Home 数学 点集拓扑

定义
令 X≠∅,O⊂P(X)X \neq \emptyset, \mathcal O \subset \mathcal{P}(X)，若 O\mathcal O 满足

  • ∅,X∈O\emptyset,X \in \mathcal{O} \quad
  • O1,O2∈O⟹O1∩O2∈OO_1,O_2 \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ O_1 \cap O_2 \in \mathcal O
  • 对任意添字集 Λ\Lambda，有 Oλ∈O⟹⋃λ∈ΛOλ∈OO_{\lambda} \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal O
    则称 O\mathcal O 为 XX 的拓扑「位相」或开集系，(X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，O\mathcal O 内的元为 XX 的开集

注意在这里的拓扑空间中，开集的定义不依赖于集合本身的性质，而是依赖于它是不是处于拓扑当中，从直观上来说这可能会让人迷惑为什么仍然称作 “开集”，因为单纯作为一个元似乎并不能看出它的 “开” 的性质，但是在后文正式定义了拓扑空间的开集后也会说明这一点

我们可以对集合 XX 指定一个其的拓扑，当然大多数情况下可以构造多个不同的拓扑，如果我们只关注 XX 上有拓扑构造而不关注具体是什么，可以简称为拓扑空间 XX

特别地

称 O=P(X)\mathcal O = \mathcal{P}(X) 为 XX 的离散拓扑
称 O={∅,X}\mathcal O = \{\emptyset,X\} 为 XX 的密着拓扑

与开集相对，有闭集系和闭集的概念，但是同样不是基于集合本身的性质，而是通过补集来定义的

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，若 Fc∈OF^c \in \mathcal O，则称 FF 为 XX 的闭集
(X,O)(X,\mathcal O) 上的闭集全体称为闭集系，记作 F\mathcal F，并且它会满足：

  • ∅,X∈F\emptyset,X \in \mathcal F
  • F1,F2∈F⟹F1∩F2∈FF_1,F_2 \in \mathcal F \ \Longrightarrow \ F_1 \cap F_2 \in \mathcal F
  • 对任意添字集 Λ\Lambda，有 Fλ∈F⟹⋃λ∈ΛFλ∈FF_{\lambda} \in \mathcal F \ \Longrightarrow \ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda} \in \mathcal F

注意，通过构造距离拓扑 Od={A∈P(X)∣∀a∈A,∃ϵ>0,s.t.N(a,ϵ)⊂A}\mathcal O_d = \{ A \in \mathcal{P}(X) \mid \forall a \in A,\exists \epsilon > 0,\ s.t. \ N(a,\epsilon) \subset A \}，我们可以使得距离空间成为拓扑空间，但是反过来不一定可行。一般通过 Euclid 距离构造的距离拓扑称为 Euclid 拓扑

一个拓扑结构更多的是描述 “点与点之间的连通性”。拓扑中的元是 XX 的子集，我们可以一定程度理解为，如果某个子集属于这个拓扑，那就是在这个拓扑定义下，这个子集里面的元彼此联通。

例如我们可以取集合 XX 为各个车站的集合，然后定义子集为，如果他们之间可以互相连通，那么他们就可以构成一个子集。那显然幂集就是所有可能的连通情况，实际上几乎是没有车站之间完全覆盖到所有连通情况的，也就是说会有一些车站之间无法直接抵达（需要换乘），或者是有某几个车站能够成为交通枢纽。我们的拓扑结构实际上就是描述这个连通情况的。

接下来研究拓扑空间中的点，注意与距离空间中的定义的不同的之处

定义
令 (X,d)(X,d) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X

  • a∈Xa \in X 是 AA 的内点 ⟺def\stackrel{def}{\iff} ∃O∈O,s.t.a∈O\exists O \in \mathcal O,\ s.t. \ a \in O 且 O⊂AO \subset A
    • AA 的内点全体称为 AA 的内部，记作 AiA^i
  • a∈Xa \in X 是 AA 的外点 ⟺def\stackrel{def}{\iff} ∃O∈O,s.t.a∈O\exists O \in \mathcal O,\ s.t. \ a \in O 且 O∩A=∅O \cap A = \emptyset.
    • AA 的外点全体称为 AA 的外部，记作 AeA^e
  • a∈Xa \in X 是 AA 的边界点 ⟺def∃O∈O,s.t.a∈O⇒O⊄A\stackrel{def}{\iff} \exists O \in \mathcal O,\ s.t. \ a \in O \Rightarrow O \not \subset A 且 O∩A≠∅O \cap A \neq \emptyset.
    • AA 的边界点全体称为 AA 的边界，记作 AfA^f
  • a∈Xa \in X 是 AA 的触点 ⟺def\stackrel{def}{\iff} ∀O∈O,s.t.a∈O⇒O∩A≠∅\forall O \in \mathcal O,\ s.t. \ a \in O \Rightarrow O \cap A \neq \emptyset.
    • AA 的触点全体称为 AA 的闭包，记作 A‾\overline A
  • AA 是 XX 的开集 ⟺def\stackrel{def}{\iff} A=AiA = A^i
  • AA 是 XX 的闭集 ⟺def\stackrel{def}{\iff} A=A‾A = \overline A

可以看到，拓扑空间中开集的定义和距离空间中的相似度非常高，确实是具备 “开” 的性质，对于任意拓扑中的元（开集） O∈OO \in \mathcal O，我们任取其中一点 a∈Oa \in O，由于 O⊂OO \subset O，所以 a∈Oia \in O^i，得到 OO 满足这个定义下的开集。所以我们可以知道，拓扑中的任意一个元一定是开集，但是反过来不一定成立

对比二者的性质可以知道，距离空间，或者分析学中的定义依赖于一类特殊的邻域：开球。拓扑空间中的定义依赖于拓扑结构自身的元。就像刚才所说，并不是所有 XX 上的开集都能成为拓扑的一部分，这也就意味着，在拓扑空间中，即使有的集合中分析学的角度来看是开集，也成为拓扑空间中的闭集。要区分这两个定义的不同

注意，拓扑空间中的内部，闭包也满足如距离空间中一样的基本性质，这也是它沿用这个名字的重要原因。证明和距离空间基本一致，此处证明暂略

并且，由于拓扑本身元的特殊性（全是开集），我们可以利用这些元来获得内部，闭包

令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X

  • Ai=⋃{O∈O∣O⊂A}A^i = \bigcup \{ O \in \mathcal O \mid O \subset A \} \quad
  • A‾=⋂{F∈F∣A⊂F}\overline A = \bigcap \{ F \in \mathcal F \mid A \subset F \} \quad

拓扑空间中点的邻域的定义同样和距离空间高度相似

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，N⊂XN \subset X

  • NN 是点 a∈Xa \in X 的邻域 ⟺def\stackrel{def}{\iff} a∈Nia \in N^i
  • 点 aa 的邻域全体构成的集合称为 aa 的邻域系，记作 NX(a)\mathcal{N}_X(a)，如果不需要强调所处空间 XX，可以记作 N(a)\mathcal{N}(a)

显然有含有 aa 的开集都是 aa 的邻域，特别地称为开邻域，并且

令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X

  • AA 是 XX 的开集 ⟺def\stackrel{def}{\iff} A⊂AiA \subset A^i