiv_H b$
同样的，若 ab−1ab^{-1}，那称为右同余

容易验证这是一个等价关系，也就是说：

  1. ∀a∈Gs.t.a≡a(modH)\forall a \in G \quad s.t. \quad a \equiv a \ (mod \ H)
  2. a≡b(modH)⇒b≡a(modH)a \equiv b \ (mod \ H) \quad \Rightarrow \quad b \equiv a \ (mod \ H)
  3. a≡b(modH),b≡c(modH)⇒a≡c(modH)a \equiv b \ (mod \ H) ,b \equiv c \ (mod \ H)\quad \Rightarrow \quad a \equiv c \ (mod \ H)

证明如下：∀a∈G,a−1a=e∈H\forall a \in G,\ a^{-1}a = e \in H 所以（1）成立，a−1b∈H⇒(a−1b)−1=b−1a∈Ha^{-1}b \in H \quad \Rightarrow \quad (a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H 所以（2）成立。a−1b,b−1c∈H⇒(a−1b)(b−1c)=a−1c∈Ha^{-1}b,b^{-1}c \in H \quad \Rightarrow \quad (a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H 所以（3）成立。

那么他对应会有等价类，我们分析一下在这个等价关系下，a∈Ga \in G 的等价类 CaC_a 是什么样的集合，若令 x∈Cax \in C_a 则有 a≡x(modH)a \equiv x \ (mod \ H) 且 a−1x∈Ha^{-1}x \in H，所以若令 h:=a−1x∈Hh := a^{-1}x \in H 则 x=ahx = ah

另一边，设对任意的 h∈Hh \in H，有x=ahx = ah，由于 a−1x=h∈Ha^{-1}x = h \in H 所以 x∈Cax \in C_a

综上，这个等价类本质上以 ahah 的形式表示的所有元的集合。注意到 aa 是从 GG 中取出来固定的，hh 是任意的，我们定义这个集合叫做 陪集 (Coset)「剰余類」，也就是说

定义
对于 g∈Gg \in G

gH := \{gh \mid h \in H\}$$ 为 $H$ 在 $G$ 中的++左陪集++ $$Hg := \{hg \mid h \in H\}$$ 为 $H$ 在 $G$ 中的++右陪集++

例如对于加法群 Z\mathbb Z，我们取一个子群 3Z={0,3,6,…}3\mathbb Z = \{0,3,6,\dots\}，Z\mathbb Z 中的两元 m,nm,n，以 3Z3\mathbb Z 为基准的同余关系即为 a−b∈3Za-b \in 3\mathbb Z，那么此处对于整数 77 的等价类，就包括 ⋯−2,1,4,7,10,13,…\dots -2,1,4,7,10,13,\dots 也就是 7+3Z7+3\mathbb Z，这也就是陪集的例子，并且这个集合一般记作 7‾(mod3)\overline{7} \ (mod \ 3)

以 HH 为基准可以生成的陪集数量称为 HH 在 GG 中的 阶数 (Index)「指数」，记作 (G:H)(G:H) 或 [G:H][G:H]，当然这个是可能取到无穷的。

并且对于有限子群 HH 有以下定理成立

命题
H≤G,ord(H)<∞,⇒H \leq G,ord(H) < \infty,\quad \Rightarrow

∀a∈G,ord(aH)=ord(H)\forall a \in G,\quad ord(aH) = ord(H)

证明

令 h,h′∈Hh,h' \in H，若 ah=ah′ah = ah'，由简约律可得 h=h′h = h'，由此映射 f:H→aH,h↦ahf:H \to aH,h \mapsto ah 双射，∣H∣=∣aH∣□|H| = |aH| \quad \square

关于这个阶的关系，有一个重要的定理

定理 拉格朗日定理
令 H≤GH \leq G（有限群），则

ord(G)=(G:H)⋅ord(H)ord(G) = (G:H) \cdot ord(H)

证明

若 GG 可以被划分为 (G:H)(G:H) 个陪集，由上述定理可得每个陪集阶一致，得证 □\square

由此引出

定理 拉格朗日定理
有限群 GG 的任意子群的阶都是 ord(G)ord(G) 的约数
特别的

(G:G)=1(G:e)=ord(G)(G:G)= 1 \quad (G:e) = ord(G)

证明显而易见

# 正规子群和商群

我们现在来考虑一下陪集之间的运算，首先是集合之间的运算

定义
令 S⊂G,S′⊂GS \subset G, S' \subset G 非空，S,S′S,S' 中所有的元 x∈S,x′∈S′x \in S, x' \in S'，他们的积全体构成的集合称为 S,S′S,S' 的 积 (Product)「積」，记作 SS′SS'
加法记号下则记作 S+S′S+S'
特别的，如果 SS 中只有一个元 xx，那 SS′SS' 就写作 xSxS，如果 S′S' 中只有一个元 x′x'，那 SS′SS' 就写作 Sx′Sx'，这其实就是上节的左右陪集的形式。

显然这个运算是满足结合律的，并且有一个性质

命题

N≤G⇒NN=NN \leq G \quad \Rightarrow \quad NN = N

我们一直在讨论群的性质，所以我们希望这个运算能够被定义为群上的运算，也就是满足封闭，可逆，结合，单位元。考察一下对 NN 的要求。

首先是考虑运算的封闭性，对于两个陪集 aH,bHaH,bH，如果要求结果也是陪集，那就需要左右陪集一致，也就是说 (aN)(bN)=aNbN=abNN=abN(aN)(bN) = aNbN = abNN = abN

接下来如刚刚所说，显然这个运算是满足结合律的，因为交换集合内元的乘积先后并不影响结果（乘法本身有结合律）。

其次我们可以取群中的单位元 ee 做陪集 eNeN，容易验证这个陪集是可以作为集合运算的单位元的

最后，对于每个陪集 aNaN 我们可以取 a−1Na^{-1}N 作为它的逆元，所以由此陪集关于这个运算构成了一个群

满足上述条件的 NN 称为 正规子群 (Normal Subgroup)「正規部分群」，也就是说

定义
如果对于任意的 a∈Ga \in G 都有 aN=NaaN = Na，那么称 NN 为正规子群，记作 N◃GN \triangleleft G

并且此时，依据这个运算得到的群称为 商群 (Quotient Group)「商群」，记作 G/NG/N 或 N\GN \backslash G（基于陪集类型

定义
令N◃GN \triangleleft G

G/N:={gN∣g∈G}G/N := \{gN \mid g \in G\}

N\G:={Ng∣g∈G}N \backslash G := \{Ng \mid g \in G\}

且有 ord(G/N)=(G:N)ord(G/N) = (G:N)

注意到陪集本质是等价类，也就是说将原本的群按照 NN 这个约定下，划分出来的等价的几个区域，这几个区域就是商群。

示例
例：一个常见的商群是 Z/mZ\mathbb Z/m\mathbb Z，这代表在模 mm 下，余数各自不同的陪集所构成的商群，注意前面提到过在模 mm 下余数为 ii 的整数全体记作 i‾\overline{i}，所以 Z/mZ={0‾,1‾,2‾,…,m−1‾}\mathbb Z/m\mathbb Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\dots,\overline{m-1} \}，这个群也被称为整数的商环，也有写作 Zm\mathbb Z_m

如果一个群 GG 除了自明的单位群 {e}\{e\} 和它自身之外不含任何的正规子群，即没有非平凡正规子群，那么称这个群为 单群 (Simple Group)「単純群」

正规子群的判断通常是重点，定义以外也有数种等价的证明方法

首先如果 GG 是交换群，那么他的所有的子群都将会是正规子群（这是根据定义显然的）

并且正规子群还有一个常用的等价条件

命题

N◃G⟺H≤G,∀a∈G,∀x∈N,s.t.axa−1∈NN \triangleleft G \quad \iff \quad H \leq G,\ \forall a \in G,\ \forall x \in N,\quad s.t. \quad axa^{-1} \in N

证明

（充分性）aN=NaaN = Na 等价于 aNa−1=NaNa^{-1} = N
（必要性）由条件可知 aNa−1⊂N,a−1Na⊂NaNa^{-1} \subset N,\ a^{-1}Na \subset N，所以 N=a(a−1Na)a−1⊂aNa−1N = a(a^{-1}Na)a^{-1} \subset aNa^{-1}，所以 aNa−1=N□aNa^{-1} = N \quad \square

另外一个有关的概念是，对于 a,b∈Ga,b \in G 称 aba−1b−1aba^{-1}b^{-1} 的形式的元为 GG 的 交换子 (Commutator)「交換子」，由所有的交换子生成的群称为 交换子群 (Commutator Subgroup)「交換子群」，记作 D(G)D(G)。交换子的一个应用就是判断正规子群

命题

H≤G,D(G)⊂H⟹H◃GH \leq G,\ D(G) \subset H \Longrightarrow H \triangleleft G

证明

取符合条件的 HH，所以有 ∀a∈G,∀x∈H,s.t.axa−1x−1=h∈H,axa−1=hx∈H□\forall a \in G,\ \forall x \in H,\quad s.t. \quad axa^{-1}x^{-1} = h \in H,\ axa^{-1} = hx \in H \quad \square

另外一个交换子群的应用是判断商群是否可换，首先如果 GG 是可换群，那么其任意的商群也是可换群，但是更一般来说有以下定理

命题
令 N◃GN \triangleleft G，有 D(G)⊂N⟺G/ND(G) \subset N \iff G/N 是交换群

证明

根据定义，G/NG/N 是交换群的条件是 (aN)(bN)=(bN)(aN)⇔abN=baN⇔(ab)(ba)−1=aba−1b−1∈N□(aN)(bN) = (bN)(aN) \Leftrightarrow abN = baN \Leftrightarrow (ab)(ba)^{-1} = aba^{-1}b^{-1} \in N \quad \square