# 直积

直积的概念在集合论中早已出现过，在群论中我们关注集合作为运算的结构，所以我们可以通过给出直积上的运算来考察诸性质

给出群 $G_1,G_2$ 和直积 $G_1 \times G_2$ 如果我们定义对于这个集合上的两个元 $(a_1,a_2),(b_1,b_2)$ 之间的运算（写作积的形式）为

$(a_1,a_2)(b_1,b_2) = (a_1b_1,a_2b_2)$

那么这个直积集合会关于这个运算成为群，并且其成为交换群的充要条件是 $G_1,G_2$ 都是交换群，记 $G = G_1 \times G_2$ ，此时对于 $G$ 来说

直积在群论中重要的应用是 直积分解 (Direct Product Decomposition)「直積分解」

定义
令 $H_1,H_2 \leq G$ 为交换群，若任意 $G$ 的元 $g$ 可以被唯一地表示为 $g = h_1h_2,\ h_1 \in H_1,\ h_2 \in H_2$ ，则称 $G$ 可以被 $H_1,H_2$ 直积分解

命题
此时有 $G \cong H_1 \times H_2$ ，且通常来说此时我们将这两个群视为同一，即 $G = H_1 \times H_2$

直积分解是研究群构造的强有力手段，但是依据定义证明直积分解是很麻烦的，更加常用的是以下等价条件

命题
令 $H_1,H_2 \leq G$ ，此时 $G$ 可以被 $H_1,H_2$ 直积分解的充要条件为

# 群上的作用

“任何群一定和某个置换群同构”

这是一个很强力的定理（Cayley 定理），一定程度上揭示了群的结构本质。这节会用群作用这个概念来给出这个定理

定义
对于群 $G$ 和一个集合 $X$ ，若映射 $f:G \times X \to X,\ (a,x) \mapsto a \cdot x$ 满足

$\forall x \in X,\ s.t. \ e \cdot x = x$
$\forall a,b \in G,\ \forall x \in X,\ s.t. \ ab \cdot x = a \cdot (b \cdot x)$
则称 $f$ 为群 $G$ 集合 $X$ 的 作用 (Action)「作用」，记作 $G \hookrightarrow X$ 。也称集合 $X$ 为 G - 集合