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# 第一基本形式

基本形式是描述曲面性质的常用工具。第一基本形式通常由内积计算获得，可以用于测量长度，角度，面积，以及后面的测地线和高斯曲率。

定义
令 (S,n)(S,\boldsymbol n) 为正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v) 为其参数表示，称

I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2I := Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2

为 SS 的第一基本形式 (First Fundamental Form)「第一基本形式」，其中

E:=σu⋅σuF:=σu⋅σvG:=σv⋅σvE:=\boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \sigma_u \\ F:=\boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \sigma_v \\ G:=\boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \sigma_v \\

称为 SS 的第一基本量 (First Fundamental Quantity)「第一基本量」

命题
对于面积分微元

dA=EG−F2dudvd\boldsymbol A = \sqrt{EG - F^2}dudv

证明

由定义可得
∣EFFG∣=∣σu⋅σuσu⋅σvσv⋅σuσv⋅σv∣=∥σu×σv∥2>0\begin{vmatrix}E & F \\ F & G\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \sigma_u & \boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \sigma_v \\ \boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \sigma_u & \boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \sigma_v \end{vmatrix} = \|\sigma_u \times \sigma_v\|^2 > 0
所以

dA=∥σu×σv∥2dudv=∣EFFG∣dudv=EG−F2dudv□d\boldsymbol A = \|\sigma_u \times \sigma_v\|^2dudv = \begin{vmatrix}E & F \\ F & G\end{vmatrix}dudv = \sqrt{EG - F^2}dudv \quad \square

# 第二基本形式

第二基本形式由法向量场的变化获得，可以用于测量曲面的法向变化，弯曲情况。

定义
令 (S,n)(S,\boldsymbol n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v) 为其正向参数表示，称

II:=Ldu2+2Mdudv+Ndv2II := Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2

为 SS 的 第二基本形式 (Second Fundamental Form)「第二基本形式」，其中

L:=σuu⋅nM:=σuv⋅nN:=σvv⋅nL:=\boldsymbol \sigma_{uu} \cdot \boldsymbol n \\ M:=\boldsymbol \sigma_{uv} \cdot \boldsymbol n \\ N:=\boldsymbol \sigma_{vv} \cdot \boldsymbol n \\

称为 SS 的 第二基本量 (Second Fundamental Quantity)「第二基本量」

简单来说，第一基本量描述了曲面的内在性质，第二基本量描述了曲面的外在性质。例如将一个圆筒展开为平面，不会改变其内在性质但是会改变其外在弯曲方向。

# 形算子

第一、第二基本形式之间通过形算子连接。为了研究引出形算子，我们需要分析法向量场的变化，首先有如下计算性质：

命题
令 (S,n)(S,\boldsymbol n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v) 为其正向参数表示

{nu⋅n=nv⋅n=0nu⋅σu=−n⋅σuu=−Lnu⋅σv=−n⋅σuv=−Mnv⋅σv=−n⋅σvv=−N\begin{cases} \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol n = \boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol n = 0 \\ \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_u = - \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_{uu} = -L\\ \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_v = - \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_{uv} = -M\\ \boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol \sigma_v = - \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_{vv} = -N\\ \end{cases}

证明

(1) 由 n⋅n=1\boldsymbol n \cdot \boldsymbol n = 1
可得

0=∂∂u(n⋅n)=2nu⋅n0 = \frac{\partial}{\partial u}(\boldsymbol n \cdot \boldsymbol n) = 2\boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol n

同理可得 nv⋅n=0\boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol n = 0
(2) 由 n⋅σu≡0\boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_u \equiv 0，可得

0=∂∂u(n⋅σu)=nu⋅σu+n⋅σuunu⋅σu=−n⋅σuu=−L0 = \frac{\partial}{\partial u}(\boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_u) = \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_u + \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_{uu} \\ \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_u = - \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma_{uu} = -L

(3)(4) 方法同 (2)，省略

基于这个计算性质，我们可以容易确定：nu\boldsymbol n_u 和 nv\boldsymbol n_v 都在切空间 TpST_{\boldsymbol p}S 中（因为他们和法向量正交）。

定义
令 (S,n)(S,\boldsymbol n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}S 为 SS 在 p∈S\boldsymbol p \in S 处的切空间。对于 v=ζσu+ησv∈TpS\boldsymbol v = \zeta\boldsymbol \sigma_u + \eta\boldsymbol \sigma_v \in T_{\boldsymbol p}S（其中 ζ,η\zeta,\eta 为参数），称映射

Σp:TpS→TpSΣp(v)=−ζnu−ηnv\Sigma_{\boldsymbol p}:T_{\boldsymbol p}S \to T_{\boldsymbol p}S \\ \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol v) = -\zeta \boldsymbol n_u - \eta \boldsymbol n_v

为 SS 在 pp 处的 形算子 (Shape Operator)「シェプ作用素」

命题
令 (S,n)(S,\boldsymbol n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\sigma(u,v): D \to \mathbb R^3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}S 为 SS 在 p∈S\boldsymbol p \in S 处的切空间，v∈TpS\boldsymbol v \in T_{\boldsymbol p}S，对于满足 γ(0)=p,dγdt(0)=v\gamma(0) = \boldsymbol p, \frac{d\gamma}{dt}(0) = \boldsymbol v 的 C∞C^\infty 曲线 γ\gamma，有

Σp(v)=−dndt(γ(t))∣t=0\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol v) = -\frac{d\bold n}{dt}(\gamma(t)) \bigg |_{t=0}

证明

取足够小的 ∣t∣|t|，使得 γ(t)∈σ(D)\gamma(t) \in \sigma(D)，则可以表示为 γ(t)=σ(u(t),v(t))\gamma(t) = \sigma(u(t),v(t))，其中 u(0)=u0,v(0)=v0u(0) = u_0, v(0) = v_0，并且 p=σ(u0,v0)\boldsymbol p = \sigma(u_0,v_0)。
此时有

v=dγdt(0)=σu(u0,v0)u′(0)+σv(u0,v0)v′(0)ddtn(γ(t))∣t=0=n(u(t),v(t))∣t=0=nu(u0,v0)u′(0)+nv(u0,v0)v′(0)=−Σp(v)\boldsymbol v = \frac{d\gamma}{dt}(0) = \sigma_u(u_0,v_0)u'(0) + \sigma_v(u_0,v_0)v'(0) \\ \frac{d}{dt} \boldsymbol n(\gamma(t)) \bigg |_{t=0} = \boldsymbol n(u(t),v(t)) \bigg |_{t=0} = \boldsymbol n_u(u_0,v_0)u'(0) + \boldsymbol n_v(u_0,v_0)v'(0) = -\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol v)

命题
令 (S,n)(S,\boldsymbol n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\sigma(u,v): D \to \mathbb R^3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}S 为 SS 在 p∈S\boldsymbol p \in S 处的切空间，Σp:TpS→TpS\Sigma_{\boldsymbol p}:T_{\boldsymbol p}S \to T_{\boldsymbol p}S 为 SS 在 p\boldsymbol p 处的形算子，则 Σp\Sigma_{\boldsymbol p} 的表现行列为

Σp=(EFFG)−1(LMMN)\Sigma_{\boldsymbol p} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}

证明

设表现行列为

Σp=(abcd)\Sigma_{\boldsymbol p} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

则有

{−nu=Σp(σu)=aσu+cσv−nv=Σp(σv)=bσu+dσv\begin{cases} -\boldsymbol n_u = \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \sigma_u) = a\boldsymbol \sigma_u + c\boldsymbol \sigma_v \\ -\boldsymbol n_v = \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \sigma_v) = b\boldsymbol \sigma_u + d\boldsymbol \sigma_v \end{cases}

让两边分别与 σu,σv\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v 做内积，得到四个等式

{L=−nu⋅σu=aE+cFM=−nu⋅σv=aF+cGM=−nv⋅σu=bE+dFN=−nv⋅σv=bF+dG\begin{cases} L = -\boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_u = aE + cF \\ M = -\boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_v = aF + cG \\ M = -\boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol \sigma_u = bE + dF \\ N = -\boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol \sigma_v = bF + dG \\ \end{cases}

从而

(LMMN)=(aE+cFaF+cGbE+dFbF+dG)=(EFFG)(abcd)\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aE + cF & aF + cG \\ bE + dF & bF + dG \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

即得

Σp=(abcd)=(EFFG)−1(LMMN)\Sigma_{\boldsymbol p} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}

以下命题阐述形算子的线性对称性：

命题
令 p∈S\boldsymbol p \in S，v,w∈TpS\boldsymbol v, \boldsymbol w \in T_{\boldsymbol p}S，则

Σp(v)⋅w=v⋅Σp(w)\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol v) \cdot \boldsymbol w = \boldsymbol v \cdot \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol w)

证明

令

v=ζ1σu+η1σv,w=ζ2σu+η2σv\boldsymbol v = \zeta_1 \boldsymbol \sigma_u + \eta_1 \boldsymbol \sigma_v ,\quad \boldsymbol w = \zeta_2 \boldsymbol \sigma_u + \eta_2 \boldsymbol \sigma_v

则

Σp(v)⋅w=(−ζ1nu−η1nv)⋅(ζ2σu+η2σv)=−(ζ1ζ2nu⋅σu+ζ1η2nu⋅σv+η1ζ2nv⋅σu+η1η2nv⋅σv)=ζ1ζ2L+(ζ1η2+η1ζ2)M+η1η2N\begin{aligned} \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol v) \cdot \boldsymbol w &= (-\zeta_1 \boldsymbol n_u - \eta_1 \boldsymbol n_v) \cdot (\zeta_2 \boldsymbol \sigma_u + \eta_2 \boldsymbol \sigma_v) \\ &= -(\zeta_1 \zeta_2 \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_u + \zeta_1 \eta_2 \boldsymbol n_u \cdot \boldsymbol \sigma_v + \eta_1 \zeta_2 \boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol \sigma_u + \eta_1 \eta_2 \boldsymbol n_v \cdot \boldsymbol \sigma_v) \\ &= \zeta_1 \zeta_2 L + (\zeta_1 \eta_2 + \eta_1 \zeta_2) M + \eta_1 \eta_2 N \end{aligned}

由于 (ζ1,η2)(\zeta_1, \eta_2) 和 (η1,ζ2)(\eta_1, \zeta_2) 是对称的，可以交换，所以

Σp(v)⋅w=v⋅Σp(w)\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol v) \cdot \boldsymbol w = \boldsymbol v \cdot \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol w)

所以形算子的本质是，将一个切空间的向量映射到另一个切空间向量，并且映射结果描述了曲面在此处的弯曲情况。它就像是在切空间上去表现法向量场的变化（微分）。