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# 环的定义

定义
令 RR 为非空集合
于 RR 上定义两个运算（封闭）：

  • 加法 +:R×R→R,(a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b
  • 乘法 ∗:R×R→R,(a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab

若 RR 对加法，乘法封闭，且满足：

  • 加法交换群 RR 对加法构成交换群
  • 乘法结合律 RR 对乘法满足结合律
    • (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)
  • 分配律 RR 对加法和乘法满足分配律
    • a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+caa(b + c) = ab + ac ,\ (b + c )a = ba + ca
  • 乘法单位元 RR 具有乘法单位元 ee
    • ∀a∈R,ae=ea=a\forall a \in R,\ ae = ea = a

则称 RR 为 环 (Ring)「環」

注意，环上定义的两个运算虽然称作加法和乘法，但是并不一定是一般意义下的实数加法和乘法。例如可以是矩阵乘法，或者映射积（复合），或者直和等等。

环的定义目前是具备争议的，并没有完全统一。有一部分观点认为环的定义不需要乘法的单位元，这种环也有被叫做伪环。
为避免混淆，我们在这里规定环具备乘法单位元。

通常将加法的单位元记作 00，并称为 零元 (Zero element)「零元」，乘法单位元记作 11。

对于 RR 上的元 aa，谈论其逆元的时候，只有加法逆元具有普遍性，加法逆元记作 −a-a，乘法逆元不一定存在（一般情况下 a−1a^{-1} 不具备意义）。

R2 和 R4 两条可以合并为对乘法构成 幺半群 (Monoid)「モノイド」

RR 上的有限个的和，积可以按一般的形式定义

a1+⋯+an=∑i=1nai,a1⋯an=∏i=1naia_1 + \cdots +a_n = \sum_{i=1}^n a_i ,\quad a_1 \cdots a_n = \prod_{i=1}^n a_i

但是注意积的顺序并不能默认可以交换（因为我们没有要求乘法满足交换律）。
乘法满足交换律时，称 RR 为 交换环 (Commutative Ring)「可換環」

示例
例 1 整数 Z\mathbb Z 对一般的加法乘法构成交换环，称为 有理整数环 (Ring of Integers)「整数環」。有理指的是通常意义下的整数（1,2,3,⋯1,2,3,\cdots），整数论中常常会探究比较抽象的，更加广义的 "整数"。
例 2 Q,R,C\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C 对一般的加法，乘法构成交换环。
例 3 映射 f:[0,1]→Rf:[0,1] \to \mathbb R 全体构成的集合对函数加法，函数积构成交换环。
例 4 令 RR 为任意环，SS 为非空集，映射 f:S→Rf:S \to R 全体构成的集合 M(S,R)M(S,R) 对函数加法和函数积构成环。
例 5 加法群 GG 的自同构映射全体构成的集合 End(G)End(G) 对函数加法和函数积构成环。并称为 自同态环 (Endomorphism Ring)「自己同型環」
例 6 R[x]:={a0+a1x+⋯+anxn∣a1,⋯,an∈R,n∈N}R[x] := \{a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \mid a_1,\cdots,a_n \in R, n \in \mathbb N\} 构成一个环，称为以 RR 为系数域的 多项式环 (Polynomial Ring)「多項式環」，零元为 00，单位元为 1R1_R
例 7 nn 阶方阵全体 Mn(R)M_n(R) 对矩阵加法和矩阵乘法构成环，称为 矩阵环 (Matrix Ring)「行列環」，零元为零矩阵 OO，单位元为单位矩阵 EnE_n，即使 RR 是交换环，Mn(R)M_n(R) 也不是交换环。

# 环的性质

命题
∀a,b,c∈R:\forall a,b,c \in R:

  • 0a=a0=00a = a0 = 0
  • (−1)a=−a(-1)a = -a
  • (−a)b=−(ab)(-a)b = -(ab)
  • (−1)2=1(-1)^2 = 1
  • 若 a1,⋯,am,b1,⋯,bna_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_n 为 RR 上的元，则

(a1+⋯+am)(b1+⋯bn)=∑i=1m∑j=1naibj(a_1 + \cdots + a_m)(b_1 + \cdots b_n) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j

证明

(1) 0a=(0+0)a=0a+0a⇒0a=00a = (0+0)a = 0a + 0a \Rightarrow 0a = 0
(2) (−1)a+a=(−1+1)a=0⇒(−1)a=−a(-1)a + a = (-1 + 1)a = 0 \Rightarrow (-1)a = -a
(3) (−a)b+ab=(−a+a)b=0⇒(−a)b=−(ab)(-a)b + ab = (-a + a)b = 0 \Rightarrow (-a)b = -(ab)
(4) (−1)2+1=(−1+1)(−1)=0⇒(−1)2=1(-1)^2 + 1 = (-1 + 1)(-1) = 0 \Rightarrow (-1)^2 = 1
(5) 用数学归纳法证明
令 m=1m=1，先对 nn 归纳
当 n=1n=1 时，显然成立
假设 n=kn=k 时成立，则 n=k+1n=k+1 时

(a1)(b1+⋯+bk+bk+1)=(a1)(b1+⋯+bk)+(a1)bk+1=∑j=1ka1bj+a1bk+1=∑j=1k+1a1bj(a_1)(b_1 + \cdots + b_k + b_{k+1}) = (a_1)(b_1 + \cdots + b_k) + (a_1)b_{k+1} = \sum_{j=1}^k a_1 b_j + a_1 b_{k+1} = \sum_{j=1}^{k+1} a_1 b_j

所以对任意 nn 成立
再对 mm 归纳
当 m=1m=1 时，显然成立
假设 m=km=k 时成立，则 m=k+1m=k+1 时

(a1+⋯+ak+1)(b1+⋯+bn)=(a1+⋯+ak)(b1+⋯+bn)+(ak+1)(b1+⋯+bn)=∑i=1k∑j=1naibj+∑j=1nak+1bj=∑i=1k+1∑j=1naibj\begin{aligned} (a_1 + \cdots + a_{k+1})(b_1 + \cdots + b_n) &= (a_1 + \cdots + a_k)(b_1 + \cdots + b_n) + (a_{k+1})(b_1 + \cdots + b_n) \\ &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n a_i b_j + \sum_{j=1}^n a_{k+1} b_j \\ &= \sum_{i=1}^{k+1} \sum_{j=1}^n a_i b_j \end{aligned}

与子群类似的，如果环 RR 的子集 JJ 成为环且对原运算封闭，则称 JJ 为 子环 (Subring)「部分環」
实际上验证加法子群 J⊂RJ \subset R 为子环只需要验证：

  • 1R∈J1_R \in J
  • JJ 对乘法封闭

示例
例 1 Z\mathbb Z 是 Q\mathbb Q 的子环。
例 2 2Z2\mathbb Z 虽然是 Z\mathbb Z 的加法子群，但是不构成子环（没有单位元 1）。

命题
令 RR 为环，R1,R2⊂RR_1,R_2 \subset R 为 RR 的子环，则

  • R1∩R2R_1 \cap R_2 为 RR 的子环
  • R1×R2:={(a,b)∣a∈R1,b∈R2}R_1 \times R_2 := \{(a,b) \mid a \in R_1, b \in R_2\} 对逐点加法和逐点乘法构成环
证明

(1) 依照子群性质，R1∩R2R_1 \cap R_2 成为加法子群
1R∈R1∩R21_R \in R_1 \cap R_2，并且对任意 a,b∈R1∩R2a,b \in R_1 \cap R_2，有 ab∈R1,ab∈R2ab \in R_1, ab \in R_2，所以 ab∈R1∩R2ab \in R_1 \cap R_2，所以 R1∩R2R_1 \cap R_2 为 RR 的子环
(2) (1R1,1R2)(1_{R_1},1_{R_2}) 成为单位元，并且对任意 (a,b),(c,d)∈R1×R2(a,b),(c,d) \in R_1 \times R_2，有 (a,b)(c,d)=(ac,bd)∈R1×R2(a,b)(c,d) = (ac,bd) \in R_1 \times R_2，所以 R1×R2R_1 \times R_2 对乘法封闭，所以 R1×R2R_1 \times R_2 为环

# 整环与域

考虑一个看起来有些神奇的情况：
如果环中两个运算的单位元一致，即 1=01=0，那么由于
∀a∈R:a=1a=0a=0\forall a \in R:\ a = 1a = 0a = 0
所以这个环中只有 00 一个元，称为 零环 (Zero Ring)「零環」

注意，我们接下来考虑的环一律默认非零环。

先定义两类比较特殊的环中的元

第一个是单元，单元可以简单理解为 “性质特别好的成员”

如果一个元 a∈Ra \in R 具备乘法逆元，那么 a−1a^{-1} 具备意义，并且称其为 单元 (Unit)「単元」

RR 的单元全体记作 R×R^\times，其对乘法构成群

示例

  • Z×={1,−1}\mathbb Z^\times = \{ 1, -1 \} \quad
  • (Z/nZ)×={x+mZ∣gcd⁡(x,m)=1}(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times = \{x + m\mathbb Z \mid \gcd(x,m) = 1\} \quad

第二个是零因子，可以简单理解为 “性质特别差的成员”，这是两个极端

通常的环中，两个非 00 的元 a,ba,b 的积也可能是 00
这样的元被称为 零因子 (Zero Divisor)「零因子」
（例如矩阵乘法中就有这样的零因子）
研究零因子是将环的性质强化到下一个阶段（域）的钥匙

定义
令 RR 为环，a∈R∖{0}a \in R \setminus \{0\} \quad

  • 称 aa 为 左零因子 (Left Zero Divisor)「左零因子」 ⟺def∃b∈R∖{0}:ab=0\stackrel{def}{\iff} \exists b \in R \setminus \{0\} : ab = 0
  • 称 aa 为 右零因子 (Right Zero Divisor)「右零因子」 ⟺def∃c∈R∖{0}:ca=0\stackrel{def}{\iff} \exists c \in R \setminus \{0\} : ca = 0
  • 称 aa 为 零因子 (Zero Divisor)「零因子」 ⟺def\stackrel{def}{\iff} aa 为左零因子或右零因子
  • 称 RR 为 整环 (Integral Domain)「整域」 ⟺def\stackrel{def}{\iff} RR 不具有零因子

示例
例 1 有理整数环 Z\mathbb Z 是整环。
例 2 映射 f:[0,1]→Rf:[0,1] \to \mathbb R 全体构成的交换环并非整环。例如我们可以这样获得零因子f,gf,g：

f(t)={0(0≤t≤12)1(12<t≤1),g(t)={1(0≤t≤12)0(12<t≤1)f(t) = \begin{cases} 0 & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ 1 & (\frac{1}{2} < t \leq 1) \end{cases}, \quad g(t) = \begin{cases} 1 & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ 0 & (\frac{1}{2} < t \leq 1) \end{cases}

例 3 非零加法群 AA 的自同态环 End(A)End(A) 的单元其实就是 AA 的自同构（映射），其全体构成的乘法群无非就是自同构群 Aut(A)Aut(A)

如果一个环 RR 内所有非 00 的元都是单元，则称这个环为 除环 (Division Ring)「斜体」，语义理解为在这个环上的乘法可以定义除法，所以是除环，或者说和域的性质已经非常接近了。
如果其进一步满足乘法交换律，则称为 域 (Field)「体」

定义
RR 为除环 ⟺R∖{0}=R×\iff R \setminus \{0\} = R^\times

示例
例 1 Q⊂R⊂C\mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C 都是域。
例 2 有理整数环 Z\mathbb Z 不是域（单元仅 1,−11,-1）。
例 3 多项式环 R[x]R[x] 不是域。

通过研究零因子（整环），我们其实就可以研究环是否为域。

命题

  • 任意的域都是整环
  • 有限的整环为域
证明（待）

同样的，如果域的子集成为域，则称为 子域 (Subfield)「部分体」

示例
例 Q\mathbb Q 是 R\mathbb R 的子域。