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# 复平面上的距离拓扑

研究空间结构需要引入拓扑，复数的拓扑结构可以用欧几里得距离自然构造出距离拓扑
首先是距离的定义，对于复数 z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C}，定义它们之间的距离为

d(z1,z2)=∣z1−z2∣d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|

此时 dd 满足距离公理
并且映射 J:R2→C,J(x,y)=x+iyJ:\mathbb R^2 \to \mathbb C, J(x,y) = x + iy 是 R2\mathbb{R}^2 和 C\mathbb{C} 之间的同胚映射，所以 C\mathbb{C} 上的距离拓扑和 R2\mathbb{R}^2 上的距离拓扑是同胚的。

接下来是距离拓扑引出的领域和开集闭集
对于点 z0∈Cz_0 \in \mathbb{C} 和 r>0r > 0，定义以 z0z_0 为中心，rr 为半径的开球

D(z0,r)={z∈C∣d(z,z0)<r}D(z_0, r) = \{ z \in \mathbb{C} \mid d(z, z_0) < r \}

称 D(z0,r)D(z_0, r) 为 z0z_0 的 rr - 邻域（开圆板）

由此有内点的定义

接下来是连通性的定义

U⊂CU \subset \mathbb{C} \quad
UU 是连通的
⟺\iff 不存在非空开集 V,WV,W 使得

  • U⊂V∪WU \subset V \cup W
  • U∩(V∩W)=∅U \cap (V \cap W) = \emptyset
  • U∩V≠∅,U∩W≠∅U \cap V \neq \emptyset, U \cap W \neq \emptyset

U⊂CU \subset \mathbb{C} \quad
UU 是道路连通「弧状連結」
⟺\iff 对任意 z1,z2∈Uz_1,z_2 \in U，存在一条连续路径 γ:[0,1]→U\gamma: [0,1] \to U 使得 γ(0)=z1,γ(1)=z2\gamma(0) = z_1, \gamma(1) = z_2。

通过构造并使用这样的复数空间的距离拓扑，我们可以处理数列和级数的收敛，函数的连续性，微分等问题（ϵ−δ\epsilon - \delta 式分析）。对复数空间的分析得以转变为对实数空间的分析。