# 连通性

定义
在拓扑空间 $(X,\mathcal O)$ 中，称 $(X,\mathcal O)$ 是 连通的 (connected)「連結」 等价于

$\mathcal O \cap \mathcal F = \{\emptyset,X\}$

这个定义在说的其实是， $X$ 中不存在非平凡的既是开集又是闭集的子集

如果一个拓扑空间非连通，那么就可以取到一个非平凡的子集 $U$ ，使得 $U$ 既开又闭
那么显然取 $V=U^c$ 的话，这也是一个既开又闭的子集，并且和 $U$ 不相交
在这个意思下，我们可以说将 $X$ 分成了两个不相交的开集的直和
所以非连通性具有等价条件

命题
以下等价

$(X,\mathcal O)$ 非连通
存在 $X$ 的非空开集 $U,V$ ，使得 $X = U \cup V$ 且 $U \cap V = \emptyset$
存在 $X$ 的非空闭集 $U,V$ ，使得 $X = U \cup V$ 且 $U \cap V = \emptyset$

证明（待）

对于 $X$ 的子集 $A$ ，如果我们构造相对拓扑 $(A,\mathcal O_A)$ ，那么我们也可以讨论 $A$ 的连通性

定义
令 $(X,\mathcal O)$ 为拓扑空间， $A \subset X$ 非空
称 $A$ 是 $X$ 的 连通子集 (connected subset)「連結集合」 等价于：

子空间 $(A,\mathcal O_A)$ 连通

同样的

命题
以下等价

$(A,\mathcal O_A)$ 非连通
存在 $X$ 的非空开集 $U,V$ ，使得 $A \subset U \cup V$ 且 $A \cap U \cap V = \emptyset$ ，以及 $A \cap U,A \cap V$ 非空
存在 $X$ 的非空闭集 $U,V$ ，使得 $A \subset U \cup V$ 且 $A \cap U \cap V = \emptyset$ ，以及 $A \cap U,A \cap V$ 非空

证明（待）

如果觉得不好理解，可以翻译一下这个条件

$A \subset U \cup V$ 意味着 $A$ 被 $U,V$ 完全覆盖
$A \cap U \cap V = \emptyset$ 意味着 $A$ 的内部没有和 $U,V$ 的交集
$A \cap U,A \cap V$ 非空意味着 $A$ 的内侧和 $U,V$ 都有交集

也就是说： $A$ 能不能被两个内部的不交开集分割
如果可以，那直观感受上当然就是不连通的了

所以我们先分清楚，就像紧性一样：
拓扑空间 $(X,\mathcal O)$ 的连通性
和
子集 $A \subset X$ 的连通性
是两个不同的概念

连通性是可以靠连续映射传递的性质

命题
设 $(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)$ 为拓扑空间， $f:X \to Y$ 连续

$A 是 (X,\mathcal O_X) 的连通子集 \ \Rightarrow \ f(A) 是 (Y,\mathcal O_Y) 的连通子集$

证明（待）

# 连通分支

定义
对于两点 $x,y \in X$ ，我们定义如下等价关系

$x \sim y \iff 存在 X 的连通子集 A 使得 x,y \in A$

称等价类 $C_x = \{y \in X | y \sim x\}$ 为 $X$ 的 连通分支 (connected component)「連結成分」

命题

$C_x$ 是含有 $x$ 的最大的连通子集
$C_x$ 是闭集

证明（待）

如果任意一个连通分支都是单点集，那么这个拓扑空间被称为 全不连通 (totally disconnected)「完全不連結」 的

每个离散拓扑空间都是全不连通的

命题
若 $(X_i,\mathcal O_i),\ i = 1,\ldots,n$ 都连通
则积空间

$(X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n, \mathcal O_1 \times \mathcal O_2 \times \cdots \times \mathcal O_n)$

也连通

证明（待）

利用连通性，我们可以把微积分里学的中值定理推广到连通的拓扑空间上

定理 中值定理
令 $f:X \to \mathbb R$ 为 $(X,\mathcal O)$ 上的实连续函数
$\alpha := f(a),\ \beta := f(b),\ \alpha < \beta$
则对于任意 $\gamma \in (\alpha,\beta)$ ，存在 $c \in X$ 使得 $f(c) = \gamma$

证明（待）

# 连通性

# 连通分支

【数理统计】中心极限定理

【点集拓扑】连续映射