# 换元积分法

# 分部积分法

# 有理函数积分

有理函数指的是形如

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

的函数，其中 $P(x), Q(x)$ 都是实系数多项式
此类函数一定能求出原函数
重点在于部分分式展开

我们要将原分式转为形如

$$\frac{C}{(x-a)^k},\ \frac{Ax + B}{( (x-a)^2 + b^2 )^m}$$

的分式之和，其中 $k, m$ 都是正整数

基本操作如下

• 如果分子的次数大于等于分母，先做分式除法
• 将分母因式分解为一次式和不可约二次式的乘积，并注意各个因子的次数
• 根据分母的因式分解结果，写出部分分式的形式
  • 对于一次因子 $(x-a)^k$，需要 $k$ 个部分分式，每个次数递增
  • 对于不可约二次因子 $((x-a)^2 + b^2)^m$，需要 $m$ 个部分分式，每个次数递增，注意二次式的分子有一次系数
• 解方程组，确定各个部分分式的系数
• 对各个部分分式分别积分，结束

我们来实际看一个例子

当然光是分解还不够，我们要能够计算这两个类型的积分

第一类是

$$\int \frac{dx}{(x-a)^k}$$

当 $k=1$ 时

$$\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C$$

当 $k \neq 1$ 时

$$\int \frac{dx}{(x-a)^k} = -\frac{1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$$

第二类比较复杂，需要分两个情况讨论，首先是不具有一次项分子的情况

$$\int \frac{dx}{( (x-a)^2 + b^2 )^m}$$

通过换元

$$\int \frac{dx}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} = \frac{1}{b^{2m}} \int \frac{d(x-a)}{( \frac{(x-a)^2}{b^2} + 1 )^m} = \frac{1}{b^{2m-1}} \int \frac{dt}{(t^2 + 1)^m}$$

其中 $t = \frac{x-a}{b}$，令 $I_m = \int \frac{dt}{(t^2 + 1)^m}$
当 $m=1$ 时，也就是首项

$$I_1 = \int \frac{dt}{(t^2 + 1)} = \tan^{-1}(t) + C$$

当 $m \geq 2$ 时，递推式

$$\begin{aligned} I_m &= \int \frac{dt}{(t^2 + 1)^m} \\ &= \int \frac{dt}{(t^2 + 1)^{m-1}} - \int \frac{t}{2} \cdot \frac{2t}{(t^2 + 1)^m} dt \\ &= I_{m-1} - ( \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{(1-m)(t^2 + 1)^{m-1}} - \frac{1}{2(1-m)} I_{m-1} ) \\ &= \frac{3-2m}{2(1-m)} I_{m-1} - \frac{t}{2(1-m)(t^2 + 1)^{m-1}} \end{aligned}$$

就可以解出
以及如果有一次项分子

$$\int \frac{Ax + B}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} dx$$

的时候，通过分离

$$\int \frac{Ax + B}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} dx = A \int \frac{x-a}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} dx + (Aa + B) \int \frac{dx}{( (x-a)^2 + b^2 )^m}$$

第二项回到上面讨论的情况，所以只考虑第一项
换元 $t = x - a$

$$\int \frac{x-a}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} dx = \int \frac{t}{(t^2 + b)^m} dt$$

当 $m=1$ 时

$$\int \frac{t}{(t^2 + b)} dt = \frac{1}{2} \ln|t^2 + b| + C$$

当 $m \geq 2$ 时

$$\begin{aligned} \int \frac{t}{(t^2 + b)^m} dt &= -\frac{1}{2(m-1)} \int (t^2 + b^2)'(t^2 + b^2)^{-m} dt \\ &= \frac{1}{2(1-m)(t^2 + b^2)^{m-1}} + C \end{aligned}$$

# 三角函数积分

三角函数的积分大抵分为两个技巧
第一个是暴力代换转为有理函数
第二个是用三角函数的性质化简
此处重点讲第一个

对于含有一次项 $\sin x, \cos x$ 的积分
选择换元

$$t = \tan \frac{x}{2}$$

则

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\ dx = \frac{2}{1+t^2} dt$$

对于含有二次项 $\sin^2 x, \cos^2 x$ 的积分
选择换元

$$t = \tan x$$

则

$$\sin x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\ \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\ dx = \frac{dt}{1+t^2}$$

# 指数函数积分

对于含有形如 $e^{ax}$ 的积分
选择换元

$$t = e^{ax}$$

则

$$dx = \frac{1}{a} dt$$

# 根号的积分

含根号的积分一般分为三类

• $$\sqrt{ax + b}$$

• $$\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$$

• $$\sqrt{ax^2 + bx + c}$$

第一类 $\sqrt{ax + b}$ 的积分
选择换元

$$t = \sqrt{ax + b}$$

则

$$x = \frac{t^2 - b}{a},\ dx = \frac{2t}{a} dt$$

第二类 $\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$ 的积分
选择换元

$$t = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$$

则

$$x = \frac{dt^2(c x + d) - b}{a},\ dx = \frac{2t}{a} dt$$

第三类我们需要分类讨论
首先是 $a > 0$ 的情况
选择换元

$$t = \sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{a}x$$

则

$$x = \frac{t^2 - c}{\sqrt{a}t + a},\ dx = \frac{2t(t^2 + ac)}{(\sqrt{a}t + a)^2} dt$$

其次是 $a < 0$ 的情况
选择换元

$$t = \sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{a}x$$

则

$$x = \frac{t^2 - c}{\sqrt{a}t - a},\ dx = \frac{2t(t^2 + ac)}{(\sqrt{a}t - a)^2} dt$$