# 统计检验

拥有标本分布以及中心极限定理这个强大的工具后，我们得以通过区标本的方式来处理未知的总体数据
首先如先前所说，我们本质上在做的是去 “猜” 这个总体的数据，这是不会变的。
但是我们可以明确我们在某个区间上猜对的概率

我们需要先取一个 置信系数 (Confidence Level)「有意水準」 $\alpha$，通常来说取 $5\%$ 或 $1\%$，表示我们允许有 $5\%$ 或 $1\%$ 的概率猜错

通过这个置信系数下我们在对原本的总体数据进行估计的时候，会得到一个区间而不是一个值。
这个区间称为 置信区间 (Confidence Interval)「信頼区間」

例如我们对总体平均 $\mu$ 进行估计，得到的结果是 $[a,b]$，表示 $\mu$ 有 $1-\alpha$ 的概率 $\mu$ 落在 $[a,b]$ 这个区间内

推测统计的魅力就在于此。我们不能下结论说 “$\mu$ 是多少多少”，但是我们可以下定结论说 “$\mu$ 一定会有 $1-\alpha$ 的概率落在 $[a,b]$ 这个区间内”

对于标准正态分布，置信区间的边界点叫做 $\alpha$ 点，基于分布类型可能也成为两侧 $\alpha$ 点，记作 $z(\alpha)$ 或 $z_\alpha$

常使用的值：

# 已知总体方差时推测总体平均

在总体分布服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 已知的情况下
大量取标本，根据中心极限定理可知标本平均 $\overline{X}$ 服从正态分布（差不多超过三十个标本就是大量了）

此时

$$\left[\overline X_n - z(\alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline X_n + z(\alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$

成为总体平均 $\mu$ 的 $(1-\alpha)\%$ 置信区间
这意味着对于标准化的随机变量 $Z \sim N(0,1)$:

$$P\left(-z(\alpha) \leq Z = \frac{\overline X_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z(\alpha)\right) = 1-\alpha$$

# 假说检验

首先是概念

• 原假设 (Null Hypothesis)「帰無仮説」 $H_0$：通常是我们想要反驳的假设
• 备择假设 (Alternative Hypothesis)「対立仮説」 $H_1$：通常是我们想要证明的假设
• 检验统计量 (Test Statistic)「検定統計量」 $T$：基于标本计算得到的统计量
• 拒绝域 (Rejection Region)「棄却域」 $W$：当检验统计量落在这个区域时，我们拒绝原假设 $H_0$

通常来说，原假设的形式是：【没有差别】，【没有效果】
例如总体平均 $\mu = 100$

备择假设的形式是：【有差别】，【有效果】
例如总体平均 $\mu \neq 100,\ \mu < 100,\ \mu > 100$

统计假说检验的流程如下：

• 首先确定原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
• 选择显著性水平 $\alpha$，通常取 $0.05$
• 计算检验统计量 $Z$
• 与原假设下的分布进行比较，进行判定
• 给出结论：
  • 拒绝 $H_0$，接受 $H_1$
  • 不拒绝 $H_0$，无法接受 $H_1$

以下用两个例题来说明两侧检验和单侧检验

所以可以明白，单侧和两侧的区别在于显著性水平的影响和拒绝域的不同