考虑一个看起来有些神奇的情况：
如果环中两个运算的单位元一致，即 1=0，那么由于
∀a∈R: a=1a=0a=0
所以这个环中只有 0 一个元，称为 零环 (Zero Ring)「零環」
注意，我们接下来考虑的环一律默认非零环。
先定义两类比较特殊的环中的元
第一个是单元，单元可以简单理解为 “性质特别好的成员”
如果一个元 a∈R 具备乘法逆元，那么 a−1 具备意义，并且称其为 单元 (Unit)「単元」
R 的单元全体记作 R×，其对乘法构成群
示例
- Z×={1,−1}
- (Z/nZ)×={x+mZ∣gcd(x,m)=1}
第二个是零因子，可以简单理解为 “性质特别差的成员”，这是两个极端
通常的环中，两个非 0 的元 a,b 的积也可能是 0
这样的元被称为 零因子 (Zero Divisor)「零因子」
（例如矩阵乘法中就有这样的零因子）
研究零因子是将环的性质强化到下一个阶段（域）的钥匙
定义
令 R 为环，a∈R∖{0}
- 称 a 为 左零因子 (Left Zero Divisor)「左零因子」 ⟺def∃b∈R∖{0}:ab=0
- 称 a 为 右零因子 (Right Zero Divisor)「右零因子」 ⟺def∃c∈R∖{0}:ca=0
- 称 a 为 零因子 (Zero Divisor)「零因子」 ⟺def a 为左零因子或右零因子
- 称 R 为 整环 (Integral Domain)「整域」 ⟺def R 不具有零因子
示例
例 1 有理整数环 Z 是整环。
例 2 映射 f:[0,1]→R 全体构成的交换环并非整环。例如我们可以这样获得零因子f,g：
f(t)={01(0≤t≤21)(21<t≤1),g(t)={10(0≤t≤21)(21<t≤1)
例 3 非零加法群 A 的自同态环 End(A) 的单元其实就是 A 的自同构（映射），其全体构成的乘法群无非就是自同构群 Aut(A)
如果一个环 R 内所有非 0 的元都是单元，则称这个环为 除环 (Division Ring)「斜体」，语义理解为在这个环上的乘法可以定义除法，所以是除环，或者说和域的性质已经非常接近了。
如果其进一步满足乘法交换律，则称为 域 (Field)「体」
定义
R 为除环 ⟺R∖{0}=R×
示例
例 1 Q⊂R⊂C 都是域。
例 2 有理整数环 Z 不是域（单元仅 1,−1）。
例 3 多项式环 R[x] 不是域。
通过研究零因子（整环），我们其实就可以研究环是否为域。
注意明确
- 整环的关键性质是没有零因子
- 域的关键性质是所有非零元都是单元（可逆）
命题
证明
(1) 在域 F 下，由于所有非零元都对乘法构成交换群，所以只要 a=0,b=0，则一定 ab=0，成为整环
(2) 设有限整环 R，任取 a∈R∖{0}，考虑映射 f:R→R,f(x)=ax
假设 ax=ay，移项 a(x−y)=0，由整环的性质可得 x=y，所以 f 是单射
由于 R 有限，单射必为满射
这意味着一定存在一个元 x∈R 使得 ax=1
由于 a 是任意选取的非零元，所以 R 中所有非零元都是单元，成为域
同样的，如果域的子集成为域，则称为 子域 (Subfield)「部分体」
示例
例 Q 是 R 的子域。
