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# 分离公理

# 分离公理

分离公理

分离公理
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间

  • T1T_1 第一分离公理：Frechet 公理
  • T2T_2 第二分离公理：Hausdorff 公理
    • ∀x,y∈X,x≠y⟹∃U,V∈O,s.t.x∈U,y∈V,U∩V=∅\forall x,y \in X,\ x \neq y \Longrightarrow \exists U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ y \in V,\ U \cap V = \emptyset
  • T3T_3 第三分离公理：Vietoris 公理
  • T4T_4 第四分离公理：Tietze 公理
    满足各自的公理，则称为对应的空间或 TiT_i 空间

Hausdorff 空间

离散拓扑空间是 Hausdorff 空间，密着拓扑空间不是 Hausdorff 空间
距离拓扑空间是 Hausdorff 空间

证明

令距离拓扑空间 (X,Od),x,y∈X,x≠y(X,\mathcal O_d),\ x,y \in X,\ x \neq y。取 ϵ:=d(x,y)2>0\epsilon := \frac{d(x,y)}{2} > 0。
此时 N(x,ϵ),N(y,ϵ)∈OdN(x,\epsilon),\ N(y,\epsilon) \in \mathcal O_d，且 N(x,ϵ)∩N(y,ϵ)=∅N(x,\epsilon) \cap N(y,\epsilon) = \emptyset。
（∵z∈N(x,ϵ)∩N(y,ϵ)⟹d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)<ϵ+ϵ=d(x,y)\because\ z \in N(x,\epsilon) \cap N(y,\epsilon) \Longrightarrow d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < \epsilon + \epsilon = d(x,y)，矛盾）\ □\square

所谓 “分离” 性可以由以下命题看出

若 (X,O)(X,\mathcal O) 是 Hausdorff 空间，则对于任意 x∈Xx \in X，集合 {x}\{x\} 是闭集

证明

只需证明 {x}c=X∖{x}\{x\}^c = X \setminus \{x\} 是开集。
任取 y∈{x}cy \in \{x\}^c。由于 x≠yx \neq y，Hausdorff 公理给出存在 U,V∈O,s.t.x∈U,y∈V,U∩V=∅U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ y \in V,\ U \cap V = \emptyset。
由于不交，所以 V⊂{x}cV \subset \{x\}^c。得到 y∈({x}c)iy \in (\{x\}^c)^i，于是 {x}\{x\} 为闭集。\ □\square

并且

Hausdorff 空间的子空间也是 Hausdorff 空间

证明

取子集 A⊂XA \subset X 构造相对拓扑 (A,OA)(A,\mathcal O_A)。
对于 x,y∈A⊂Xx,y \in A\subset X，由 XX 的分离公理得
∃U,V∈OX,s.t.x∈U,y∈V,U∩V=∅\exists U,V \in \mathcal O_X,\ s.t.\ x \in U,\ y \in V,\ U \cap V = \emptyset。
此时 U∩A,V∩A∈OAU \cap A,\ V \cap A \in \mathcal O_A，且 x∈U∩A,y∈V∩Ax \in U \cap A,\ y \in V \cap A。
并且 (U∩A)∩(V∩A)=(U∩V)∩A=∅(U \cap A) \cap (V \cap A) = (U \cap V) \cap A = \emptyset，故 (A,OA)(A,\mathcal O_A) 为 Hausdorff 空间。\ □\square

判断等价条件

T2⟺∀x∈X,T_2 \iff \forall x \in X, xx 的全体闭邻域的交集只有点 xx

证明

⇒\Rightarrow 方向
取 x∈Xx \in X 和异点 y∈X,y≠xy \in X,\ y \neq x。Hausdorff 公理给出
∃U,V∈O,s.t.x∈U,y∈V,U∩V=∅\exists U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ y \in V,\ U \cap V = \emptyset。
由于 x∈Vc∈Fx \in V^c \in \mathcal F，故 VcV^c 为 xx 的闭邻域。闭邻域族的交集包含于每个成员，遂最终交集仅含 xx。
⇐\Leftarrow 方向
取 x∈Xx \in X 和异点 y∈X,y≠xy \in X,\ y \neq x。条件给出存在闭邻域 FF 使得 y∉Fy \notin F。
于是 y∈Fc∈O,x∈Fi∈O,Fi∩Fc=∅y \in F^c \in \mathcal O,\ x \in F^i \in \mathcal O,\ F^i \cap F^c = \emptyset。\ □\square

Hausdorff 空间与紧致性有着联系
第一个定理阐述的是，Hausdorff 空间中异点的分离性可以扩张到异点与紧致集的分离性

令 (X,O)(X,\mathcal O) 为 Hausdorff 空间，A⊂XA \subset X 为紧致集

  • x∈Ac⟹∃U,V∈O,s.t.x∈U,A⊂V,U∩V=∅x \in A^c \Longrightarrow \exists U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ A \subset V,\ U \cap V = \emptyset
证明

任取 a∈Aa \in A。由 a≠xa \neq x，Hausdorff 公理给出 ∃Ua,Va∈O,s.t.x∈Ua,a∈Va,Ua∩Va=∅\exists U_a,V_a \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U_a,\ a \in V_a,\ U_a \cap V_a = \emptyset。
则 {Va∣a∈A}\{V_a \mid a \in A\} 为 AA 的开覆盖。紧性给出有限子覆盖 {Van∣an∈A,n∈N}\{V_{a_n} \mid a_n \in A,\ n \in \mathbb{N}\}。
拓扑对有限交和任意并封闭，故
x∈⋂anUan∈O,A⊂⋃anVan∈Ox \in \bigcap_{a_n} U_{a_n} \in \mathcal O,\quad A \subset \bigcup_{a_n} V_{a_n} \in \mathcal O。
且 ⋂anUan∩⋃anVan=∅\bigcap_{a_n} U_{a_n} \cap \bigcup_{a_n} V_{a_n} = \emptyset。\ □\square

Hausdorff 空间中的紧致集闭

证明

证明 AcA^c 是开集。
取 x∈Acx \in A^c，由上定理得 ∃U,V∈O,s.t.x∈U,A⊂V,U∩V=∅\exists U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ A \subset V,\ U \cap V = \emptyset。
因 U⊂Vc⊂AcU \subset V^c \subset A^c，故 x∈(Ac)ix \in (A^c)^i。\ □\square

利用前两个定理可得
对于紧空间到 Hausdorff 空间的映射，连续即可得闭，双射连续即可得同胚

令 (X,OX)(X,\mathcal O_X) 为紧空间，(Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) 为 Hausdorff 空间，映射 f:X→Yf:X \to Y

  1. ff 连续 ⟹\Longrightarrow ff 是闭映射
  2. ff 双射连续 ⟹\Longrightarrow ff 是同胚
证明

(1) 需证闭集的像闭。取闭集 F⊂XF \subset X。
连续映射保持紧性，故 f(F)f(F) 是紧致集；Hausdorff 空间中紧致即闭，得证。
(2) 只需证逆映射连续。取 U∈OXU \in \mathcal O_X。
因 UcU^c 闭，(1) 知 f(Uc)f(U^c) 闭，于是 f(U)=(f(Uc))c∈OYf(U) = (f(U^c))^c \in \mathcal O_Y，故 f−1f^{-1} 连续，遂同胚。\ □\square