Home 数学 点集拓扑

处理无穷个对象往往是难以操作的，我们制定两条规则，来使得部分性质良好的拓扑空间可以被有限个集合控制

命题
距离空间满足第一可数公理

证明

令 (X,d)(X,d) 为距离空间，对于任意 x∈Xx \in X，若令 B(x):={N(x,1n)∣n∈N}\mathcal B(x) := \{N(x,\frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb N\}，则 B(x)\mathcal B(x) 成为 xx 的至多可数邻域基

命题
若拓扑空间满足第二可数公理，则满足第一可数公理

证明

由于满足第二可数公理，所以有至多可算浓度的开基，由于我们可以通过取开基中都包含某个点 xx 的部分来构成邻域基（先前已经给出证明，取 B(x)={B∈B∣x∈B}\mathcal B(x) = \{ B \in \mathcal B \mid x \in B \}），所以这样做出来的邻域基浓度小于等于开基，也是至多可数 □\quad \square

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X
若 A‾=X\overline A = X 则称 AA 为 (X,O)(X,\mathcal O) 的 稠密 (Dense)「稠密」的子集
如果拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O) 具有浓度至多可数稠密的子集，则称 (X,O)(X,\mathcal O) 可分 (Separable)「可分」

想象一个原本充盈的集合 XX 中，我们取一个去掉几个零散点的子集 AA，如果可以用闭包来补上这几个丢失的点，那 AA 就是稠密的

如果 XX 没有这些稠密的集合，就说明有的地方有大面积的空洞，或者有的地方之间有非常强的链接。

命题
满足第二可数公理的拓扑空间可分

证明

令拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O) 满足第二可数公理，则 O\mathcal O 具有至多可数的开基 B={Bn∣n∈N}\mathcal B = \{B_n \mid n \in \mathbb N\}
从各个非空的 BnB_n 中取一点构成集合（利用选择公理） A={xn∈Bn∣Bn∈B,Bn≠∅}A = \{ x_n \in B_n \mid B_n \in \mathcal B, B_n \neq \emptyset \}，则 ∣A∣≤∣N∣|A| \leq |\mathbb N| 至多可数
我们证明 AA 是稠密的。并且 A‾⊂X\overline A \subset X 自明，只需 X⊂A‾X \subset \overline A
任取 x∈X,O∈Ox \in X, O \in \mathcal O，考虑 x∈Ox \in O，由开基得
∃B∈B,x∈B,B⊂O\exists B \in \mathcal B, x \in B, B \subset O，由于 BB 非空得 x∈Ax \in A，所以 O∩A≠∅O \cap A \neq \emptyset，得到 x∈A‾□x \in \overline A \quad \square

反过来一般不成立，但是对于距离空间成立

命题
可分的距离空间满足第二可数公理

证明

取距离空间 (X,d)(X,d) 和诱导的拓扑空间 (X,Od)(X,\mathcal O_d)，可分性给出稠密子集 A={xn∣n∈N}A = \{x_n \mid n \in \mathbb N\} 的存在性
定 B:={N(xn,1m)∣m∈N}\mathcal B := \{N(x_n,\frac{1}{m}) \mid m \in \mathbb N\}，注意 ∣N2∣=∣N∣|\mathbb N^2|=|\mathbb N|，所以 B\mathcal B 为至多可数。我们证明它是 Od\mathcal O_d 的开基
任取 O∈Od,x∈OO \in \mathcal O_d, x \in O，由于 OO 是开集，给出 ∃N(x,ϵ)⊂O(ϵ>0)\exists N(x,\epsilon) \subset O (\epsilon > 0)
取自然数 m0>2ϵm_0 > \frac{2}{\epsilon}，则 N(x,2m0)⊂N(x,ϵ)N(x,\frac{2}{m_0}) \subset N(x,\epsilon)
由于稠密，A‾=X\overline A = X，所以 N(x,1m0)∩A≠∅N(x,\frac{1}{m_0}) \cap A \neq \emptyset，则存在 xn∈A:x∈N(x,1m0)x_n \in A : x \in N(x,\frac{1}{m_0})
从 N(xn,1m0)N(x_n,\frac{1}{m_0}) 中任取 yy，则 d(x,y)≤d(x,xn)+d(xn,y)<1m0+1m0=2m0<ϵd(x,y) \leq d(x,x_n) + d(x_n,y) < \frac{1}{m_0} + \frac{1}{m_0} = \frac{2}{m_0} < \epsilon，所以 N(xn,1m0)⊂N(x,ϵ)⊂ON(x_n,\frac{1}{m_0}) \subset N(x,\epsilon) \subset O
所以 B\mathcal B 是 Od\mathcal O_d 的开基，得到 (X,Od)(X,\mathcal O_d) 满足第二可数公理 □\quad \square