# 複素数と方程式

# 複素数

複素数の性質（$a, b, c, d$ は実数とする）

• 虚数単位 $i$ は $i^2 = -1$ を満たす数
• $a \gt 0$ のとき $\sqrt{-a} = \sqrt{a}i$
• $a + bi = c + di \iff a = c$ かつ $b = d$

# 2 次方程式の解と判別式

実数係数の 2 次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の 2 つの解を $\alpha, \beta$ とし、判別式を $D = b^2 - 4ac$ とする。

解の判別

• $D \gt 0 \iff$ 異なる 2 つの実数解をもつ
• $D = 0 \iff$ 重解をもつ
• $D \lt 0 \iff$ 異なる 2 つの虚数解をもつ

2 次方程式の解と係数の関係

• $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a} \quad$
• $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ が恒等式

2 次方程式の実数解と実数 $k$ の大小
$\alpha, \beta$ が実数のとき、実数 $k$ に対して

• $\alpha \gt k, \beta \gt k \iff D \ge 0, \quad (\alpha - k) + (\beta - k) \gt 0, \quad (\alpha - k)(\beta - k) \gt 0$
• $\alpha \lt k, \beta \lt k \iff D \ge 0, \quad (\alpha - k) + (\beta - k) \lt 0, \quad (\alpha - k)(\beta - k) \gt 0$
• $k$ が $\alpha$ と $\beta$ の間 $\iff (\alpha - k)(\beta - k) \lt 0$

# 剰余の定理と因数定理

剰余の定理（$P(x)$ は多項式とする）

• $P(x)$ を 1 次式 $x - a$ で割ったときの余りは $P(a)$ であり、$P(x)$ を 1 次式 $ax + b$ で割ったときの余りは $P\left(-\frac{b}{a}\right)$ である。

因数定理（$P(x)$ は多項式とする）

• 1 次式 $x - a$ が $P(x)$ の因数である $\iff P(a) = 0$
• 1 次式 $ax + b$ が $P(x)$ の因数である $\iff P\left(-\frac{b}{a}\right) = 0 \quad$

# 高次方程式

高次方程式の性質

• 実数係数の $n$ 次方程式が虚数解 $a + bi$ （$a, b$ は実数）をもつならば、それと共役な複素数 $a - bi$ も解である。

3 次方程式の解と係数の関係
3 次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の 3 つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると

• $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \quad$
• $ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ が恒等式

# 図形と方程式

# 点の座標

点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$ とする。

2 点間の距離

• $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \quad$
• 特に、原点 $O$ と $A$ の距離は $OA = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \quad$

内分点・外分点
線分 $AB$ を $m : n$ に分ける点の座標は

• 内分 …… $\left(\dfrac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \dfrac{ny_1 + my_2}{m + n}\right) \quad$
• 外分 …… $\left(\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m - n}, \dfrac{-ny_1 + my_2}{m - n}\right) \quad$

重心の座標

• $\triangle ABC$ の重心の座標は
  $\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \quad$

# 直線

直線の方程式

• $ax + by + c = 0 \quad (a \neq 0 \text{ または } b \neq 0) \quad$

  $$\left[ y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \ (b \neq 0), \ x = -\frac{c}{a} \ (b = 0) \right]$$

• 点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は

  $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

• 異なる 2 点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は
  • $x_1 \neq x_2$ のとき

  $$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$

  • $x_1 = x_2$ のとき

  $$x = x_1$$

  • この 2 式をまとめると

  $$(y_2 - y_1)(x - x_1) - (x_2 - x_1)(y - y_1) = 0$$

2 直線の関係

$$\begin{cases} y = m_1x + n_1 \\ y = m_2x + n_2 \end{cases} \quad \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$$

• 交わる: $m_1 \neq m_2 \quad a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0 \quad$
• 平行: $m_1 = m_2 \quad a_1b_2 - a_2b_1 = 0 \quad$
• 垂直: $m_1m_2 = -1 \quad a_1a_2 + b_1b_2 = 0 \quad$
  （注意：一致は平行に含めるものとする。）

点と直線の距離

• 直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x_1, y_1)$ の距離は

  $$\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

三角形の面積

• 3 点 $O(0, 0), A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ を頂点とする三角形の面積は

  $$\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| \quad$$

# 円

円の方程式

• 点 $(a, b)$ を中心とし、半径が $r$ の円の方程式は

  $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

  • 特に、原点 $O$ が中心の場合

  $$x^2 + y^2 = r^2$$

• 一般形，ただし $l^2 + m^2 - 4n \gt 0$

  $$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0 \quad$$

円の接線

• 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ におけるこの円の接線の方程式は

  $$x_1x + y_1y = r^2 \quad$$

# 軌跡と方程式

対称移動

• 点対称
  点 $A$ に関して、点 $P$ と点 $Q$ が対称 $\iff$ 線分 $PQ$ の中点が $A$
• 線対称
  直線 $\ell$ に関して、点 $P$ と点 $Q$ が対称
  $\iff$ [1] $PQ \perp \ell \quad$ [2] 線分 $PQ$ の中点が $\ell$ 上にある

# 不等式の表す領域

不等式と領域

• $y \gt f(x)$ …… 曲線 $y = f(x)$ の上側の部分
• $y \lt f(x)$ …… 曲線 $y = f(x)$ の下側の部分
• $x^2 + y^2 \lt r^2$ …… 円 $x^2 + y^2 = r^2$ の内部
• $x^2 + y^2 \gt r^2$ …… 円 $x^2 + y^2 = r^2$ の外部

# 三角関数

# 弧度法と三角関数

弧度法

• $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ ラジアン

• $1$ ラジアン $= \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ$

• 半径 $r$、中心角が $\theta$ ラジアンの扇形の弧の長さは $r\theta$、面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta$

三角関数の性質 1（$n$ は整数、複号同順とする。）

• $\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta \quad$
• $\cos(\theta + 2n\pi) = \cos\theta \quad$
• $\tan(\theta + 2n\pi) = \tan\theta \quad$

性質 2

• $\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad$
• $\cos(-\theta) = \cos\theta \quad$
• $\tan(-\theta) = -\tan\theta \quad$

性質 3

• $\sin(\pi \pm \theta) = \mp\sin\theta \quad$
• $\cos(\pi \pm \theta) = -\cos\theta \quad$
• $\tan(\pi \pm \theta) = \pm\tan\theta \quad$

性質 4

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right) = \cos\theta \quad$
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right) = \mp\sin\theta \quad$
• $\tan\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right) = \mp\frac{1}{\tan\theta} \quad$

# 周期

三角関数の周期（$k$ は正の定数とする。）

• 関数 $y = \sin k\theta$ の周期 …… $\frac{2\pi}{k} \quad$
• 関数 $y = \cos k\theta$ の周期 …… $\frac{2\pi}{k} \quad$
• 関数 $y = \tan k\theta$ の周期 …… $\frac{\pi}{k} \quad$

# 加法定理

加法定理（複号同順とする。）

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta \quad$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta \quad$
• $\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} \quad$

2 倍角、半角、3 倍角の公式
・2 倍角の公式

• $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha \quad$
• $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \quad$
• $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \quad$

・半角の公式

• $\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2} \quad$
• $\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2} \quad$
• $\tan^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} \quad$

・3 倍角の公式

• $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \quad$
• $\cos 3\alpha = -3\cos\alpha + 4\cos^3\alpha \quad$

# 積 ⇄ 和の公式、合成

積 -> 和の公式

• $\sin\alpha \cos\beta = \dfrac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\} \quad$
• $\cos\alpha \sin\beta = \dfrac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\} \quad$
• $\cos\alpha \cos\beta = \dfrac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\} \quad$
• $\sin\alpha \sin\beta = -\dfrac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\} \quad$

和 -> 積の公式

• $\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A + B}{2} \cos\dfrac{A - B}{2} \quad$
• $\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A + B}{2} \sin\dfrac{A - B}{2} \quad$
• $\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A + B}{2} \cos\dfrac{A - B}{2} \quad$
• $\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A + B}{2} \sin\dfrac{A - B}{2} \quad$

三角関数の合成（$a \neq 0$ または $b \neq 0$）

• $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha) \quad$
• ただし $\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \quad$

# 指数関数と対数関数

# 指数の拡張

実数の指数
$a \gt 0, b \gt 0$ で、$n$ が正の整数、$r, s$ が実数のとき

• $a^0 = 1$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad$

法則

• $a^r a^s = a^{r+s} \quad$
• $(a^r)^s = a^{rs} \quad$
• $(ab)^r = a^r b^r \quad$

累乗根：
$m, n, p$ は正の整数とする。
性質 1（$a \gt 0, b \gt 0$ とする）

• $(\sqrt[n]{a})^n = a \quad$
• $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \quad$
• $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \quad$

性質 2

• $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \quad$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \quad$
• $\sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m} \quad$

# 指数関数のグラフ

指数関数 $y = a^x$ とそのグラフ（$a \gt 0, a \neq 1$）

• 定義域は実数全体、値域は $y \gt 0$
• $a \gt 1$ のとき $x$ が増加すると $y$ も増加
• $0 \lt a \lt 1$ のとき $x$ が増加すると $y$ は減少
• グラフは、点 $(0, 1)$ を通り、$x$ 軸が漸近線

# 対数とその性質

指数と対数の基本関係
$a \gt 0, a \neq 1, M \gt 0$ とする。

• $a^p = M \iff p = \log_a M \quad [\log_a a^p = p] \quad$
• 特に $\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0, \quad \log_a \frac{1}{a} = -1 \quad$

対数の性質
$a, b, c$ は 1 でない正の数、$M \gt 0, N \gt 0, k$ は実数とする。

• $\log_a MN = \log_a M + \log_a N \quad$
• $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N \quad$
• $\log_a M^k = k \log_a M \quad$

底の変換公式

• $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad$
• 特に $\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad$

# 対数関数のグラフ

対数関数 $y = \log_a x$ とそのグラフ

• $y = \log_a x$ は $x = a^y$ と同値（$a \gt 0, a \neq 1$）
• 定義域は $x \gt 0$、値域は実数全体
• $a \gt 1$ のとき $x$ が増加すると $y$ も増加
• $0 \lt a \lt 1$ のとき $x$ が増加すると $y$ は減少
• グラフは、点 $(1, 0)$ を通り、$y$ 軸が漸近線

# 微分法

# 微分係数

平均変化率

• $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad (b \neq a) \quad$

微分係数（変化率）

• $f'(a) = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \quad$

# 導関数

導関数の定義

• 定義

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

導関数の公式
$a, b, c, k, l$ は定数、$n$ は正の整数、$u$ と $v$ は $x$ の関数とする。

• $(c)' = 0, \quad (x^n)' = nx^{n-1} \quad$
• $(ku)' = ku', \quad (u+v)' = u' + v' \quad$
• $(ku+lv)' = ku' + lv' \quad$

（参考）数学 III の内容

• $(uv)' = u'v + uv', \quad (u^n)' = nu^{n-1}u' \quad$
• 特に $\{(ax+b)^n\}' = na(ax+b)^{n-1} \quad$

# 接線

接線・法線の方程式
法線では $f'(a) \neq 0$ とする。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(a, f(a))$ における

• 接線の方程式

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

• 法線の方程式

$$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$

# 関数の増減と極大・極小

関数の増減
ある区間で

• 常に $f'(x) \gt 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調に増加する。[この区間で接線の傾きは正]
• 常に $f'(x) \lt 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調に減少する。[この区間で接線の傾きは負]

関数の極値

• 極大… 増加から減少に移る。$f'(x)$ が正 $\longrightarrow$ 負
• 極小… 減少から増加に移る。$f'(x)$ が負 $\longrightarrow$ 正

# 最大値・最小値

最大・最小

• 区間内の極値を求め、その値と区間の両端における関数の値との大小から決定。

# 積分法

# 不定積分

導関数と不定積分
$C$ は積分定数とする。
$F'(x) = f(x)$ のとき

$$\displaystyle\int f(x)dx = F(x) + C$$

• $\displaystyle\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad \left(n \text{ は } 0 \text{ 以上の整数}\right) \quad$

不定積分の性質
$k, l$ は定数とする。

• $\displaystyle\int \{kf(x) + lg(x)\}dx = k\int f(x)dx + l\int g(x)dx \quad$

# 定積分

定積分 $F'(x) = f(x)$ のとき

$$\int_a^b f(x)dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$$

定積分の性質
$k, l$ は定数とする。

• $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt \quad$
• $\displaystyle\int_a^b \{kf(x) + lg(x)\}dx = k\int_a^b f(x)dx + l\int_a^b g(x)dx \quad$
• $\displaystyle\int_a^a f(x)dx = 0, \quad \int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx \quad$
• $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx \quad$

偶関数、奇関数の定積分 $n$ は自然数とする。

• $\displaystyle\int_{-a}^a x^{2n} dx = 2\int_0^a x^{2n} dx, \quad \int_{-a}^a x^{2n-1} dx = 0 \quad$

定積分で表された関数
$x$ は $t$ に無関係な変数、$a, b$ は定数とする。

• $\displaystyle\int_a^b f(x, t)dt$ は $x$ の関数
• $\displaystyle\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$
• $\displaystyle\int_a^x f(t)dt$ は $f(x)$ の不定積分

# 面積

放物線と面積

• $\displaystyle\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を利用。

# 数列

# 等差数列の一般項と和

一般項 $a_n$

• 初項を $a$、公差を $d$ とすると

  $$a_n = a + (n-1)d$$

等差中項

• 数列 $a, b, c$ が等差数列 $\iff 2b = a + c$

等差数列の和
初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$

• ① 初項 $a$、第 $n$ 項（末項）$l$ に対して

  $$S_n = \frac{1}{2}n(a+l)$$

• ② 初項 $a$、公差 $d$ に対して

  $$S_n = \frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}$$

自然数の和、正の奇数の和

• $1+2+3+\cdots+n = \dfrac{1}{2}n(n+1) \quad$
• $1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2 \quad$

# 等比数列の一般項と和

一般項 $a_n$

• 初項を $a$、公比を $r$ とすると

  $$a_n = ar^{n-1}$$

等比中項

• 数列 $a, b, c$ が等比数列 $\iff b^2 = ac$

等比数列の和
初項 $a$、公比 $r$ とする。初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

• ① $r \neq 1$ のとき

  $$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

• ② $r = 1$ のとき

  $$S_n = na$$

# 和の記号 $\Sigma$、$\Sigma$ の性質

和の記号 $\Sigma$

$$\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$

$\Sigma$ の性質
$p, q$ は $k$ に無関係な定数とする。

• $\displaystyle\sum_{k=1}^n (pa_k + qb_k) = p\sum_{k=1}^n a_k + q\sum_{k=1}^n b_k$

数列の和の公式
$c, r$ は $k$ に無関係な定数。

• $\displaystyle\sum_{k=1}^n c = nc \quad \text{特に} \quad \sum_{k=1}^n 1 = n \quad$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) \quad$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \quad$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \quad$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1) \quad$

# いろいろな数列

階差数列
数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とする：$b_n = a_{n+1} - a_n \quad$

• $n \ge 2$ のとき

  $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

和 $S_n$ と一般項
$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ のとき

• $a_1 = S_1 \quad$
• $a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2) \quad$

分数の数列の和
部分分数に分解して途中を消す。

• $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ などの変形を利用。

# 漸化式の変形、数学的帰納法

漸化式の変形

• 隣接 2 項間 $a_{n+1} = pa_n + q \quad (p \neq 1) \quad$
  $\alpha = p\alpha + q$ を満たす $\alpha$ に対して

  $$a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$$

• 隣接 3 項間 $pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0 \quad$
  $px^2 + qx + r = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると

  $$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$$

数学的帰納法
自然数 $n$ に関する命題 $P$ が、すべての自然数 $n$ について成り立つことを示す手順は

• [1] $n=1$ のとき $P$ が成り立つことを示す。
• [2] $n=k$ のとき $P$ が成り立つと仮定して、$n=k+1$ のとき $P$ が成り立つことを示す。

# 統計的な推測

# 確率分布

確率変数 $X$ は次の表のような分布に従うとする。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

• $p_k = P(X = x_k) \quad (k=1, 2, \cdots, n) \quad$
• $p_1 \ge 0, p_2 \ge 0, \cdots, p_n \ge 0 \quad$
• $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1 \quad$

# 期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$

• $E(X) = m = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k p_k \quad$
• $V(X) = E((X - m)^2) = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \cdots + (x_n - m)^2 p_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (x_k - m)^2 p_k \quad$
• $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 \quad$
• $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \quad$

# 確率変数の変換

$X$ は確率変数、$a, b$ は定数とする。
$Y = aX + b$ のとき

• $E(Y) = aE(X) + b \quad$
• $V(Y) = a^2 V(X) \quad$
• $\sigma(Y) = |a|\sigma(X) \quad$

# 確率変数の和と積

$X, Y$ は確率変数、$a, b$ は定数とする。

• $E(X + Y) = E(X) + E(Y) \quad$
• $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) \quad$

$X$ と $Y$ が互いに独立ならば

• $E(XY) = E(X)E(Y) \quad$
• $V(X + Y) = V(X) + V(Y) \quad$
• $V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) \quad$

# 二項分布

二項分布 $B(n, p)$

• $P(X = r) = {}_nC_r p^r q^{n-r}$ で与えられる分布
  （$q = 1 - p ; \ r = 0, 1, 2, \cdots, n$）。

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき

• 平均 $E(X) = np \quad$
• 分散 $V(X) = npq \quad$
• 標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{npq} \quad (q = 1 - p) \quad$

# 連続型確率変数とその分布

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x) \quad (\alpha \le x \le \beta)$ について
性質 常に $f(x) \ge 0$,

• $\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)dx = 1, \quad P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad$

期待値

• $\displaystyle E(X) = m = \int_\alpha^\beta x f(x)dx \quad$

分散

• $\displaystyle V(X) = \int_\alpha^\beta (x - m)^2 f(x)dx \quad$

標準偏差

• $\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \quad$

# 正規分布

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき

• 期待値 $E(X) = m$, 標準偏差 $\sigma(X) = \sigma \quad$

標準化

• 確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$\displaystyle Z = \frac{X - m}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

二項分布の正規分布による近似

• 二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ は、$n$ が大きいとき、近似的に正規分布 $N(np, np(1-p))$ に従う。

# 母集団と標本

標本平均 \overline

• 変量 $x$ に関する母集団から大きさ $n$ の無作為標本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ を抽出するとき

  $$\overline{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$$

標本平均の期待値・標準偏差

• 母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出するとき、標本平均 $\overline{X}$ の期待値 $E(\overline{X})$、標準偏差 $\sigma(\overline{X})$ は

  $$E(\overline{X}) = m, \quad \sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

標本比率

• 母比率を $p$、大きさ $n$ の無作為標本の標本比率を $R$ とすると、標本比率の期待値 $E(R)$、標準偏差 $\sigma(R)$ は

  $$E(R) = p, \quad \sigma(R) = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$$

# 標本平均の分布

• 母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出するとき、標本平均 $\overline{X}$ は、$n$ が大きいとき、近似的に正規分布 $N\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ に従う。

# 推定

母平均の推定

• 標本の大きさ $n$ が大きいとき、母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間は

  $$\left[ \overline{X} - 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \ \overline{X} + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$

  （信頼度 $99\%$ なら $1.96$ を $2.58$ とする。）

母比率の推定

• 標本比率を $R$ とする。標本の大きさ $n$ が大きいとき、母比率 $p$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間は

  $$\left[ R - 1.96\sqrt{\frac{R(1 - R)}{n}}, \ R + 1.96\sqrt{\frac{R(1 - R)}{n}} \right]$$

  （信頼度 $99\%$ なら $1.96$ を $2.58$ とする。）

# 仮説検定

仮説検定の手順

• ① 事象が起こった状況や原因を推測し、仮説を立てる。
• ② 有意水準 $\alpha$ を定め、仮説に基づいて棄却域を求める。
• ③ 標本から得られた確率変数の値が棄却域に入れば仮説を棄却し、棄却域に入らなければ仮説を棄却しない。