# 复数基本性质
复平面上数的表示:
z=x+iy,x,y∈R
实部:ℜ(z)=x,虚部:ℑ(z)=y。
模长:∣z∣2=ℜ(z)2+ℑ(z)2。
偏角:θ,其中 θ 满足
cosθ=∣z∣x,sinθ=∣z∣y
注意偏角 argz 不是唯一的,角度绕完整一圈值一致,所以偏角本质是集合
argz={θ+2kπ∣k∈Z}
我们讨论偏角的时候一般考虑的是偏角的主值,范围在 (−π,π]。
主值用 Argz 表示。
复平面(也称 Gauss 平面)
复数也可以使用极坐标表示
z=reiθ=r(cosθ+isinθ)
其中 r=∣z∣,θ 为偏角。
偏角的性质
z,w∈C
- arg(zw)=argz+argw
- arg(z1)=−argz
- arg(wz)=argz−argw
注意此处的等号是作为集合的等号,对主值不一定成立
示例
例如对于 z=−1,w=i,有 Arg(zw) = Arg(−i)=−2π,但是 Argz+Argw=π+2π=23π,两者并不相等
在极坐标表示下的复数乘除法可以更方便的写为模长,偏角的计算
我们令 z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2
则
z1z2=r1eiθ1⋅r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)
z2z1=r2eiθ2r1eiθ1=r2r1ei(θ1−θ2)
改写为三角函数的形式,我们就可以获得
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z2z1=r2r1[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]
即
- 复数乘法:模长相乘,偏角相加
- 复数除法:模长相除,偏角相减
定理 De Moivre 定理
∀θ∈R,n∈Z
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
证明