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# 同态映射

定义
令 G,G′G,G' 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G' 若

f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b)

则称 ff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')
若在此之上，有 ff 双射，则称 ff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」

要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GG 是乘法群，右边的群 G′G' 是加法群，函数满足 f(ab)=f(a)+f(b)f(ab) = f(a)+f(b) 就可以是同态。另外，如果这两个群上可以定义多个运算，只要关于其中一个运算有这个性质就可以是同态了。

示例
例 1：令 x′∈G′x' \in G' 是 G′G' 上的单位元，常值映射 f:G→G′,x↦e′f : G \to G',\ x \mapsto e' 显然是一个同态映射，这个映射常称为 trivial 映射
例 2：令 N◃GN \triangleleft G，将每个元映射到陪集 ϕ:G→G/N,a↦aN\phi : G \to G/N,\ a \mapsto aN 是一个同态映射（ϕ(ab)=abN=(aN)(bN)=ϕ(a)ϕ(b)\phi(ab) = abN = (aN)(bN) = \phi(a)\phi(b)），这个映射称为自然的同态映射

几个关于同态映射的性质

命题
令 f:G→G′,g:G′→G′′f:G \to G',\ g:G' \to G'' 为同态，e∈G,e′∈G′e \in G, e' \in G' 为各自的单位元，则

  • f(e)=e′f(e) = e'
  • ∀x∈G,f(x−1)=f(x)−1\forall x \in G,\ f(x^{-1}) = f(x)^{-1} \quad
  • g∘f:G→G′′g \circ f : G \to G'' 也是同态
  • f(G)≤G′f(G) \leq G'
  • Kerf◃GKer f \triangleleft G
证明

（1）对

f(e)=f(ee)=f(e)f(e)f(e) = f(ee) = f(e)f(e)

两边同时乘 f(e)−1f(e)^{-1} 即可

（2）因为

e′=f(e)=f(xx−1)=f(x)f(x−1)e' = f(e) = f(xx^{-1}) = f(x)f(x^{-1})

（3）∀x,y∈G\forall x,y \in G

(g∘f)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=(g∘f)(x)(g∘f)(y)(g \circ f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (g \circ f)(x) (g \circ f)(y)

（4）e′=f(e)∈f(G),f(x)f(y)=f(xy)∈f(G),(f(x))−1=f(x−1)∈f(G)e' = f(e) \in f(G),\ f(x)f(y) = f(xy) \in f(G),\ (f(x))^{-1} = f(x^{-1}) \in f(G)

（5）f(e)=e′f(e) = e'

∴e∈Kerf,f(xy)=f(x)(y)=e′e′=e′\therefore e \in Kerf,\ f(xy) = f(x)(y) = e'e' = e'

进一步有

xy∈Kerf,f(x−1)=f(x)−1=(e′)−1=e′xy \in Kerf,\ f(x^{-1}) = f(x)^{-1} = (e')^{-1} = e'

∴x−1∈Kerf⇒kerf≤G\therefore x^{-1} \in Kerf\ \Rightarrow kerf \leq G

因为对任意 a∈G,∀x∈Kerf,a \in G,\forall x \in Kerf,

f(axa−1)=f(a)e′f(a)−1=e′∴Kerf◃G□f(axa^{-1}) = f(a)e'f(a)^{-1} = e' \ \therefore Kerf \triangleleft G \quad \square

注意此处 KerfKer f 和线性映射处的定义基本一致，同样的也有像 ImfIm f

  • 核 Kerf:={x∈G∣f(x)=e′}Ker f := \{x \in G \mid f(x) = e'\} \quad
  • 像 Imf:={f(x)∣x∈G}Im f := \{f(x) \mid x \in G\} \quad

关于核有一个非常常用的性质

命题
令 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')

f(a)=f(b)⟺aKerf=bKerff(a) = f(b) \quad \iff \quad aKer f = bKer f

证明

注意 f(a)=f(b)⇔f(a)−1f(b)=e′=f(a−1b)f(a) = f(b) \Leftrightarrow f(a)^{-1}f(b) = e' = f(a^{-1}b)，所以有

f(a)=f(b)⇔a−1b∈Kerf⇔aKerf=bKerf□f(a) = f(b) \Leftrightarrow a^{-1}b \in Kerf \Leftrightarrow aKerf = bKerf \quad \square

这个定理实际上在说明，映射过去相同的元是关于核同余的

并且引出证明单射同态的一个方法

命题
f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')

f单射⟺Kerf={e}f 单射 \quad \iff \quad Ker f = \{e\}

证明

由上述定理，同属一个陪集 aKerfaKerf 的所有元都会映射为 f(a)f(a)，所以每个以 KerfKerf 为模做出来的陪集，映射的结果都一样，并且注意到之前定理中有每个陪集的阶数一致，所以我们只需要约束核中只有一个元（只能是 ee）即可 □\quad \square

对于同构也有一个很容易证明的性质

命题

f:G→G′同构⟺f−1:G′→G同构f:G \to G' 同构 \quad \iff \quad f^{-1}:G' \to G 同构

证明

由于 ff 是双射，所以 f−1f^{-1} 存在，并且 ∀a′,b′∈G′,∃a,b∈G:f(a)=a′,f(b)=b′\forall a',b' \in G',\ \exists a,b \in G : f(a) = a',f(b) = b'，所以

f−1(a′b′)=f−1(f(a)f(b))=f−1(f(ab))=ab=f−1(a′)f−1(b′)□f^{-1}(a'b') = f^{-1}(f(a)f(b)) = f^{-1}(f(ab)) = ab = f^{-1}(a')f^{-1}(b') \quad \square

同构映射主要的作用是分析两个群之间的关系（哪怕同态也是为了引出同构来分析关系，见后同态定理），规定如果 f:G→G′f:G \to G' 是同构，那么群 GG 与群 G′G' 同构。记作 G≅G′G \cong G'。

同构这个概念抽象上来说类似于 “等于”，也就是说这两个群作为一个群的构成，是一致的。

示例
例 1：加法群 R\mathbb R 和乘法群 R+\mathbb R^+ 同构，例如指数函数就是一个同构映射

现在回到同态，我们需要引出一个非常重要的定理

刚刚有提到，如果核只含单位元，那么同态映射是单射的，证明过程中提到了每个陪集只会映射为同一个元。所以我们如果给定一个映射是将陪集本身映射为这个元，这一定会成为一个双射映射，也是同构映射，这就是同态定理（或者叫同构定理）

定理 群同构第一定理
f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')，此时定映射 ϕ\phi 为

ϕ:G/Kerf→Imf,aKerf↦f(a)\phi : G/Kerf \to Imf,\ aKerf \mapsto f(a)

那么 ϕ\phi 是同构映射，并且有 G/Kerf≅ImfG/Kerf \cong Imf

证明

证明此映射为同构映射主要需要证明：良定性，双射性和同态
（良定性）取定义域内两元 aKerf,bKerfaKerf,bKerf 并假设 aKerf=bKerfaKerf = bKerf，此时由于逆元的唯一性有 aKerf=bKerf⇔b−1a∈Kerf⇔f(b−1a)=f(b)−1f(a)=e′⇔f(a)=f(b)aKerf = bKerf \Leftrightarrow b^{-1}a \in Kerf \Leftrightarrow f(b^{-1}a) = f(b)^{-1}f(a) = e' \Leftrightarrow f(a) = f(b) 所以有 ϕ(aKerf)=f(b)=f(a)=ϕ(bKerf)\phi(aKerf) = f(b) = f(a) = \phi(bKerf)，得到良定性
（双射性）令 ϕ(aKerf)=ϕ(bKerf)\phi(aKerf) = \phi(bKerf)，则 f(a)=f(b)⇔aKerf=bKerff(a) = f(b) \Leftrightarrow aKerf = bKerf，得到单射性。另外 Imϕ={ϕ(xKerf)∣xKerf∈G/Kerf⇔x∈G}={f(x)∣x∈G}=ImfIm\phi = \{\phi(xKerf) \mid xKerf \in G/Kerf \Leftrightarrow x \in G\} = \{f(x) \mid x \in G\} = Imf 所以 ϕ\phi 是满射，进而双射
（同态）∀aN,bN∈G/kerf:\forall aN,bN \in G/kerf : ϕ(aNbN)=ϕ(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=ϕ(aN)ϕ(bN)□\phi(aNbN) = \phi(abN) = f(ab) = f(a)f(b) = \phi(aN)\phi(bN) \quad \square

此外还有

定理 群同构第二定理
令 N◃G,H≤GN \triangleleft G,\ H \leq G，有

  1. HN≤GHN \leq G
  2. H∩N◃GH \cap N \triangleleft G
  3. H/(H∩N)≅HN/NH/(H \cap N) \cong HN/N
证明

给定标准的同态映射 f:G→G/N,x↦xNf:G \to G/N, x \mapsto xN，由于同态映射保持运算结构，我们可以知道由于 HH 是一个子群，所以 H′:=f(H)H' := f(H) 也是一个子群，同理 f−1(H′)f^{-1}(H') 也是一个子群。我们证明 HN=f−1(H′)HN = f^{-1}(H') 即可证明第一条。注意f−1(f(A))=Af^{-1}(f(A)) = A 不一定成立。
取 a∈HNa \in HN，则 a=hn,h∈H,n∈Na = hn,\ h \in H,n \in N，由于 f(n)=nN=Nf(n) = nN = N，所以 f(a)=f(hn)=f(h)∈f(H)=H′f(a) = f(hn) = f(h) \in f(H) = H'，得到 a∈f−1(H′)a \in f^{-1}(H')
另一边，取 a∈f−1(H′)a \in f^{-1}(H')，则 f(a)∈H′=f(H)⇒∃h∈H:aN=hN⇒a∈HNf(a) \in H' = f(H) \Rightarrow \exists h \in H : aN = hN \Rightarrow a \in HN
综上有 HN=f−1(H′)≤GHN = f^{-1}(H') \leq G 成立
接下来令映射 ϕ:H→HN/N,h↦hnN=hN\phi:H \to HN/N,h \mapsto hnN = hN，由于同个 hh 映射到同个 hNhN，所以 ϕ\phi 是良定的。并且有 ϕ(h1h2)=(h1h2)N=(h1N)(h2N)=ϕ(h1)ϕ(h2)\phi(h_1h_2) = (h_1h_2)N = (h_1N)(h_2N) = \phi(h_1)\phi(h_2)，给出 ϕ∈Hom(H,HN/N)\phi \in Hom(H,HN/N)
此时，Imϕ={hN∣h∈H}={hnN∣h∈H,n∈N}=HN/NIm\phi = \{hN \mid h \in H\} = \{hnN \mid h \in H,n \in N\} = HN/N，且 Kerϕ={h∈H∣ϕ(h)=eN}={h∈H∣hN=N}={h∈H∣h∈N}=H∩NKer\phi = \{h \in H \mid \phi(h) = eN\} = \{h \in H \mid hN = N\} = \{h \in H \mid h \in N\} = H \cap N，由于核是正规子群，所以有 H∩N◃GH \cap N \triangleleft G
最后，根据群同构第一定理可以得到 H/Kerϕ≅ImϕH/Ker\phi \cong Im\phi，也就是 H/(H∩N)≅HN/N□H/(H \cap N) \cong HN/N \quad \square

以及

定理 群同构第三定理
令 N,M◃G,M⊂NN,M \triangleleft G,\ M \subset N，有

  • G/N≅(G/M)/(N/M)G/N \cong (G/M)/(N/M)
证明

令映射 ϕ:G/M→G/N,gM↦gN\phi:G/M \to G/N,gM \mapsto gN，先检查一下良定性：取 aM=bMaM = bM，那么 b−1a∈M⊂Nb^{-1}a \in M \subset N，所以 aN=bNaN = bN，well-defined
接下来，由于 ϕ(aMbM)=ϕ(abM)=abN=(aN)(bN)=ϕ(aM)ϕ(bM)\phi(aMbM) = \phi(abM) = abN = (aN)(bN) = \phi(aM)\phi(bM)，所以 ϕ\phi 是同态
此时，Kerϕ={aM∈G/M∣ϕ(aM)=eN=N}={aM∈G/M∣aN=N⇔a∈N}=(G∩N)/M=N/MKer\phi = \{aM \in G/M \mid \phi(aM) = eN = N\} = \{aM \in G/M \mid aN = N \Leftrightarrow a \in N\} = (G \cap N)/M = N/M
且 Imϕ={gN∣g∈G}=G/NIm\phi = \{gN \mid g \in G\} = G/N
所以，由群同构第一定理可得 G/N≅(G/M)/(N/M)□G/N \cong (G/M)/(N/M) \quad \square

对于群 GG，称其自己到自己的同构映射为 自同构 (Automorphism)「自己同型」

自同构的映射全体实际上是构成一个群的，我们来检查一下：首先如果 f,gf,g 是自同构，那么根据上面同构的定理，有 f∘g,f−1f \circ g,f^{-1} 都是自同构，所以这个群对于映射的合成这个运算构成一个群，通常记群GG 上的自同构全体的群为 Aut(G)Aut(G)。