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众所周知，满足方程 x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 = 0 的点 (x,y)(x, y) 构成一个单位圆
我们期望对于 f(x,y)=0f(x, y) = 0 形式的方程所表示的点，都能构成这样的光滑曲线

从分析的视角来说，我们需要考察的是：
对于方程所形成的图上的任意一个点，在这个点的某一个邻域下，这个图能不能被表示为一个光滑的函数的图像呢？

简单来说，就是能不能通过解关于 yy 的方程 f(x,y)=0f(x, y) = 0 来得到一个光滑函数 y=g(x)y = g(x)？

定理 隐函数定理
令 O⊂R2O \subset \mathbb R^2 为开集，f:O→Rf: O \to \mathbb R 在 OO 上 C1\mathscr C^1 级
对于 (a,b)∈O(a,b) \in O
如果 f(a,b)=0f(a,b) = 0 且 fy(a,b)≠0f_y(a,b) \neq 0
那么存在 δ1,δ2>0\delta_1, \delta_2 > 0，使得

  • 对于任意 x∈B(a,δ1)x \in B(a, \delta_1)，存在唯一的 y∈B(b,δ2)y \in B(b, \delta_2) 使得 f(x,y)=0f(x,y) = 0

所以映射的良定性得到保证，设该映射为 y=ϕ(x)y = \phi(x)，那么 ϕ∈C1\phi \in \mathscr C^1 且

ϕ′(x)=−fx(x,ϕ(x))fy(x,ϕ(x))\phi'(x) = -\frac{f_x(x, \phi(x))}{f_y(x, \phi(x))}