在对函数进行类数列的分析前，我们需要先赋予函数一个量化的标准，也就是范数
令集合 $S$ 上的 $\mathbb C$ 值函数空间为 $\mathscr F(S)$
在 $\mathscr F(S)$ 上定义加法和和标量积为

$(f + g)(x) := f(x) + g(x)$

$(\alpha f)(x) := \alpha f(x)$

此时 $\mathscr F(S)$ 构成一个线性空间

并且记 $\mathscr F(S)$ 上有界的函数全体为 $\mathscr B(S)$

$f \in \mathscr B(S) \iff \sup \{|f(x)|: x \in S\} < \infty$

在 $\mathscr B(S)$ 上定义范数

$\|f\|_S := \sup \{|f(x)|: x \in S\}$

$\mathscr B(S)$ 在此范数下构成一个赋范空间，并且是 Banach 空间
我们这里的重点并不是探讨为什么这样的设定能构造出赋范空间，而是去研究如何处理函数项级数
所以简单接受此处的设定即可

# 函数列

定义
$n \in \mathbb N,\ f_n, f:S \to \mathbb K$

若对于任意的 $x \in S$ ，都有 $f_n(x) \to f(x) \text{ in } \mathbb K$ ，也就是说

$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$

则称函数列 $\{f_n\}$ 在 $S$ 上 逐点收敛 (Pointwise convergence)「逐点収束」 于 $f$ ，记作 $f_n \to f$ （ $S$ 上逐点）

而若 $f_n \to f \text{ in } \mathscr B(S)$ ，也就是说

$\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_S = 0$

则称函数列 $\{f_n\}$ 在 $S$ 上 一致收敛 (Uniform convergence)「一様収束」 于 $f$ ，记作 $f_n \to f$ （ $S$ 上一致）

如果对这部分不熟悉，有必要注意以下内容：
逐点收敛我们考虑的是一个给定了的 $x$ 的函数值，这是一个实数。所以我们其实在做的事情是实数极限的判断，根据我们先前在数学分析里面学过的内容，这里应该用实数域上的绝对值来给出不等式
而另一边，一致收敛的时候我们研究的对象不是函数值而是函数本身，这是 $\mathscr B(S)$ 里面的元。我们对这个空间的元的距离进行判断的时候是不可以直接用绝对值得，我们要用在这个空间上定义的范数来度量

放缩的时候注意以下事实：
如果我们能证明对于任意 $x$ 都有

$|f_n(x) - f(x)| \leq g(n) \to 0 \quad (n \to \infty)$

即可以找到不依赖于 $x$ 的上界
那实际上我们已经证明了 $f_n \to f$ ，因为

$\|f_n - f\|_S = \sup \{|f_n(x) - f(x)|: x \in S\} < g(n) \to 0 \quad (n \to \infty)$

命题
若 $f_n \to f$ （ $S$ 上一致），则 $f_n \to f$ （ $S$ 上逐点）

证明

任取 $x \in S$ ，则

$|f_n(x) - f(x)| \leq \|f_n - f\|_S \to 0 \quad (n \to \infty)$

# 函数项级数

那我们现在就可以通过处理函数列，从而处理函数项级数了
我们的基本延拓思路和一般的数列无穷级数是是一样的

定义
令点列 $\{f_k\} \subset \mathscr B(S),\ s_n = \sum_{k=1}^n f_k$
当 $s_n$ 在 $S$ 上逐点收敛时，称函数项级数

$\sum_{k=1}^\infty f_k$

在 $S$ 上 逐点收敛 (Pointwise convergence)「逐点収束」
当 $s_n$ 在 $S$ 上一致收敛时，称函数项级数

$\sum_{k=1}^\infty f_k$

在 $S$ 上 一致收敛 (Uniform convergence)「一様収束」

定理 Weierstrass 判别法
令 $\{f_k\} \subset \mathscr B(S)$

$\|f_k\|_S \leq \infty \Longrightarrow \sum_{k=1}^\infty f_k \text{ 在 } S \text{ 上一致收敛}$

证明

设 $s_n = \sum_{k=1}^n f_k$
由 $\|f_k\|_S$ 收敛可知 $\forall \epsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb N,\ \forall m,n > N$ ，有

$|\sum_{k=m+1}^n \|f_k\|_S| < \epsilon$

所以

$\|s_n - s_m\|_S = \|\sum_{k=m+1}^n f_k\|_S \leq \sum_{k=m+1}^n \|f_k\|_S < \epsilon$

因此 $\{s_n\}$ 在 $S$ 上一致收敛

# 微分，积分记号的交换

对函数列级数进行微分积分等处理时，注意：如同在一般级数上的那样，条件收敛的级数会因为交换顺序而导致结果不同。对于微分来说我们需要原本的函数具有足够良好，足够充分的性质来让我们去做微分
（至少要连续）
而这种连交换顺序都不可以的级数明显是不太好的，所以我们基本都要求级数至少是一致收敛的

此外，对定义域 $S$ 也会有要求

以下我们令 $S \subset \mathbb R^N$ ，记 $S$ 上的 $\mathbb C$ 值连续函数空间为 $\mathscr C(S)$
再进一步取有界的函数空间为 $\mathscr C_b(S) = \mathscr C(S) \cap \mathscr B(S)$

命题
$\mathscr C_b(S)$ 为 $\mathscr B(S)$ 的闭集

等价描述： $\mathscr C_b(S)$ 的收敛的极限仍在 $\mathscr C_b(S)$ 中

$\{f_n\} \subset \mathscr C_b(S),\ f_n \to f \text{ in } \mathscr B(S) \Longrightarrow f \in \mathscr C_b(S)$

证明

由于 $\mathscr B(S)$ 已经给出，我们只需要证明 $f$ 连续即可
任取 $a \in S,\ \epsilon > 0$

由 $f_n \to f$ in $\mathscr B(S)$ 可知 $\exists N_1 \in \mathbb N,\ \forall n > N_1$ ，有

$\|f_n - f\|_S < \frac{\epsilon}{3}$

由 $f_n$ 连续可知 $\exists \delta > 0,\ \forall x \in S$ ，当 $|x - a| < \delta$ 时，有

$|f_n(x) - f_n(a)| < \frac{\epsilon}{3}$

所以当 $|x - a| < \delta$ 且 $n > N_1$ 时，有

$\begin{aligned} |f(x) - f(a)| &\leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) - f(a)| \\ &< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon \end{aligned}$

我们对原本性质给出要求后可以尝试处理求和符号的交换了

但是在此之前，我们需要先处理极限，用以铺垫

首先是极限与积分符号的交换

命题
令 $I = [a,b] \subset \mathbb R,\ \{f_k\} \subset \mathscr C(I)$
若 $f_n \to f$ （ $I$ 上一致），则

$f \in \mathscr C(I)$

$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$

证明

由先前定理， $f \in \mathscr C_b(I)$ ，所以

然后是极限与微分符号的交换

命题
令 $I = [a,b] \subset \mathbb R,\ \{f_k\} \subset \mathscr C^1(I)$ （一阶光滑）
若 $f_n \to f$ （ $I$ 上逐点），且 $f_n' \to g$ （ $I$ 上一致），则

$f \in \mathscr C^1(I)$

$\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = f'(x)$

证明

由于 $f_n \in \mathscr C^1(I)$ ，所以

$f_n(x) - f_n(a) = \int_a^x f_n'(t) \, dt$

令 $n \to \infty$ ，由一致收敛可知

$f(x) - f(a) = \int_a^x g(t) \,dt$

由于 $g$ 连续，根据微积分基本定理可知 $f \in \mathscr C^1(I)$ 且 $f'(x) = g(x)$
所以对于任意 $x \in I$ ，都有

$\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = g(x) = f'(x)$

那么我们在可以处理极限符号的前提下，就可以处理级数了

对于求和与积分符号的交换（逐项积分）

命题
令 $I$ 为区间， $\{f_k\} \subset \mathscr C(I)$ 且 $\sum_{k=1}^\infty f_k$ 在 $I$ 上一致收敛
此时函数级数

$\sum_{k=1}^\infty f_k(x)$

在 $I$ 上连续，且对于 $a,b \in I$ ，有

$\int_a^b \sum_{k=1}^\infty f_k(x) \, dx = \sum_{k=1}^\infty \int_a^b f_k(x) \, dx$

证明

用前两个极限的处理以及 Weierstrass 判别法可以证明，暂时省略

对于求和与微分符号的交换（逐项微分）

命题
令 $I$ 为区间， $\{f_k\} \subset \mathscr C^1(I)$ （一阶光滑）且 $\sum_{k=1}^\infty f_k$ 以及 $\sum_{k=1}^\infty f_k'$ 在 $I$ 上一致收敛

此时函数级数

$\sum_{k=1}^\infty f_k(x)$

在 $I$ 上一阶光滑 ( $\mathscr C^1(I)$ )，且对于 $x \in I$ ，有

$\frac{d}{dx} \sum_{k=1}^\infty f_k(x) = \sum_{k=1}^\infty f'_k(x)$

证明

用前两个极限的处理以及 Weierstrass 判别法可以证明，暂时省略

# 积分符号下的微分

铺垫用的命题

命题
令 $I = [a,b] \subset \mathbb R,\ f \in \mathscr C(I \times [c,d])$
考虑函数 $f \in \mathscr C(I \times [c,d])$ 定义的积分

$F(x) = \int_c^d f(x,y) \, dy,\ x \in I$

则

$F \in \mathscr C(I)$

进一步，如果对于任意 $n \in \mathbb N$ ，设

$y_n^k = c + k \frac{d-c}{n},\ k=0,1,\cdots,n$

$F_n(x) = \sum_{k=1}^n f(x,y_n^k) \frac{d-c}{n}$

则 $F_n \to F$ （ $I$ 上一致）

证明

任取 $\epsilon > 0$ ，由 $f$ 在紧致集 $I \times [c,d]$ 连续可知 $f$ 一致连续
所以 $\exists \delta > 0$ ，当 $|(x,y) - (x',y')| < \delta$ 时，有

$|f(x,y) - f(x',y')| < \frac{\epsilon}{d-c}$

取 $n > \frac{d-c}{\delta}$ ，则 $\forall x \in I$ ，有

$\begin{aligned} |F_n(x) - F(x)| &= \left|\sum_{k=1}^n f(x,y_n^k) \frac{d-c}{n} - \int_c^d f(x,y) \, dy\right| \\ &= \left|\sum_{k=1}^n \int_{y_n^{k-1}}^{y_n^k} (f(x,y_n^k) - f(x,y)) \, dy\right| \\ &\leq \sum_{k=1}^n \int_{y_n^{k-1}}^{y_n^k} |f(x,y_n^k) - f(x,y)| \, dy \\ &< \sum_{k=1}^n \int_{y_n^{k-1}}^{y_n^k} \frac{\epsilon}{d-c} \, dy = \epsilon \end{aligned}$

由此可知 $F_n \to F$ （ $I$ 上一致）且 $F \in \mathscr C(I)$

核心命题

命题
令 $I = [a,b] \subset \mathbb R,\ f \in \mathscr C^1(I \times [c,d])$
考虑函数 $f \in \mathscr C^1(I \times [c,d])$ 定义的积分

$F(x) = \int_c^d f(x,y) \, dy,\ x \in I$

如果 $f$ 对 $x$ 的偏导数存在且 $\frac{\partial f}{\partial x} \in \mathscr C(I \times [c,d])$ ，则

$F \in \mathscr C^1(I)$

$\frac{d}{dx} F(x) = \int_c^d \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) \, dy \quad (x \in I)$

证明

先设

$G(x) = \int_c^d \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) \, dy$

$G_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x} (x,y_n^k) \frac{d-c}{n}$

此时 $F_n'(x) = G_n(x)$

且由于 $f,\ \frac{\partial f}{\partial x} \in \mathscr C(I \times [c,d])$ ，由前一个命题可知 $F_n \to F$ （ $I$ 上一致）， $G_n \to G$ （ $I$ 上一致）

所以 $F \in \mathscr C^1(I)$ 且 $F'(x) = G(x)$

# 函数列

# 函数项级数

# 微分，积分记号的交换

# 积分符号下的微分

【复分析】级数

【曲线】正则曲线