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这是一个非常有意思的东西
Hamilton 四元数 (Hamilton Quaternion)「四元数」 指代的一般是 1,i,j,k1, i, j, k 四个基元，并且其平方满足：

i2=j2=k2=−1i^2 = j^2 = k^2 = -1

相互乘积关系，注意其乘积不可交换

ij=k,jk=i,ki=jji=−k,kj=−i,ik=−jij = k, jk = i, ki = j\\ ji = -k, kj = -i, ik = -j

乘法表如下：

1−1i−ij−jk−k11−1i−ij−jk−k−1−11−ii−jj−kkii−i−11k−k−jj−i−ii1−1−kkj−jjj−j−kk−11i−i−j−jjk−k1−1−iikk−kj−j−ii−11−k−kk−jji−i1−1\begin{array}{c|cccccccc} & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ -1 & -1 & 1 & -i & i & -j & j & -k & k \\ i & i & -i & -1 & 1 & k & -k & -j & j \\ -i & -i & i & 1 & -1 & -k & k & j & -j \\ j & j & -j & -k & k & -1 & 1 & i & -i \\ -j & -j & j & k & -k & 1 & -1 & -i & i \\ k & k & -k & j & -j & -i & i & -1 & 1 \\ -k & -k & k & -j & j & i & -i & 1 & -1 \\ \end{array}

在这样的计算性质下，我们可以用基元来生成一些代数结构

# 四元数群

由四元数生成的群叫做 四元数群 (Quaternion Group)「四元数群」
记作 Q8Q_8，一共八个元

Q8={±1,±i,±j,±k}Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}

其单位元是 11，每个元的逆元是其相反数

我们可以逐个分析元的阶

  • 11 的阶为 11
  • −1-1 的阶为 22
  • i,−i,j,−j,k,−ki, -i, j, -j, k, -k 的阶均为 44

以及群的性质

  • 中心 Z(Q8)={1,−1}Z(Q_8) = \{1, -1\} \quad
  • 共轭类 {1},{−1},{i,−i},{j,−j},{k,−k}\{1\}, \{-1\}, \{i, -i\}, \{j, -j\}, \{k, -k\} \quad

并且 Q8Q_8 是最小的 Hamilton 群（每个子群都正规的非阿贝尔群）

# 四元数环

接下来我们如果从环 RR 里面向 Q8Q_8 中添加元，并添加加法运算，使其封闭
就可以构成 四元数环 (Quaternion Ring)「四元数环」
记作 H\mathbb H

H={a+bi+cj+dk∣a,b,c,d∈R}\mathbb H = \{a + bi + cj + dk \mid a,b,c,d \in \mathbb R\}

此时 H\mathbb H 实际上成为了一个四维向量空间的代数结构
其基底为 {1,i,j,k}\{1, i, j, k\} \quad

加法和乘法定义如下
加法（各个分量各自相加）

(a+bi+cj+dk)+(a′+b′i+c′j+d′k)=(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j+(d+d′)k(a + bi + cj + dk) + (a' + b'i + c'j + d'k) = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k

乘法（用分配律计算）

(a+bi+cj+dk)(a′+b′i+c′j+d′k)=(aa′−bb′−cc′−dd′)+(ab′+a′b+cd′−dc′)i+(ac′+a′c+db′−bd′)j+(ad′+a′d+bc′−cb′)k(a + bi + cj + dk)(a' + b'i + c'j + d'k) = (aa' - bb' - cc' - dd') + (ab' + a'b + cd' - dc')i + (ac' + a'c + db' - bd')j + (ad' + a'd + bc' - cb')k

实际上和复数空间上的计算定义是完全一样的，所以可以看作是复数空间的扩展

H\mathbb H 的每个元都有其逆元，所以构成除环。我们来试着实际找一下乘法逆元

给定四元数 q=a+bi+cj+dkq = a + b i + c j + d k，设其逆元为 q−1=a′+b′i+c′j+d′kq^{-1} = a' + b' i + c' j + d' k，根据逆元的运算
qq−1=(a+bi+cj+dk)(a′+b′i+c′j+d′k)=1qq^{-1} = (a+bi+cj+dk)(a'+b'i+c'j+d'k) = 1，整理对比系数

  • 实部：aa′−bb′−cc′−dd′a a' - b b' - c c' - d d'
  • ii 系数：ab′+a′b+cd′−dc′a b' + a' b + c d' - d c'
  • jj 系数：ac′+a′c+db′−bd′a c' + a' c + d b' - b d'
  • kk 系数：ad′+a′d+bc′−cb′a d' + a' d + b c' - c b'

于是得到线性方程组：

{aa′−bb′−cc′−dd′=1ba′+ab′−dc′+cd′=0ca′+db′+ac′−bd′=0da′−cb′+bc′+ad′=0\begin{cases} a a' - b b' - c c' - d d' = 1 \\ b a' + a b' - d c' + c d' = 0 \\ c a' + d b' + a c' - b d' = 0 \\ d a' - c b' + b c' + a d' = 0 \end{cases}

构造增广矩阵并化简：

(a−b−c−d1ba−dc0cda−b0d−cba0)⟶(1000aa2+b2+c2+d20100−ba2+b2+c2+d20010−ca2+b2+c2+d20001−da2+b2+c2+d2)\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d & 1 \\ b & a & -d & c & 0 \\ c & d & a & -b & 0 \\ d & -c & b & a & 0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{a}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\dfrac{b}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\dfrac{c}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{d}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \end{pmatrix}

由此可得一般的乘法逆元为

q−1=1a2+b2+c2+d2(a−bi−cj−dk),□q^{-1} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}(a - bi - cj - dk),\quad \square

但是与四元数群一样，四元数环的乘法也是不可交换的，所以它构成除环但不是交换环
这决定了它不是域

四元数环是 Hurwitz 定理中给出的四种有限维实数除环之一：

  • 实数域 R\mathbb R
  • 复数域 C\mathbb C
  • 四元数环 H\mathbb H
  • 八元数环 O\mathbb O（不可结合代数）

在几何，物理，计算机图形学等领域中，常用 H\mathbb H 来表示旋转（替代旋转矩阵）

简要介绍一下 Hurwitz 定理（不予证明）：

定理（Hurwitz 定理）
若 AA 是一个附带范数的有限维实数除代数
并且存在一个良好性质的范数 NN，使得对任意 x,y∈Ax, y \in A 都有

N(xy)=N(x)N(y)N(xy) = N(x)N(y)

那么 AA 必然同构于 R,C,H\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H 或 O\mathbb O 之一