（满足 C-R 方程）
令 $z = x + iy$，$x = 0$ 处 $f = \frac{(x - iy)^2}{x + iy} = \frac{x^3 - 3xy + y -3ix^2y}{x^2 + y^2}$
$u = \Re \circ f = \frac{x^3 - 3xy + y}{x^2 + y^2},\ v = \Im \circ f = \frac{-3x^2y}{x^2 + y^2}$
计算偏导

$$u_x = \frac{x^4 + 6x^2y - 3y^2}{(x^2 + y^2)^2},\quad u_y = \frac{-3x^2 - 2xy + y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$

$$v_x = \frac{-6xy^3}{(x^2 + y^2)^2},\quad v_y = \frac{-3x^4 + 3x^2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$

代入原点，可得 C-R 方程

$$u_x(0,0) = v_y(0,0) = 0 \\ u_y(0,0) = -v_x(0,0) = 0$$

（Frechet 不可微）
令 $(x,y) \to (0,0)$，考虑 $u,v$ 的微分系数
当 $x = 0$ 时

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\|u(x,y) - u(0,0)\|}{\|(x,y)\|} = \lim_{y \to 0} \frac{\frac{y}{y^2} - 0}{|y|} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y|y|} = +\infty$$

当 $y = 0$ 时

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\|u(x,y) - u(0,0)\|}{\|(x,y)\|} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{x^2} - 0}{|x|} = \lim_{x \to 0} x = 0$$

所以 $u$ 在 $(0,0)$ 处不满足 Frechet 可微
同理
当 $x = 0$ 时

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\|v(x,y) - v(0,0)\|}{\|(x,y)\|} = \lim_{y \to 0} \frac{0 - 0}{|y|} = 0$$

当 $y = x$ 时

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\|v(x,y) - v(0,0)\|}{\|(x,y)\|} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3x^3}{2x^2} - 0}{\sqrt{2}|x|} = \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{2\sqrt{2}|x|} = \pm \frac{3}{2\sqrt{2}}$$

所以 $v$ 在 $(0,0)$ 处也不满足 Frechet 可微
（复不可微）
当 $\Re z = 0$ 时

$$\lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} = \lim_{iy \to 0} \frac{\frac{(iy)^2}{iy} - 0}{iy} = \lim_{y \to 0} \frac{iy}{iy} = 1$$

当 $y = x$ 时

$$\lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{(x - ix)^2}{x + ix} - 0}{x + ix} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - i)^2}{1 + i} = 1 - i \neq 1$$

所以在原点处的复微分不存在 $\quad \square$