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# 紧性

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X
对于 XX 的子集族 {Uλ∣λ∈Λ}\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}，若 A⊂⋃λ∈ΛUλA \subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}，则称 U={Uλ∣λ∈Λ}\mathcal{U} = \{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} 是 AA 在 XX 上的覆盖「被覆」
如果添字集 Λ\Lambda 是有限集合，即 ∣Λ′∣<∞|\Lambda'| < \infty，则称为有限覆盖

对于相对拓扑来说

令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X

A是X的紧致集⟺子空间(A,OA)是紧空间A 是 X 的紧致集 \iff 子空间 (A,\mathcal O_A) 是 紧空间

证明

对比二者定义区别，实际上是开覆盖族是否可以只在 A 内取到
⇒\Rightarrow 方向
任取 (A,OA)(A,\mathcal O_A) 上 AA 的开覆盖 {Uλ∣λ∈Λ}⊂P(A),Uλ∈OA\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \subset \mathcal{P}(A),U_\lambda \in \mathcal O_A，
所以 UλU_\lambda 可以表示为 Uλ=Vλ∩A,Vλ∈OU_\lambda = V_\lambda \cap A,V_\lambda \in \mathcal O
因为 Uλ⊂VλU_\lambda \subset V_\lambda，所以 {Vλ}λ∈Λ\{V_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda} 成为 (X,O)(X,\mathcal O) 上 AA 的开覆盖，得到其存在有限子覆盖 {Vλ}λ∈Λ′\{V_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda'}
此时取 {Vλ∩A}λ∈Λ′\{V_\lambda \cap A\}_{\lambda \in \Lambda'}，则此为 {Uλ∣λ∈Λ}\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} 的有限子覆盖
⇐\Leftarrow 方向
任取 (X,O)(X,\mathcal O) 上 AA 的开覆盖 {Uλ∣λ∈Λ}⊂P(X),Uλ∈O\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \subset \mathcal{P}(X),U_\lambda \in \mathcal O，则显然 {Uλ∩A}λ∈Λ={Uλ∣λ∈Λ}∩A\{U_{\lambda} \cap A\}_{\lambda \in \Lambda} = \{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \cap A 也是 (A,OA)(A,\mathcal O_A) 上的开覆盖，由条件得知其存在有限子覆盖，从此子覆盖中可以获取原本开覆盖 {Uλ∣λ∈Λ}\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} 的有限子覆盖 □\quad \square

紧空间的闭集是紧致的

证明

令紧空间 (X,O)(X,\mathcal O)，闭集 F⊂X,F∈FF \subset X,F \in \mathcal F，任取 FF 的开覆盖 {Uλ∣λ∈Λ},Uλ∈O\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \},U_\lambda \in \mathcal O
由于 X=F∪Fc⊂{Uλ∣λ∈Λ}∪Fc={Uλ∪Fc}λ∈ΛX = F \cup F^c \subset \{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \cup F^c = \{U_{\lambda} \cup F^c\}_{\lambda \in \Lambda}，且 Fc∈O⇒Uλ∪Fc∈OF^c \in \mathcal O \Rightarrow U_{\lambda} \cup F^c \in \mathcal O，所以 {Uλ∪Fc}λ∈Λ\{U_{\lambda} \cup F^c\}_{\lambda \in \Lambda} 为 XX 的开覆盖
条件给出其存在有限的子覆盖 {Uλ∪Fc}λ∈Λ′\{U_{\lambda} \cup F^c\}_{\lambda \in \Lambda'}，并且由于 F⊂X⊂{Uλ∪Fc}λ∈Λ′F \subset X \subset \{U_{\lambda} \cup F^c\}_{\lambda \in \Lambda'}，所以此亦为 FF 的覆盖，为{Uλ∣λ∈Λ}\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} 的有限子覆盖 □\quad \square

紧致是可以通过连续映射保留的性质

令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Y 连续

  • AA 是 XX 的紧致集 ⟹\Longrightarrow f(A)f(A) 是 YY 的紧致集
证明

任取 f(A)f(A) 的开覆盖 {Uλ∣λ∈Λ},Uλ∈OY\{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\},U_\lambda \in \mathcal O_Y，由连续性 f−1(Uλ)∈OXf^{-1}(U_\lambda) \in \mathcal O_X
此时 A⊂f−1(f(A))⊂f−1(⋃λ∈ΛUλ)=⋃λ∈Λf−1(Uλ)∈OXA \subset f^{-1}(f(A)) \subset f^{-1}(\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda) = \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(U_\lambda) \in \mathcal O_X
所以 {f−1(Uλ)∣λ∈Λ}\{f^{-1}(U_\lambda) \mid \lambda \in \Lambda\} 成为 AA 的开覆盖，由条件得存在有限子覆盖 {f−1(Uλ)∣λ∈Λ′}\{f^{-1}(U_\lambda) \mid \lambda \in \Lambda'\}
所以 $f (A) \subset f ({f^{-1}(U_\lambda) \mid \lambda \in \Lambda'}) = {U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda'} $ ⊂{Uλ∣λ∈Λ}\subset \{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}，{Uλ∣λ∈Λ′}\{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda'\} 成为 {Uλ∣λ∈Λ}\{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\} 的有限子覆盖 □\quad \square