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# 开基

数学中，一个通用的思维策略是，通过研究一部分具有代表性的对象来研究整个空间，例如等价类的完全代表系，或者生成群的生成元。在拓扑空间中，这样的对象称为准开基或者开基。我们可以通过生成的概念来找寻这样的对象。

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，S⊂O\mathcal S \subset \mathcal O，如果 O\mathcal O 是由 S\mathcal S 生成的拓扑，则称 S\mathcal S 为 O\mathcal O 的 准开基 (Subbasis)「準開基」。

注意此时给出的 S\mathcal S 只是要求为幂集中的一个子集，这意味着它不一定是一个拓扑结构，虽然它可以作为 “拓
扑结构中最能概况全体结构” 的某一个对象，但是他并不保有拓扑结构，只是满足了一个门槛，所以叫准开基。

实际上我们希望能找到一个性质更好的对象，使得可以通过它一览拓扑结构全貌的同时，还保有拓扑结构（也就是说它自己就是一个拓扑），所以开基的定义如下。

定义
令 B⊂O\mathcal B \subset \mathcal O，如果对于任意 O∈OO \in \mathcal O，都存在一个集合列 {Uλ∣λ∈Λ}⊂B\{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \subset \mathcal B，使得 O=⋃λ∈ΛUλO = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda，则称 B\mathcal B 为 O\mathcal O 的 开基 (Basis)「開基」。

注意如果 B\mathcal B 是拓扑 O\mathcal O 的一个开基，那等价于 O=O(B)\mathcal O = \mathcal O(\mathcal B)，所以 B\mathcal B 自动成为准开基，这也意味着开基的定义更严格。

一般来说，开基的证明使用以下等价条件。

命题
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，B⊂O\mathcal B \subset \mathcal O，以下等价：

  1. B\mathcal B 是 O\mathcal O 的开基
  2. 对任意 O∈OO \in \mathcal O 以及 x∈Ox \in O，存在 B∈BB \in \mathcal B，使得 x∈B,B⊂Ox \in B, B \subset O
证明

(1)⇒(2)(1) \Rightarrow (2)
取 O\mathcal O 的开基 B\mathcal B，对于任意 O∈OO \in \mathcal O，有 {Uλ∣λ∈Λ}⊂B\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \subset \mathcal B 使得 O=⋃λ∈ΛUλO = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda。
所以对于任意 x∈O=⋃λ∈ΛUλx \in O = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda，存在某个 Uλ∈BU_\lambda \in \mathcal B 使得 x∈Uλx \in U_\lambda，则 Uλ⊂OU_\lambda \subset O。
(2)⇒(1)(2) \Rightarrow (1)
对任意 O∈O,x∈OO \in \mathcal O, x \in O，根据假设，∃Bx∈B,Bx⊂O\exists B_x \in \mathcal B, B_x \subset O。
则 x∈⋃x∈OBxx \in \bigcup_{x \in O} B_x，另一边由于各个 BxB_x 都包含于 OO，所以并集也包含于 OO。
得到 O=⋃x∈OBx□O = \bigcup_{x \in O} B_x \quad \square

通过研究开基，尤其是拓扑空间本身无限，但是开基有限的时候，我们可以知道许多拓扑空间的性质。

同样的，因为我们在研究点的周边性质，以及映射的连续性的时候，需要经常考虑邻域系，所以我们也可以引入 邻域基 (Neighborhood basis)「近傍基」。

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，点 x∈Xx \in X 的邻域系为 N(x)\mathcal N(x)，如果 B(x)⊂N(x)\mathcal B(x) \subset \mathcal N(x) 满足：对任意 N∈N(x)N \in \mathcal N(x)，存在 B∈B(x)B \in \mathcal B(x)，使得 B⊂NB \subset N，则称 B(x)\mathcal B(x) 为 xx 的 邻域基 (Neighborhood basis)「近傍基」「基本近傍系」。

开基和邻域基之间存在强关联，这也是此处将邻域基记作 B(x)B(x) 的原因。

命题
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，B\mathcal B 为 O\mathcal O 的开基，那么如果设包含 x∈Xx \in X 的 B\mathcal B 中的元（是集合）全体为 B(x)\mathcal B(x)，则 B(x)\mathcal B(x) 是 xx 的邻域基。

证明

令 B\mathcal B 为 O\mathcal O 的开基，定 B(x)={B∈B∣x∈B}\mathcal B(x) = \{B \in \mathcal B \mid x \in B\}。
任取 B∈B(x)B \in \mathcal B(x)，由于 x∈B∈B⊂O⇒x∈B=Bix \in B \in \mathcal B \subset \mathcal O \Rightarrow x \in B = B^i，所以 B∈N(x)B \in \mathcal N(x)，得到 B(x)⊂N(x)\mathcal B(x) \subset \mathcal N(x)。
再任取 N∈N(x)N \in \mathcal N(x)，由于邻域的定义，可知 N∈ON \in \mathcal O，结合开基的条件有
存在 B0∈B:x∈B0,B0⊂NB_0 \in \mathcal B: x \in B_0, B_0 \subset N，所以 B0∈B(x)B_0 \in \mathcal B(x)，得到 B(x)\mathcal B(x) 满足邻域基的条件 □\quad \square

通过研究准开基，我们可以拥有一种侧面研究映射的方式。

命题
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，S\mathcal S 为 OY\mathcal O_Y 的准开基，映射 f:X→Yf:X \to Y，以下等价：

  1. ff 连续
  2. ∀S∈Ss.t.f−1(S)\forall S \in \mathcal S \ \text{s.t.} \ f^{-1}(S) 为 XX 上的开集
证明

(1)⇒(2)(1) \Rightarrow (2) 由 S⊂OY\mathcal S \subset \mathcal O_Y 定义显然。
(2)⇒(1)(2) \Rightarrow (1)
令 S′:={V∈P(Y)∣f−1(V)∈OX}\mathcal S' := \{V \in \mathcal P(Y) \mid f^{-1}(V) \in \mathcal O_X \}，则根据条件有 S⊂S′\mathcal S \subset \mathcal S'。
由准开基的定义，可以知道 OY\mathcal O_Y 是包含 S\mathcal S 的最小拓扑，所以如果能证明 S′\mathcal S' 也是一个拓扑，就能证明 S′=OY\mathcal S' = \mathcal O_Y，根据 S′\mathcal S' 的定义，即可获得连续性（开集原像开）。
(O1) 首先 f−1(∅)=∅∈OX,f−1(Y)=X∈OXf^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal O_X, f^{-1}(Y) = X \in \mathcal O_X，所以 ∅,Y∈S′\emptyset, Y \in \mathcal S'。
(O2) 令 S1,S2∈S′S_1, S_2 \in \mathcal S'，则 f−1(S1∩S2)=f−1(S1)∩f−1(S2)∈OXf^{-1}(S_1 \cap S_2) = f^{-1}(S_1) \cap f^{-1}(S_2) \in \mathcal O_X，所以 S1∩S2∈S′S_1 \cap S_2 \in \mathcal S'。
(O3) 取 {Sλ∣λ∈Λ}⊂S′\{S_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\} \subset \mathcal S'，则 f−1(⋃λ∈ΛSλ)=⋃λ∈Λf−1(Sλ)∈OXf^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(S_\lambda) \in \mathcal O_X，所以 ⋃λ∈ΛSλ∈S′\bigcup_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda \in \mathcal S'。
综上有 S′\mathcal S' 也是一个拓扑 □\quad \square

连续之外，也有开映射

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，B\mathcal B 为 OX\mathcal O_X 的开基，映射 f:X→Yf:X \to Y

  • 若任意的 B∈BB \in \mathcal B 都有 f(B)∈OYf(B) \in \mathcal O_Y，则 ff 为开映射

命题
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，B\mathcal B 为 OX\mathcal O_X 的开基，开映射 f:X→Yf:X \to Y，

  • ∀U∈Bs.t.f(U)∈OY\forall U \in \mathcal B \ \text{s.t.} \ f(U) \in \mathcal O_Y
证明

任取 O∈OXO \in \mathcal O_X，由开基得 ∃{Uλ∣λ∈Λ}⊂B\exists \{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\} \subset \mathcal B 使得 O=⋃λ∈ΛUλO = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda，且各个 Uλ∈OYU_\lambda \in \mathcal O_Y。
所以 f(O)=f(⋃λ∈ΛUλ)=⋃λ∈Λf(Uλ)∈OY□f(O) = f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(U_\lambda) \in \mathcal O_Y \quad \square