# Sylow 定理
群论的最后,让我们来学习一个分析有限群构造的重要定理:Sylow 三大定理
在子群的章节有给出,子群的阶数一定是群的阶数的因子。但是反过来并不能说一定存在因子阶数的子群,例如交错群 A4 的阶数为 12,但是并没有阶 6 的子群。
然而,我们却可以直接给出,如果这个因子是质数,那么一定存在与其对应的群
定理 Sylow 第一定理
令 p 为 ord(G) 的质因数,且 ord(G) 可以被分解为 ord(G)=pkm, k,m∈N,则一定存在阶数为 pk 的子群
特别的,如果 gcd(pk,m)=1,称此时的阶数为 pk 的子群是 Sylow-p 子群 (Sylow p-subgroup)「Sylow-p 部分群」
G 上所有的 Sylow-p 群记作 Sylp(G)
证明
由此有引理:
命题
(1)若质数 p: p∣ord(G),则 G 中一定含有阶数为 p 的元
(2)任意 G 的 p - 子群(阶数为 p 的子群)都含在某个 Sylow-p 子群中
此外还有
定理 Sylow 第二定理
任意两个 G 的 Sylow-p 子群都是在 G 中共轭的
定理 Sylow 第三定理
G 的 Sylow-p 子群的个数一定是 1+kp,(k∈N) 的形式,并且 (1+kp)∣ord(G)
并且回忆一下在共轭的章节给出的定理,结合每个 Sylow-p 子群都共轭,可以知道,令 P 是一个 Sylow-p 子群,则 Sylow-p 子群的个数 |Syl_p(G)| = (G:N_G(p)) = \frac{|G|}
接下来来实际看一下 Sylow 定理的分析能力:
我们来分析所有阶数为 15 的群会有怎么样的构造,首先对 15 进行质因数分解:15=3⋅5,根据 Sylow 定理分别分析 Sylow-3 群 和 Sylow-5 群
首先 Sylow-3 群的个数是 15 的因数,且在模 3 下余数为 1,得到个数只能为 1,同理可以知道 Sylow-5 群的个数也是 1
令 A 为 Sylow-3 群,B 为 Sylow-5 群。接下来因为这两个子群的阶数各自都是质数,可以得到都是循环群,进一步得到都是正规子群,并且由于阶数互质给出 A \cap B = \
所以根据上述理由可以有直积分解 AB≅A×B 给出 ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣=15
且由于两个子群都是循环群,取各自的生成元 a,b,可以知道对于直积中的元 (a,b),有 ord((a,b))=lcm(ord(a),ord(b))=15=∣AB∣ 所以这个直积群 AB 也是循环群
最后,注意到 AB≤G, ∣AB∣=15=∣G∣,给出
G=AB
所以 G 也是循环群
综上,阶数 15 的群只有循环群一种