Home 数学 点集拓扑

有数个类型比较特殊的拓扑，是基于已有拓扑通过映射变化等方式构造出来的，下面介绍其中重要的几个类型
虽然以下将作为定义去处理它们，但是不难验证在各自的条件下它们都将满足三条拓扑公理，本章将不给出具体证明而直接陈述其为拓扑

# 相对拓扑

定义
令 (X,d)(X,d) 为拓扑空间，A⊂X,A≠∅A \subset X,A \neq \emptyset，那么

  • OA:={O∩A∣O∈O}\mathcal O_A := \{ O \cap A \mid O \in \mathcal O \}
    成为 AA 上的拓扑
    并称其为 AA 上关于 O\mathcal O 的 相对拓扑 (Relative topology)「相対位相」，拓扑空间 (A,OA)(A,\mathcal O_A) 称为拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O) 的子空间

# 积拓扑

另一个是通过直积构造的积拓扑，积拓扑就像是先对两个集合做直积运算，然后在直积的点的附近确定拓扑规则，积拓扑中一个点附近的小区域有点类似一个 “开矩形”

定义
令 (X1,O1),(X2,O2)(X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2) 为拓扑空间，取直积 X1×X2X_1 \times X_2 的子集族

B={O1×O2∣O1∈O1,O2∈O2}\mathcal B = \{O_1 \times O_2 \mid O_1 \in \mathcal O_1, O_2 \in \mathcal O_2\}

称由 B\mathcal B 生成的拓扑为 O1,O2\mathcal O_1,\mathcal O_2 的 积拓扑 (Product topology)「積位相」，记作 O1×O2\mathcal O_1 \times \mathcal O_2.
也有的地方将积拓扑写作 O1×⁣⁣⁣⁣×O2\mathcal O_1 \times \!\!\!\! \times \mathcal O_2
并且此时称 (X1×X2,O1×O2)(X_1 \times X_2,\mathcal O_1 \times \mathcal O_2) 为 (X1,O1),(X2,O2)(X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2) 的积（拓扑）空间，记作 (X1,O1)×(X2,O2)(X_1,\mathcal O_1) \times (X_2,\mathcal O_2)
此时 B\mathcal B 是 O1×O2\mathcal O_1 \times \mathcal O_2 的开基

积拓扑有如下性质

命题
令 (X1,O1),(X2,O2)(X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2) 为拓扑空间，取投影 p1:X1×X2→X1p_1:X_1 \times X_2 \to X_1 和 p2:X1×X2→X2p_2:X_1 \times X_2 \to X_2

  1. p1,p2p_1,p_2 为拓扑空间 (X1,O1)×(X2,O2)(X_1,\mathcal O_1) \times (X_2,\mathcal O_2) 到 (X1,O1)(X_1,\mathcal O_1) 或 (X2,O2)(X_2,\mathcal O_2) 的连续映射
  2. 积拓扑 O1×O2\mathcal O_1 \times \mathcal O_2 是使 p1,p2p_1,p_2 连续的，在 X1×X2X_1 \times X_2 上的最小的拓扑
  3. p1,p2p_1,p_2 是开映射
证明

(1) 由于 B\mathcal B 是 O1×O2\mathcal O_1 \times \mathcal O_2 的开基，所以对于 i=1,2i =1,2
∀Oi∈Oi\forall O_i \in \mathcal O_i，有 pi−1(Oi)={(x1,x2)∈X1×X2∣xi∈Oi}=(O1×X2p_i^{-1}(O_i) = \{(x_1,x_2) \in X_1 \times X_2 \mid x_i \in O_i\} = (O_1 \times X_2 或 X1×O2)∈B⊂O1×O2X_1 \times O_2) \in \mathcal B \subset \mathcal O_1 \times \mathcal O_2
所以开集原象开，得到连续
(2) 设 O\mathcal O 是 X1×X2X_1 \times X_2 上，使得映射 pip_i 连续的拓扑，由于 O1×O2\mathcal O_1 \times \mathcal O_2 是包含 B\mathcal B 的最小的拓扑，如果能证明 B⊂O\mathcal B \subset \mathcal O，那么命题得证
任取 B∈BB \in \mathcal B，则可以表示为 B=O1×O2,O1∈O1,O2∈O2B = O_1 \times O_2,O_1 \in \mathcal O_1,O_2 \in \mathcal O_2
由于 pip_i 的连续性，有 p1−1(O1)=O1×X2∈O,p2−1(O2)=X1×O2∈Op_1^{-1}(O_1) = O_1 \times X_2 \in \mathcal O,p_2^{-1}(O_2) = X_1 \times O_2 \in \mathcal O
得到 B=O1×O2=(O1×X2)∩(X1×O2)∈OB = O_1 \times O_2 = (O_1 \times X_2) \cap (X_1 \times O_2) \in \mathcal O，所以 B⊂O\mathcal B \subset \mathcal O
(3) 只需要遍历开基映射后是否处于拓扑内，任取 O1×O2∈BO_1 \times O_2 \in \mathcal B，则 O1∈O1,O2∈O2O_1 \in \mathcal O_1,O_2 \in \mathcal O_2
pi(O1×O2)=Oi∈Oip_i(O_1 \times O_2) = O_i \in \mathcal O_i，所以 p1,p2p_1,p_2 开 □\quad \square

# 像拓扑

接下来是通过映射得到的像拓扑

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，Y≠∅Y \neq \emptyset，映射 f:X→Yf:X \to Y，此时

O(f)={A∈P(Y)∣f−1(A)∈O}\mathcal O(f) = \{ A \in \mathcal P(Y) \mid f^{-1}(A) \in \mathcal O \}

成为 YY 上的拓扑，并称这个拓扑为关于 ff，O\mathcal O 的 像拓扑 (Image topology)「像位相」

像拓扑就是，将定义域这边的拓扑内的元映射过去，把结果全体组成一个拓扑，通过像拓扑，同样可以研究两个拓扑空间之间的连续性

命题
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Y

  1. OY=O(f)⟹\mathcal O_Y = \mathcal O(f) \Longrightarrow ff 是连续映射
  2. ff 满射，连续，且为开映射 ⟹\Longrightarrow OY=O(f)\mathcal O_Y = \mathcal O(f)
证明

(1) 由定义显然，当 OY=O(f)\mathcal O_Y = \mathcal O(f) 的时候，拓扑逆像仍拓扑
(2) 分别证 OY⊂O(f)\mathcal O_Y \subset \mathcal O(f) 和 O(f)⊂OY\mathcal O(f) \subset \mathcal O_Y
任取 O∈OYO \in \mathcal O_Y，由连续性得 f−1(O)∈OXf^{-1}(O) \in \mathcal O_X，所以 O∈O(f)O \in \mathcal O(f)
任取 O∈O(f)O \in \mathcal O(f) 则 f−1(O)∈OXf^{-1}(O) \in \mathcal O_X，由双射和开，得 O=f(f−1(O))∈OY□O = f(f^{-1}(O)) \in \mathcal O_Y \quad \square

对于合成映射，也有

命题
令 (X,OX),(Y,OY),(Z,OZ)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y),(Z,\mathcal O_Z) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Y，g:Y→Zg:Y \to Z

  • OY=O(f)\mathcal O_Y = \mathcal O(f) 且 g∘fg \circ f 连续 ⟹\Longrightarrow gg 连续
证明

任取 O3∈OZO_3 \in \mathcal O_Z，由 g∘fg \circ f 连续和 OY=O(f)\mathcal O_Y = \mathcal O(f)，有
f−1(g−1(O3))=(g∘f)−1(O3)∈OXf^{-1}(g^{-1}(O_3)) = (g \circ f)^{-1}(O_3) \in \mathcal O_X，所以 g−1(O3)∈OY□g^{-1}(O_3) \in \mathcal O_Y \quad \square

此处的定理描述的是，如果合成映射是连续，并且靠前一点的映射有像拓扑等于值域的特点（也就有了连续性），就可以获得靠后的映射的连续性。这尤其在构建三角映射（例如利用自然的映射来构造）的时候很有用，将在下面的商拓扑性质证明中使用

# 商拓扑

以及商拓扑

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，∼\sim 为 XX 上的等价关系，π:X→X/∼\pi:X \to X/\sim 为自然的商映射，O(π)\mathcal O(\pi) 为关于 π\pi 的像拓扑
此时，称 O(π)\mathcal O(\pi) 为 X∼X\sim 上的 商拓扑 (Quotient topology)「商位相」，称 (X∼,O(π))(X\sim,\mathcal O(\pi)) 为 XX 上的商（拓扑）空间

命题
令 X,Y≠∅X,Y \neq \emptyset，映射 f:X→Yf:X \to Y
XX 上的等价关系定义为 x∼yx \sim y in XX ⟺f(x)=f(y)\iff f(x) = f(y) in YY，取商映射 π:X→X/∼\pi:X \to X/\sim
此时有

  1. 满足 f=f~∘πf = \tilde{f} \circ \pi 的映射 f~:X/∼→Y\tilde{f}:X/\sim \to Y 唯一存在
  2. ff 是满射 ⟹\Longrightarrow f~:X/∼→Y\tilde{f}:X/\sim \to Y 是双射
  3. ff 是拓扑空间 (X,OX)(X,\mathcal O_X) 到拓扑空间 (Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) 上的满射，连续，开映射 ⟹\Longrightarrow
    f~\tilde{f} 是 (X/∼,O(π))(X/\sim,\mathcal O(\pi)) 到 (Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) 上的同胚映射
证明

(1) 令 f~:X/∼→Y,π(x)↦f(x)\tilde{f}:X/\sim \to Y,\pi(x) \mapsto f(x)，若 π(x)=π(y)\pi(x) = \pi(y) 则 C(x)=C(y)⇔x∼y⇔f(x)=f(y)⇔f~(x)=f~(y)C(x) = C(y) \Leftrightarrow x \sim y \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow \tilde{f}(x) = \tilde{f}(y)，所以这个映射是良定的，并且此时 (f~∘π)(x)=f~(π(x))=f(x)(\tilde{f} \circ \pi)(x) = \tilde{f}(\pi(x)) = f(x)，存在保证
接下来证明唯一性，假设 g~:X/∼→Y\tilde{g}:X/\sim \to Y 满足 f=g~∘πf = \tilde{g} \circ \pi，则 g~(π(x))=f(x)=f~(π(x))\tilde{g}(\pi(x)) = f(x) = \tilde{f}(\pi(x))
(2) 单射性：假设 f~(π(x))=f~(π(y))\tilde{f}(\pi(x)) = \tilde{f}(\pi(y))，则 f(x)=f(y)⇔x∼yf(x) = f(y) \Leftrightarrow x \sim y，所以 π(x)=π(y)\pi(x) = \pi(y)
满射性：任取 y∈Yy \in Y，由于 ff 满射，所以有 x=f−1(y)∈Xx = f^{-1}(y) \in X，取 π(x)∈X/∼\pi(x) \in X/\sim 那么 y=f(x)=f~(π(x))y = f(x) = \tilde{f}(\pi(x))
(3) 由于 ff 满射，有 f~\tilde{f} 双射。
因为 f=f~∘πf = \tilde{f} \circ \pi 和 π\pi 连续，且 O(π)=O(π)\mathcal O(\pi) = \mathcal O(\pi)，由先前的定理得到 f~\tilde{f} 连续
注意到 π=f~−1∘f\pi = \tilde{f}^{-1} \circ f，ff 连续开得到 O(f)=OY\mathcal O(f) = \mathcal O_Y，所以f~−1\tilde{f}^{-1} 连续
由此，f~\tilde{f} 成为 (X/∼,O(π))(X/\sim,\mathcal O(\pi)) 到 (Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) 上的双射，双向连续映射，即为同胚 □\quad \square