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数个复分析中的重要定理均可由 Cauchy 积分定理导出 # Morera 定理 在 Cauchy 积分定理的推导过程中，我们首先证明了在三角剖分的情况，即 在正则的区域内，任意闭三角形的积分为零 而这个结论的反方向 若区域内任意闭三角形的积分为零，则该区域内函数正则 作为著名的 Morera 定理，实际上也成立 定理 Morera 定理 令 D⊂CD \subset \mathbb CD⊂C 为开集，f:D→Cf:D \to \mathbb Cf:D→C 连续 若对于任意闭三角形 △⊂D\triangle \subset...

级数往往指代的是无穷级数 以下，考虑多维复数域 Cn\mathbb C^nCn，默认其完备 对于其中的元 z=(z1,z2,…,zn)∈Cnz = (z_1, z_2, \ldots, z_n) \in \mathbb C^nz=(z1​,z2​,…,zn​)∈Cn，定义其范数为 ∥z∥=∑k=1n∣zk∣2\|z\| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k|^2} ∥z∥=k=1∑n​∣zk​∣2​ 其中 ∣zk∣|z_k|∣zk​∣ 为复数 zkz_kzk​ 的模长 注意后续中 zkz_kzk​...

偏微分可能性确保了多元函数在特定方向上的变化性质，但是上升到高维角度，分量同时变化时可能会产生相互作用的叠加效果，使得原本在分量上偏微分可能的函数整体上并不具备良好的微分性质 为了确定多元函数作为整体的微分可能性，需要引入更强的 Frechet 微分 特别地，在有限维度下，Frechet 微分等价于全微分 以下作为区分，实数值函数记作 fff，向量值函数记作 FFF # Fréchet 微分 定义 设 U⊂RnU \subset \mathbb R^nU⊂Rn 为开集，F:U→RmF: U \to \mathbb R^mF:U→Rm 对于...

# 广义积分的定义 # 收敛性 # Gamma 函数 Γ(t)\Gamma(t)Γ(t) 对于实数 t>0t \gt 0t>0，定义 Γ(t)=∫0+∞xt−1e−x dx\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1} e^{-x} \, dx Γ(t)=∫0+∞​xt−1e−xdx 称为 Gamma 函数，它是阶乘函数在实数域上的推广 Gamma 函数具有以下性质： 当 t=nt = nt=n 为自然数时，有 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) =...

# 换元积分法 # 分部积分法 # 有理函数积分 有理函数指的是形如 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x)​ 的函数，其中 P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 都是实系数多项式 此类函数一定能求出原函数 重点在于部分分式展开 我们要将原分式转为形如 C(x−a)k, Ax+B((x−a)2+b2)m\frac{C}{(x-a)^k},\ \frac{Ax + B}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} (x−a)kC​, ((x−a)2+b2)mAx+B​ 的分式之和，其中 k,mk, mk,m...