# 复数基本性质

复平面上数的表示:

z=x+iy,x,yRz = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R}

实部:(z)=x\Re(z) = x,虚部:(z)=y\Im(z) = y
模长:z2=(z)2+(z)2|z|^2 = \Re(z)^2 + \Im(z)^2
偏角:θ\theta,其中 θ\theta 满足

cosθ=xz,sinθ=yz\cos \theta = \frac{x}{|z|}, \quad \sin \theta = \frac{y}{|z|}

注意偏角 argz\arg z 不是唯一的,角度绕完整一圈值一致,所以偏角本质是集合

argz={θ+2kπkZ}\arg z = \{ \theta + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}

我们讨论偏角的时候一般考虑的是偏角的主值,范围在 (π,π](-\pi, \pi]
主值用 Argz\text{Arg} z 表示。

复平面(也称 Gauss 平面)

复数也可以使用极坐标表示

z=reiθ=r(cosθ+isinθ)z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)

其中 r=zr = |z|θ\theta 为偏角。

偏角的性质
z,wCz,w \in \mathbb C \quad

  • arg(zw)=argz+argwarg(zw) = \arg z + \arg w \quad
  • arg(1z)=argz\arg(\frac{1}{z}) = -\arg z \quad
  • arg(zw)=argzargw\arg(\frac{z}{w}) = \arg z - \arg w \quad

注意此处的等号是作为集合的等号,对主值不一定成立

示例
例如对于 z=1,w=iz=-1,w=i,有 Arg\text{Arg}(zw) = Arg(i)=π2\text{Arg}(-i) = -\frac{\pi}{2},但是 Argz+Argw=π+π2=3π2\text{Arg} z + \text{Arg} w = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2},两者并不相等

在极坐标表示下的复数乘除法可以更方便的写为模长,偏角的计算
我们令 z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, z_2 = r_2 e^{i\theta_2}

z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1θ2)\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

改写为三角函数的形式,我们就可以获得

z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]

z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]

  • 复数乘法:模长相乘,偏角相加
  • 复数除法:模长相除,偏角相减

定理 De Moivre 定理
θR,nZ\forall \theta \in \mathbb{R}, n \in \mathbb Z \quad

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta

证明

通过极坐标复数的乘除法以及数学归纳法,易证