几何中的曲线在分析角度本质上是一个向量函数。
从 $\mathbb{R}$ 中取区间 $I$ ，用 $t$ 表示区间中的变量
那么曲线就可以表示为

$\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^n,\ t \mapsto \boldsymbol c(t)$

# 正则曲线

定义
若对于任意 $t \in I$

$\boldsymbol c'(t) \neq \boldsymbol 0$

则称 $\boldsymbol c$ 为 正则曲线 (regular curve)。

在值域中， $n=2$ 时称为平面曲线， $n=3$ 时称为空间曲线。以此我们实际上研究的是任意维度下的曲线

我们可以将曲线理解为一个路径，或者说是运动轨迹
参数 $t$ 可以理解为时间
随着时间的增加，向量 $\boldsymbol c(t)$ 的终点会在空间中描绘出这条曲线，或者也可以说有一个小质点在沿着这个曲线运动
既然谈到运动，自然会有速度

定义
曲线 $\boldsymbol c$ 的微分

$\boldsymbol c'(t) = \frac{d\boldsymbol c}{dt} = \left(\frac{dx_1}{dt}, \frac{dx_2}{dt}, \cdots, \frac{dx_n}{dt}\right)$

称为曲线 $\boldsymbol c$ 的 * 切向量 (tangent vector)，或者叫 速度向量 (velocity vector)
并且

$T_{\boldsymbol c(t)}\boldsymbol c = \{\lambda \boldsymbol c'(t) \mid \lambda \in \mathbb{R}\}$

称为曲线 $\boldsymbol c$ 在点 $\boldsymbol c(t)$ 处的 切空间 (tangent space)。

虽然切向量本身是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量（以原点为起点的），但是往往在研究过程中，我们会将它平移到曲线的那个点上作为起点，视为几何向量
切空间也是一样的
切向量与切空间

那在作为路径的理解上，我们可以将正则曲线简单翻译为：一条连续并且是真的能靠一辆车开出来的路径
（在非正则点上，也就是 $\boldsymbol c'(t) = \boldsymbol 0$ ，也叫做奇点，路径会有很尖锐的瞬间变化，车是开不出来的）

注意：正则曲线并不要求单射，所以允许交叉

# 曲线的长度

那么考虑一下我们要如何计算曲线的长度

数学分析中我们已经非常熟悉了积分的概念：将一个量分割成无数个小份，然后将这些小份加起来
曲线的长度也可以用同样的思路来计算

我们想象一下在曲线上的一个点，它具有一个速度，那么在极短时间 $\Delta t$ 内，这个点大致会移动的距离就是

$\Delta s \approx |\boldsymbol c'(t)| \Delta t$

如果我们的时间间隔 $\Delta t$ 足够小，那么移动的方向误差就会无关紧要
此时 $\Delta s \to ds$ ，我们对其积分就可以得到

定义
对于可微曲线 $\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ ，称

$L(\boldsymbol c) = \int_a^b |\boldsymbol c'(t)| dt$

为曲线 $\boldsymbol c$ 的 长度 (length)

现在我们拥有了曲线的长度，我们可以进入整个曲线分析最核心的概念了：弧长参数化

首先简要讲解一下这是个什么东西

我们还是将曲线理解为一个路径，我们说要研究曲线可以举例是我们想研究我们设计的路径是否良好
想象你在这条路径上开车作为测试，你的轨迹 $\boldsymbol c(t)$ 绘制出了曲线，我们需要通过你这个测试员给出的数据来研究这条路
那这个时候显然会有一个问题：你不太可能能做到任意时刻的开车速度都一致对吧，
你开车一会快一会慢的话会让我们非常难以分析这个路
所以我们就有了这个工具

首先我们需要通过计算你的轨迹来得到路径长度
接着我们需要按路径长来已某一个比例重新给曲线分配参数，用一个新的弧长参数 $s$ 来替换原本的时间 $t$
这样一来，我们就可以保证你在这个新参数下开车的速度是恒定的

定义
令正则曲线 $\boldsymbol c:[a,b] \to \mathbb{R}^n$
长度 $l = L(\boldsymbol c)$
定义映射

$s: [a,b] \to [0,l],\ t \mapsto \int_a^t |\boldsymbol c'(u)| du$

称 $s$ 为曲线 $\boldsymbol c$ 的 弧长参数 (arc length parameter)。
正则性给出 $s$ 单调递增，所以存在反函数 $t: [0,l] \to [a,b],\ s \mapsto t(s)$
那么称新的曲线

$\tilde{\boldsymbol c}: [0,l] \to \mathbb{R}^n,\ s \mapsto \boldsymbol c(t(s))$

为曲线 $\boldsymbol c$ 的 弧长参数化 (arc length parameterization)。

来看一下它是如何做到这一点的

命题
对于弧长参数化的曲线 \tilde

$|\tilde{\boldsymbol c}'(s)| = 1$

且对于任意 $s_0 \in [0,l]$ ，曲线 $\tilde{\boldsymbol c} |_{[0,s_0]}$ 的长度都为 $s_0$

证明

由链式法则，注意求导为对 $s$ 求导

$\tilde{\boldsymbol c}'(s) = \boldsymbol c'(t(s)) \cdot t'(s)$

由反函数求导公式

$t'(s) = \frac{1}{s'(t(s))} = \frac{1}{|\boldsymbol c'(t(s))|}$

所以

$|\tilde{\boldsymbol c}'(s)| = |\boldsymbol c'(t(s))| \cdot |t'(s)| = |\boldsymbol c'(t(s))| \cdot \frac{1}{|\boldsymbol c'(t(s))|} = 1$

另外，对于任意 $s_0 \in [0,l]$ ，由长度定义

$L(\tilde{\boldsymbol c}|_{[0,s_0]}) = \int_0^{s_0} |\tilde{\boldsymbol c}'(s)| ds = \int_0^{s_0} 1 ds = s_0$

所以我们可以看到，弧长参数化的曲线的切向量长度恒为 $1$ ，也就是说它的速度恒为 $1$
这就达到了我们想要的效果

今后我们对于曲线的所有的性质的研究，基本上来说都是基于弧长参数化的曲线进行的

# 正则曲线

# 曲线的长度

【复分析】函数项级数

【数学分析】隐函数定理与反函数定理