# 数と式

# 整式の加法・減法・乗法

計算法則（ $A, B, C$ は整式とする）

交換法則: $A+B=B+A, AB=BA$
結合法則: $(A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC)$
分配法則: $A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC$

指数法則（ $m, n$ は正の整数とする）

$a^m a^n = a^{m+n} \quad$
$(a^m)^n = a^{mn} \quad$ （参考: $a^0=1$ ）
$(ab)^n = a^n b^n$

展開の公式、因数分解

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$
$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$

（参考）

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$
$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

# 実数、平方根

実数の構造

実数
- 有理数
  - 整数（自然数、 $0$ 、負の整数）
  - 有限小数
  - 循環小数
- 無理数（循環しない無限小数）

絶対値の性質

$a \ge 0$ のとき $|a|=a$
$a \lt 0$ のとき $|a|=-a$
$|a|^2 = a^2$

平方根の性質

$a \ge 0$ のとき $(\sqrt{a})^2=a, (-\sqrt{a})^2=a, \sqrt{a} \ge 0 \quad$
$a \ge 0$ のとき $\sqrt{a^2}=a \quad$
$a \lt 0$ のとき $\sqrt{a^2}=-a \quad$
すなわち $\sqrt{a^2}=|a|$

$a \gt 0, b \gt 0, k \gt 0$ のとき

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \quad$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \quad$
$\sqrt{k^2 a}=k\sqrt{a} \quad$

2 重根号のはずし方（文字はすべて正の数とする）

$\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}$ は、まず $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}$ に変形し
$\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \quad$
$a \gt b$ のとき $\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \quad$

# 1 次不等式

不等式の性質

$a \lt b \implies a+c \lt b+c, a-c \lt b-c$
$a \lt b, c \gt 0 \implies ac \lt bc, \frac{a}{c} \lt \frac{b}{c} \quad$
$a \lt b, c \lt 0 \implies ac \gt bc, \frac{a}{c} \gt \frac{b}{c} \quad$
$a \lt b, b \lt c \implies a \lt c$

絶対値を含む方程式・不等式

場合分け
$|A| = \begin{cases} A & (A \ge 0) \\ -A & (A \lt 0) \end{cases}$
簡便法 $c \gt 0$ $c > 0$ のとき
- 方程式 $|x|=c$ の解は $x = \pm c$
- 不等式 $|x| \lt c$ の解は $-c \lt x \lt c$
- 不等式 $|x| \gt c$ の解は $x \lt -c, c \lt x$

# 集合

$U$ は全体集合で、 $A, B, C$ は $U$ の部分集合

集合の基本

部分集合 $A \subset B$
「 $x \in A \implies x \in B$ 」が成り立つ。
相等 $A = B$
「 $A \subset B$ かつ $B \subset A$ 」が成り立つ。
共通部分 $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\}$
和集合 $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ または } x \in B\}$
補集合 $\overline{A} = \{x \mid x \in U \text{ かつ } x \notin A\}$

ド・モルガンの法則

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \quad$
$\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} \quad$
$\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} \quad$

# 命題と条件

命題の真偽

真の場合証明する。
偽の場合反例を 1 つあげる。

必要・十分条件
2 つの条件 $p, q$ について

$p \implies q$ $p ⟹ q$ が真であるとき
- $q$ は $p$ であるための必要条件
- $p$ は $q$ であるための十分条件
$p \implies q, q \implies p$ $p ⟹ q, q ⟹ p$ がともに真であるとき
- $q$ は $p$ （ $p$ は $q$ ）であるための必要十分条件

命題の逆、対偶、裏

命題とその対偶の真偽は一致する。

# 2 次関数

# 2 次関数のグラフ

$y=a(x-p)^2+q \quad (a \neq 0)$ のグラフ

頂点 $(p, q)$ 、軸が直線 $x=p$ の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸、 $a \lt 0$ なら上に凸

$y=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)$ のグラフ

右辺を平方完成して

$y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

頂点 $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$ 、軸が直線 $x=-\frac{b}{2a}$ の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸、 $a \lt 0$ なら上に凸

# 平行移動、対称移動

平行移動

$x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけの平行移動で
点 $(a, b) \to (a+p, b+q)$
グラフ $y=f(x) \to y=f(x-p)+q$

対称移動

$x$ 軸対称移動：点 $(a, b) \to (a, -b)$ 、グラフ $y=-f(x)$
$y$ 軸対称移動：点 $(a, b) \to (-a, b)$ 、グラフ $y=f(-x)$
原点対称移動：点 $(a, b) \to (-a, -b)$ 、グラフ $y=-f(-x)$

# 関数の最大・最小

2 次関数 $y=ax^2+bx+c$ の最大・最小：平方完成して $y=a(x-p)^2+q$ の形にする。

$a \gt 0$ のとき、 $x=p$ で最小値 $q$ 、最大値はない
$a \lt 0$ のとき、 $x=p$ で最大値 $q$ 、最小値はない

2 次関数 $y=ax^2+bx+c \quad (h \le x \le k)$ の最大・最小 ( $a \gt 0$ (下に凸) の場合)。

区間の内に頂点があるとき
頂点で最小。頂点から遠い区間の端で最大。
区間の外に頂点があるとき
頂点に近い区間の端で最小。遠い端で最大。

# 2 次関数の決定

与えられた条件が

放物線の頂点や軸 $\implies y=a(x-p)^2+q$ とおく。
グラフが通る 3 点 $\implies y=ax^2+bx+c$ とおく。

# 2 次方程式の実数解の個数

2 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、この 2 次方程式が

異なる 2 つの実数解をもつ $\iff D \gt 0$
ただ 1 つの実数解 (重解) をもつ $\iff D = 0$
実数解をもたない $\iff D \lt 0$

# 2 次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと $x$ 軸

2 次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフを $C$ 、 $D=b^2-4ac$ とすると

$D \gt 0 \iff C$ は $x$ 軸と異なる 2 点で交わる
$D = 0 \iff C$ は $x$ 軸と 1 点で接する
$D \lt 0 \iff C$ は $x$ 軸と共有点をもたない

# 2 次不等式

$ax^2+bx+c \gt 0$ , $ax^2+bx+c \lt 0$ の解
2 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が、異なる 2 つの実数解 $\alpha, \beta$ をもち $\alpha \lt \beta$ とする。 $a \gt 0$ の場合

$ax^2+bx+c \gt 0$ の解は $x \lt \alpha, \beta \lt x$
$ax^2+bx+c \lt 0$ の解は $\alpha \lt x \lt \beta$

$(x-\alpha)^2 \gt 0$ , $(x-\alpha)^2 \lt 0$ の解

$(x-\alpha)^2 \lt 0$ の解はない
$(x-\alpha)^2 \le 0$ の解は $x=\alpha$
$(x-\alpha)^2 \gt 0$ の解は $\alpha$ 以外のすべての実数
$(x-\alpha)^2 \ge 0$ の解はすべての実数

# 図形と計量

# 三角比の定義、相互関係

三角比の定義

$\sin \theta = \frac{y}{r} \quad$
$\cos \theta = \frac{x}{r} \quad$
$\tan \theta = \frac{y}{x} \quad$

三角比の相互関係

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \quad$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \quad$
$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \quad$

$180^\circ - \theta, 90^\circ \pm \theta$ の三角比

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta \quad$
$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta \quad$
$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta \quad$
$\sin(90^\circ \pm \theta) = \cos \theta \quad$
$\cos(90^\circ \pm \theta) = \mp\sin \theta \quad$
$\tan(90^\circ \pm \theta) = \mp \frac{1}{\tan \theta} \quad$ （複号同順）

# 正弦定理

$\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

# 余弦定理

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$\left( \begin{array}{l} a = c \cos B + b \cos C \\ b = a \cos C + c \cos A \\ c = b \cos A + a \cos B \end{array} \right)$

# 三角形の辺と角の関係

三角形の成立条件

$|b - c| \lt a \lt b + c$

辺と角の大小関係

$a \lt b \iff A \lt B$
$a = b \iff A = B$
$a \gt b \iff A \gt B$
$A \lt 90^\circ \iff a^2 \lt b^2 + c^2$
$A = 90^\circ \iff a^2 = b^2 + c^2$
$A \gt 90^\circ \iff a^2 \gt b^2 + c^2$

# 三角形の面積

2 辺とその間の角

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると
$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$

3 辺 (ヘロンの公式)

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とし、 $2s = a + b + c$ とおくと
$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \quad$

三角形の内接円と面積

$\triangle ABC$ の面積を $S$ 、内接円の半径を $r$ とすると
$S = \frac{1}{2}r(a + b + c) \quad$

# データの分析

# データの代表値

平均値 $\overline{x}$
$\overline{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \quad$
中央値 (メジアン)
データを値の大きさの順に並べたとき中央の位置にくる値。データの大きさが偶数のときは、中央に並ぶ 2 つの値の平均値。
最頻値 (モード)
データにおける最も個数の多い値。度数分布表に整理したときは、度数が最も大きい階級の階級値。

# 箱ひげ図

データの最小値、第 1 四分位数 $Q_1$ 、中央値、第 3 四分位数 $Q_3$ 、最大値を、箱と線（ひげ）で表現する図。

# 分散と標準偏差

偏差
変量 $x$ の各値と平均値との差
$x_1 - \overline{x}, x_2 - \overline{x}, \cdots, x_n - \overline{x} \quad$
分散
偏差の 2 乗の平均値
$s^2 = \frac{1}{n}\{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\} \quad$
標準偏差
分散の正の平方根 $\quad s = \sqrt{s^2} \quad$ （分散の正の平方根）
分散と平均値の関係式
$s^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2 \quad$

# 相関係数

変量 $x, y$ の標準偏差をそれぞれ $s_x, s_y$ とし、 $x$ と $y$ の共分散を $s_{xy}$ とすると、相関係数 $r$ は

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} \quad (-1 \le r \le 1) \quad$

2 つの変量 $x, y$ について、それぞれの平均値を $\overline{x}, \overline{y}$ とし、 $(x - \overline{x})(y - \overline{y})$ の総和を $a$ 、 $(x - \overline{x})^2$ の総和を $b$ 、 $(y - \overline{y})^2$ の総和を $c$ とするとき、相関係数 $r$ は

$r = \frac{a}{\sqrt{bc}} \quad (-1 \le r \le 1) \quad$

# 場合の数と確率

# 集合の要素の個数

個数定理

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$A \cap B = \emptyset$ なら $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$
$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$
（ $U$ は全体集合、 $A$ はその部分集合）
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

集合の要素の個数の性質

$n(U) \ge n(A \cup B)$
$n(A \cap B) \le n(A) \quad n(A \cap B) \le n(B)$
$n(A \cup B) \le n(A) + n(B) \quad$

# 場合の数

和の法則、積の法則

和の法則：事柄 $A, B$ の起こり方が、それぞれ $a, b$ 通りで、 $A$ と $B$ が同時に起こらないとき、 $A$ または $B$ のどちらかが起こる場合の数は $a+b$ 通りである。
積の法則：事柄 $A$ の起こり方が $a$ 通りあり、そのおのおのに対して事柄 $B$ の起こり方が $b$ 通りあるとすると、 $A$ と $B$ がともに起こる場合の数は $ab$ 通りである。

# 順列・円順列・重複順列

順列

$_n P_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \quad (0 \le r \le n)$
$0! = 1 \quad$ 特に $\quad _n P_n = n! \quad$

円順列（ $A_1, A_2, \cdots, A_n$ を円形に並べるとき、 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ と $A_2, A_3, \cdots, A_n, A_1$ は同じ並べ方とみなす）

$(n-1)! \quad \left(= \dfrac{_n P_n}{n}\right) \quad$

じゅず順列（ $A_1, A_2, \cdots, A_n$ を円形に並べるとき、 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ と $A_n, A_{n-1}, \cdots, A_1$ は同じ並べ方とみなす）

$\dfrac{(n-1)!}{2} \quad \left(= \dfrac{\text{円順列}}{2}\right) \quad$

重複順列（同じものを含む順列）

$n^r \quad (n \lt r \text{ であってもよい}) \quad$
例： $n$ $n$ 個の異なるものを
- $A, B$ 2 組に分ける $2^n - 2 \quad$
- $A, B, C$ 3 組に分ける $3^n - 3(2^n - 2) - 3 \quad$

# 組合せ、同じものを含む順列

組合せの数

$_n C_r = \dfrac{_n P_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \quad (0 \le r \le n)$
特に $\quad _n C_n = 1$

$_n C_r$ の性質

$_n C_r = {}_{n} C_{n-r} \quad (0 \le r \le n)$
$_n C_r = {}_{n-1} C_{r-1} + {}_{n-1} C_r \quad (1 \le r \le n-1, n \ge 2)$

組分け

$n$ 人を $A$ 組 $p$ 人、 $B$ 組 $q$ 人、 $C$ 組 $r$ 人に分ける
${}_n C_p \times {}_{n-p} C_q$
単に、3 組に分けるときには注意が必要。
3 組同数なら $\div 3! \quad$ 2 組同数なら $\div 2! \quad$

同じものを含む順列

$\dfrac{n!}{p!q!r!\cdots} \quad$
ただし $p+q+r+\cdots = n$

重複組合せの数

${}_n H_r = {}_{n+r-1} C_r \quad (n \lt r \text{ であってもよい)} \quad$

# 確率とその基本性質

確率の定義

全事象 $U$ のどの根元事象も同様に確からしいとき、事象 $A$ の起こる確率 $P(A)$ は
$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)} = \dfrac{\text{事象 } A \text{ の起こる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}$

基本性質

$0 \le P(A) \le 1, P(\emptyset) = 0, P(U) = 1$

加法定理

事象 $A, B$ が互いに排反のとき
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

余事象の確率

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

# 独立な試行、反復試行の確率

独立な試行の確率

2 つの独立な試行 $S, T$ において、 $S$ では事象 $A$ が起こり、 $T$ では事象 $B$ が起こるという事象を $C$ とすると
$P(C) = P(A)P(B)$

反復試行の確率

1 回の試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ であるとする。この試行を $n$ 回繰り返すとき、事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は
{}_n C_r p^r (1-p)^
（注意） $a \neq 0$ のとき $a^0 = 1$

# 条件付き確率

条件付き確率

事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_A(B)$ は
$P_A(B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad$

確率の乗法定理

$P(A \cap B) = P(A)P_A(B)$

# 期待値

期待値

変量 $X$ のとりうる値を $x_1, x_2, \cdots, x_n$ とし、 $X$ がこれらの値をとる確率をそれぞれ $p_1, p_2, \cdots, p_n$ とすると、 $X$ の期待値 $E$ は
$E = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \quad$
ただし $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1 \quad$

# 図形の性質

# 三角形の辺の比、外心・内心・重心

三角形の角の二等分線と比

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点 $P$ は、辺 $BC$ を $AB : AC$ に内分する。
$AB \neq AC$ である $\triangle ABC$ の $\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点 $Q$ は、辺 $BC$ を $AB : AC$ に外分する。

$\frac{BP}{PC} = \frac{BQ}{QC} = \frac{AB}{AC} \quad$

外心・内心・重心

外心……3 辺の垂直二等分線の交点。
内心……3 つの内角の二等分線の交点。
重心……3 つの中線の交点。重心は各中線を $2:1$ に内分する。

垂心

三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点。

# チェバの定理、メネラウスの定理

チェバの定理

$\triangle ABC$ の頂点 $A, B, C$ と辺上にもその延長上にもない点 $O$ を結ぶ各直線が、対辺またはその延長とそれぞれ $P, Q, R$ で交わるとき
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

メネラウスの定理

$\triangle ABC$ の辺 $BC, CA, AB$ またはその延長が頂点を通らない直線 $\ell$ と、それぞれ点 $P, Q, R$ で交わるとき
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

三角形の 3 辺の長さを $a, b, c$ とすると
$|b - c| \lt a \lt b + c \quad$ （三角形の成立条件）

# 円周角、円に内接する四角形

円周角の定理

右の図において
4 点 $A, B, P, Q$ が 1 つの円周上にある $\iff \angle APB = \angle AQB$

円に内接する四角形

四角形が円に内接するとき
- 対角の和は $180^\circ$
- 内角は、その対角の外角に等しい。

# 円と直線、方べきの定理

円の接線

右の図において
$OA \perp PA$
$OB \perp PB$
$PA = PB$

接弦定理

図において
直線 $AT$ が円 $O$ の接線 $\iff \angle ACB = \angle BAT$

方べきの定理

[1] 円の 2 つの弦 $AB, CD$ またはそれらの延長の交点を $P$ とすると
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

[2] 円の外部の点 $P$ から円に引いた接線の接点を $T$ とし、 $P$ を通りこの円と 2 点 $A, B$ で交わる直線を引くと
$PA \cdot PB = PT^2$

方べきの定理の逆

2 つの線分 $AB$ と $CD$ 、または $AB$ の延長と $CD$ の延長が点 $P$ で交わるとき、 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立つならば、4 点 $A, B, C, D$ は 1 つの円周上にある。

三垂線の定理

平面 $\alpha$ 上に直線 $\ell$ があるとき、 $\alpha$ 上にない点 $A$ 、 $\ell$ 上の点 $B$ 、 $\ell$ 上にない $\alpha$ 上の点 $O$ について
$AB \perp \ell, OB \perp \ell, OA \perp OB$ ならば $OA \perp \alpha$

# 直線と平面、多面体

空間における直線や平面の位置関係

平行な 2 直線の一方に垂直な直線は、他方にも垂直である。
直線 $\ell$ が、平面 $\alpha$ 上の交わる 2 直線 $m, n$ に垂直ならば、直線 $\ell$ は平面 $\alpha$ に垂直である。
平面 $\alpha$ の 1 つの垂線を含む平面は、 $\alpha$ に垂直である。

多面体

次の 2 つの条件を満たす凸多面体を正多面体という。
- 各面はすべて合同な正多角形である。
- 各頂点に集まる面の数はすべて等しい。

オイラーの多面体定理

凸多面体の頂点の数を $v$ 、辺の数を $e$ 、面の数を $f$ とすると
$v - e + f = 2$