# Sylow 定理

群论的最后,让我们来学习一个分析有限群构造的重要定理:Sylow 三大定理

在子群的章节有给出,子群的阶数一定是群的阶数的因子。但是反过来并不能说一定存在因子阶数的子群,例如交错群 A4A_4 的阶数为 12,但是并没有阶 6 的子群。

然而,我们却可以直接给出,如果这个因子是质数,那么一定存在与其对应的群

定理 Sylow 第一定理
ppord(G)ord(G) 的质因数,且 ord(G)ord(G) 可以被分解为 ord(G)=pkm,k,mNord(G) = p^km,\ k,m \in \mathbb N,则一定存在阶数为 pkp^k 的子群
特别的,如果 gcd(pk,m)=1gcd(p^k,m) = 1,称此时的阶数为 pkp^k 的子群是 Sylow-p 子群 (Sylow p-subgroup)「Sylow-p 部分群」
GG 上所有的 Sylow-p 群记作 Sylp(G)Syl_p(G)

证明

由此有引理:

命题
(1)若质数 p:pord(G)p : \ p \mid ord(G),则 GG 中一定含有阶数为 pp 的元
(2)任意 GG 的 p - 子群(阶数为 pp 的子群)都含在某个 Sylow-p 子群中

此外还有

定理 Sylow 第二定理
任意两个 GG 的 Sylow-p 子群都是在 GG 中共轭的

定理 Sylow 第三定理
GG 的 Sylow-p 子群的个数一定是 1+kp,(kN)1+kp,(k \in \mathbb N) 的形式,并且 (1+kp)ord(G)(1+kp) \mid ord(G)

并且回忆一下在共轭的章节给出的定理,结合每个 Sylow-p 子群都共轭,可以知道,令 PP 是一个 Sylow-p 子群,则 Sylow-p 子群的个数 |Syl_p(G)| = (G:N_G(p)) = \frac{|G|}

接下来来实际看一下 Sylow 定理的分析能力:

我们来分析所有阶数为 1515 的群会有怎么样的构造,首先对 1515 进行质因数分解:15=3515 = 3 \cdot 5,根据 Sylow 定理分别分析 Sylow-3 群 和 Sylow-5 群

首先 Sylow-3 群的个数是 1515 的因数,且在模 33 下余数为 11,得到个数只能为 11,同理可以知道 Sylow-5 群的个数也是 11

AA 为 Sylow-3 群,BB 为 Sylow-5 群。接下来因为这两个子群的阶数各自都是质数,可以得到都是循环群,进一步得到都是正规子群,并且由于阶数互质给出 A \cap B = \

所以根据上述理由可以有直积分解 ABA×BAB \cong A \times B 给出 AB=AB=15|AB| = |A| \cdot |B| = 15

且由于两个子群都是循环群,取各自的生成元 a,ba,b,可以知道对于直积中的元 (a,b)(a,b),有 ord((a,b))=lcm(ord(a),ord(b))=15=ABord((a,b)) = lcm(ord(a),ord(b)) = 15 = |AB| 所以这个直积群 ABAB 也是循环群

最后,注意到 ABG,AB=15=GAB \leq G,\ |AB| = 15 = |G|,给出

G=ABG = AB

所以 GG 也是循环群

综上,阶数 1515 的群只有循环群一种