# 平面上のベクトル

# ベクトルの平行、分解

ベクトルの平行条件（$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ のとき）

• $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ がある

ベクトルの分解
$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}, \vec{a} \nparallel \vec{b}$ のとき、任意のベクトル $\vec{p}$ は、実数 $s, t$ を用いてただ $1$ 通りに

• $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形に表される。

# ベクトルの相等、大きさ

$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$ とする。
相等

• $\vec{a} = \vec{b} \iff a_1 = b_1,\ a_2 = b_2$

大きさ

• |\vec{a}| = \sqrt

# 点の座標とベクトルの成分

$A=(a_1, a_2), B=(b_1, b_2)$ のとき

• $\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)$
• |\overrightarrow{AB}| = \sqrt

# 内積の定義、内積と成分

$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ とする。
内積の定義
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) とすると

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

内積と成分
$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$
• また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると $\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$

垂直条件
$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \neq \vec{0}$ とする。

• $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a_1b_1 + a_2b_2 = 0$

# 位置ベクトルと共線条件

分点の位置ベクトル
2 点 $A=(\vec{a}), B=(\vec{b})$ に対して、線分 $AB$ を $m : n$ に分ける点の位置ベクトル $\vec{p}$。

• 内分 …… \vec p = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}
• 外分 …… \vec p = \dfrac{-n\vec{a} + m\vec{b}}

共線条件
2 点 $A, B$ が異なるとき

• 点 $P$ が直線 $AB$ 上にある $\iff \overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ がある

# ベクトル方程式

直線のベクトル方程式
$s, t$ を実数とする。

• 点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{d} (\neq \vec{0})$ に平行な直線のベクトル方程式

$$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$$

• 異なる 2 点 $A(\vec{a}), B(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式

$$\vec{p} = (1 - t)\vec{a} + t\vec{b} ,\quad \text{ または } \quad \vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} \quad (s + t = 1)$$

内積による直線のベクトル方程式

• 点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{n} (\neq \vec{0})$ に垂直な直線のベクトル方程式

$$\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$$

平面上の点の存在範囲
$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ のとき、点 $P$ の存在範囲は

• 直線 $AB \iff s + t = 1$
• 線分 $AB \iff s + t = 1, \ s \ge 0, \ t \ge 0$
• $\triangle OAB$ の周と内部 $\iff 0 \le s + t \le 1, \ s \ge 0, \ t \ge 0$
• 平行四辺形 $OACB$ の周と内部 $\iff 0 \le s \le 1, \ 0 \le t \le 1$

円のベクトル方程式
中心 $C(\vec{c})$、半径 $r$ の円のベクトル方程式

$$|\vec{p} - \vec{c}| = r$$

ベクトルの応用

• 点 $P$ が直線 $AB$ 上にある $\iff \overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}, \ s + t = 1$ となる実数 $s, t$ がある。

# 空間のベクトル

# ベクトルの演算、相等、大きさ

ベクトルの分解
同じ平面上にない 4 点 $O, A, B, C$ に対して $\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とすると、

• 任意のベクトル $\vec{p}$ は実数 $s, t, u$ を用いてただ 1 通りに $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ の形に表される。

相等、大きさ
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ とする。

• $\vec{a} = \vec{b} \iff a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3$
• |\vec{a}| = \sqrt

$\overrightarrow{AB}$ の成分と大きさ
$A(a_1, a_2, a_3), B(b_1, b_2, b_3)$ のとき

• $\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)$
• |\overrightarrow{AB}| = \sqrt

# ベクトルの内積

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ のとき

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

# ベクトルの応用

同じ平面上にある条件
$s, t, u$ を実数とする。点 $P(\vec{p})$ が 3 点 $A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})$ の定める平面上にある

• \iff \overrightarrow{CP} = s\overrightarrow{CA} + t\overrightarrow
• $\iff \vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}, \ s + t + u = 1$

球面の方程式

• 点 $(a, b, c)$ を中心とする、半径 $r$ の球面

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$$

• 特に、原点を中心とする、半径 $r$ の球面

$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$

• 一般形，ただし $A^2 + B^2 + C^2 - 4D \gt 0$

$$x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$$

• 中心が $C(\vec{c})$、半径が $r$ の球面のベクトル方程式

$$|\vec{p} - \vec{c}| = r$$

# (参考) 平面・直線の方程式

平面の方程式

• 点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{n} (\neq \vec{0})$ に垂直な平面のベクトル方程式

$$\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$$

• $A(x_1, y_1, z_1), \vec{n} = (a, b, c)$ のとき、平面の方程式

$$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$$

• 平面の方程式の一般形

$$ax + by + cz + d = 0$$

直線の方程式
$t$ を実数とする。

• 点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{d} (\neq \vec{0})$ に平行な直線のベクトル方程式

$$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$$

• $A(x_1, y_1, z_1), \vec{d} = (l, m, n)$ のとき、直線の方程式

$$x = x_1 + lt, \ y = y_1 + mt, \ z = z_1 + nt$$

• $A(x_1, y_1, z_1), \vec{d} = (l, m, n)$ のとき、直線の方程式（別）

$$\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} \quad (lmn \neq 0)$$

# 複素数平面

# 複素数平面

絶対値

• $z = a + bi$ に対し |z| = \sqrt

絶対値の性質
$z, \alpha, \beta$ は複素数とする。

• $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z| = |-z| = |\bar{z}|$
• $z\bar{z} = |z|^2$
• $|\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$
• $\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} \quad (\beta \neq 0)$
• $2$ 点 $\alpha, \beta$ 間の距離 $|\beta - \alpha|$

# 複素数の極形式

複素数平面上で、$O(0), P(z), z = a + bi \ (z \neq 0)$、$OP = r$、$OP$ と実軸の正の部分とのなす角が $\theta$ のとき

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \quad (r \gt 0)$$

複素数の乗法、除法
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1), z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ とする。

• 複素数 $z_1, z_2$ の乗法
  • z_1z_2 = r_1r_2\
  • $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$
  • $\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$
• 複素数 $z_1, z_2$ の除法（$z_2 \neq 0$ とする）
  • \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\
  • \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}
  • $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2$

複素数の乗法と回転
$r \gt 0$ とする。点 $r(\cos\theta + i\sin\theta)z$ は、点 $P$ を原点を中心として角 $\theta$ だけ回転し、原点からの距離を $r$ 倍した点である。

# ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理
$n$ が整数のとき

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

$1$ の $n$ 乗根
1 の $n$ 乗根は $n$ 個あり、それらを $z_k \ (k = 0, 1, 2, \cdots, n-1)$ とすると

$$z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}$$

$n \ge 3$ のとき、点 $z_k \ (k = 0, 1, 2, \cdots, n-1)$ は点 $1$ を $1$ つの頂点として、単位円に内接する正 $n$ 角形の頂点である。

# 複素数と図形

点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma), D(\delta)$ は互いに異なる点とする。

線分 $AB$ の内分点、外分点

• $m:n$ に内分する点 \dfrac{n\alpha + m\beta}
• 中点 \dfrac{\alpha + \beta}
• $m:n$ に外分する点 \dfrac{-n\alpha + m\beta}

方程式の表す図形

• $|z - \alpha| = r \quad (r \gt 0)$ は、中心 $A$、半径 $r$ の円
• $n|z - \alpha| = m|z - \beta| \quad (n \gt 0, m \gt 0)$ は
  • $m = n$ なら線分 $AB$ の垂直二等分線
  • $m \neq n$ なら線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）

なす角、平行・垂直などの条件

• \angle \beta\alpha\gamma = \arg\dfrac{\gamma - \alpha}
• 3 点 $A, B, C$ が一直線上にある $\iff \dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数
• $AB \perp AC \iff \dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が純虚数
• $\dfrac{\delta - \gamma}{\beta - \alpha}$ が
  • 実数 $\iff AB \parallel CD$
  • 純虚数 $\iff AB \perp CD$

# 式と曲線

# 2 次曲線

放物線 $y^2 = 4px \ (p \neq 0)$ ［標準形］

• 頂点は原点。
• 焦点は $F(p, 0)$、準線は直線 $x = -p$
• 軸は $x$ 軸。曲線は軸に関して対称。
• 曲線上の任意の点と焦点・準線との距離は等しい。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a \gt b \gt 0)$ ［標準形］

• 中心は原点、長軸の長さは $2a$、短軸の長さは $2b$
• 焦点は F(c, 0), F'(-c, 0) \quad c = \sqrt
• 曲線は $x$ 軸、$y$ 軸、原点に関して対称。
• 曲線上の任意の点 $P$ について $PF + PF' = 2a$

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a \gt 0, b \gt 0)$ ［標準形］

• 中心は原点。
• 曲線は $x$ 軸、$y$ 軸、原点に関して対称。
• 焦点は F(c, 0), F'(-c, 0) \quad c = \sqrt
• 漸近線は 直線 $\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b} = 0, \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 0$
• 曲線上の任意の点 $P$ について $|PF - PF'| = 2a$

$2$ 次曲線の接線
曲線上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は

• 放物線 $y^2 = 4px \implies y_1y = 2p(x + x_1)$
• 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \implies \dfrac{x_1x}{a^2} + \dfrac{y_1y}{b^2} = 1$
• 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \implies \dfrac{x_1x}{a^2} - \dfrac{y_1y}{b^2} = 1$

離心率 $e$ と準線 $\ell$
定点 $F$ と、$F$ を通らない定直線 $\ell$ からの距離の比が $e:1$ である点の軌跡は

• $0 \lt e \lt 1$ のとき $F$ を焦点の 1 つとする楕円
• $e = 1$ のとき $F$ を焦点、$\ell$ を準線とする放物線
• $e \gt 1$ のとき $F$ を焦点の 1 つとする双曲線

# 媒介変数表示

曲線の媒介変数表示（$a \gt 0, b \gt 0$ とする。）

• 円 $x^2 + y^2 = a^2 \implies x = a\cos\theta, y = a\sin\theta$
• 放物線 $y^2 = 4px \implies x = pt^2, y = 2pt$
• 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \implies x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$
• 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \implies x = \dfrac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta$
• サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta), y = a(1 - \cos\theta)$

# 極座標と極方程式

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係

• $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$
• r = \sqrt
• $r \neq 0$ のとき \cos\theta = \frac{x}{r}, \sin\theta = \frac{y}

極方程式
[$r \lt 0$ も考える。すなわち、$r \gt 0$ のときの点 $(-r, \theta)$ は、点 $(r, \theta + \pi)$ と同じ点を表す。]

• 円
  • 中心が極、半径 $a \implies r = a$
  • 中心 $(a, 0)$、半径 $a \implies r = 2a\cos\theta$
  • 中心 $(r_0, \theta_0)$、半径 $a \implies r^2 - 2rr_0\cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2$
• 直線
  • 極を通り、始線と $\alpha$ の角をなす $\implies \theta = \alpha$
  • 点 $A(a, \alpha)$ を通り、$OA$（$O$ は極）に垂直 $\implies r\cos(\theta - \alpha) = a \ (a \gt 0)$
• 2 次曲線
  • 焦点を極とすると $\implies r(1 + e\cos\theta) = l \ (l \gt 0)$
  • $0 \lt e \lt 1$ のとき楕円、$e = 1$ のとき放物線、$1 \lt e$ のとき双曲線 となる。

# 関数

# 分数関数・無理関数

分数関数 y = \dfrac{ax+b}

• $y = \dfrac{k}{x-p} + q$ の形に変形する。
• 漸近線が 2 直線 $x = p, y = q$ の直角双曲線。
• $y = \dfrac{k}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフ。
• 向こうに $p = -\dfrac{b}{a}$ だけ平行移動したグラフ。

無理関数 y = \sqrt

• $y = \sqrt{a(x-p)}$ の形に変形する。
• 軸が $x$ 軸、頂点が原点の放物線 $y^2 = ax$ の $y \ge 0$ の部分である $y = \sqrt{ax}$ のグラフを、$x$ 軸方向に $p = -\dfrac{b}{a}$ だけ平行移動したグラフ。

# 逆関数・合成関数

逆関数

• $y = f(x) \iff x = g(y)$ のとき $g(x) = f^{-1}(x)$
• $y = f(x)$ と $y = f^{-1}(x)$ のグラフは、直線 $y = x$ に関して対称。
• $f(x)$ の定義域［値域］$= f^{-1}(x)$ の値域［定義域］
• 分数関数 $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ が逆関数をもつ条件は $ad - bc \neq 0$

合成関数

• $(g \circ f)(x) = g(f(x))$
• $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ は、一般には一致しない。

# 極限

# 数列の極限

数列の極限

• 収束 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$（極限値）
• 発散 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty, \quad \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$
• 数列は振動する（極限がない）

無限等比数列の極限
$n \to \infty$ のとき $\{r^n\}$ の極限は

• $r \gt 1$ のとき $r^n \to \infty$ 発散する
• $r = 1$ のとき $r^n \to 1$ 収束する
• $|r| \lt 1$ のとき $r^n \to 0$ 収束する
• $r \le -1$ のとき 数列は振動する（極限はない）

# 無限級数

無限級数の収束・発散

• $\sum a_n$ が収束 $\implies \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
• $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \implies \sum a_n$ は発散

無限等比級数 $\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1} \quad (a \neq 0)$

• $|r| \lt 1$ のとき 収束して、和は \dfrac{a}
• $|r| \ge 1$ のとき 発散する

# 関数の極限

関数の極限

• $x \to a$ のとき $f(x) \to \alpha \quad \left(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \alpha\right)$
• 1 つの有限な値（極限値） $\alpha$ に近づく $\implies$ 極限がある
• 関数の極限 $\infty$（正の無限大に発散）、$-\infty$（負の無限大に発散）、極限はない
• 関数の極限値 $\pm \infty$ も極限値とはいわない。

左側極限、右側極限

• 右側極限 $\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x) \quad [x \gt a \text{ で } x \to a]$
• 左側極限 $\displaystyle\lim_{x \to a-0} f(x) \quad [x \lt a \text{ で } x \to a]$
• 特に $a = 0$ なら $\displaystyle\lim_{x \to +0} f(x), \displaystyle\lim_{x \to -0} f(x)$ と表す。

極限に関する性質
$x \to a$ のとき $f(x) \to \alpha, \ g(x) \to \beta$ ならば

• $f(x)g(x) \to \alpha\beta, \quad \dfrac{f(x)}{g(x)} \to \dfrac{\alpha}{\beta} \ (\beta \neq 0)$
• はさみうちの原理 $f(x) \le h(x) \le g(x), \ \alpha = \beta$ ならば $h(x) \to \alpha$
• [$x \to a$ を $x \to \infty, x \to -\infty$ としても、上で示した性質は成立する。]

三角関数の極限（角の単位は弧度法）

• $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$

# 関数の連続・不連続

関数 $f(x)$ が

• $x = a$ で連続とは極限値 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在して $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
• $x = a$ で不連続とは、次のいずれかの場合をいう。
  • 極限値 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在しない。
  • 極限値 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在して $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

中間値の定理

• 関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で $f(a) \neq f(b)$ ならば、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して $f(c) = k$ を満たす実数 $c$ が、$a$ と $b$ の間に少なくとも $1$ つある。

# 微分法

# 微分法の基本

微分係数

• f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}

微分可能と連続

• $f(x)$ が $x=a$ で微分可能なら連続である。ただし、逆 (連続なら微分可能) は成立しない。

導関数の定義

• f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}

導関数の公式
$u, v$ は $x$ の関数で微分可能とするとき。

• $(uv)' = u'v + uv'$
• \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}
• 特に \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}
• $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ ($\alpha$ は実数で $x \gt 0$)

# 三角、指数、対数関数の導関数

三角関数の導関数

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• (\tan x)' = \dfrac{1}

指数・対数関数の導関数
$a \gt 0, a \neq 1$ とする。

• $(e^x)' = e^x$
• $(a^x)' = a^x \log a$
• (\log |x|)' = \dfrac{1}
• (\log_a |x|)' = \dfrac{1}

対数微分法

• $y = f(x)$ の両辺の絶対値の自然対数をとって、両辺を微分する。

$$Example: \quad y = x^x \implies \log y = x\log x \implies \frac{y'}{y} = \log x + 1 \implies y' = x^x(\log x + 1)$$

$e$ の定義

• $\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e \quad (e = 2.71828\cdots)$

# 微分法の応用

# 接線と法線

接線と法線の方程式
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(a, f(a))$ における

• 接線の方程式は $y - f(a) = f'(a)(x - a)$
• 法線の方程式は $f'(a) \neq 0$ のとき $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$

# 平均値の定理

ロルの定理

• 関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続、区間 $(a, b)$ で微分可能で、$f(a) = f(b)$ ならば $f'(c) = 0, a \lt c \lt b$ を満たす実数 $c$ が存在する。

平均値の定理

• 関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続、区間 $(a, b)$ で微分可能ならば $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c), a \lt c \lt b$ を満たす実数 $c$ が存在する。

# 関数の増減と極値

関数の増減
関数 $f(x)$ が、区間 $[a, b]$ で連続、区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき

• 常に $f'(x) \gt 0$ なら区間 $[a, b]$ で単調に増加
• 常に $f'(x) \lt 0$ なら区間 $[a, b]$ で単調に減少
• 常に $f'(x) = 0$ なら区間 $[a, b]$ で定数

関数の極大・極小

• $x=a$ を含む十分小さい開区間において
  • $x \neq a$ なら $f(x) \lt f(a)$ のとき $f(x)$ は $x=a$ で極大といい、$f(a)$ を極大値という。
  • $x \neq a$ なら $f(x) \gt f(a)$ のとき $f(x)$ は $x=a$ で極小といい、$f(a)$ を極小値という。
• 極大値と極小値をまとめて、極値という。
• $f(x)$ が $x=a$ で微分可能で $f(a)$ が極値をとる $\implies f'(a) = 0$ (逆は不成立)

極値と第 2 次導関数
$x=a$ を含むある区間で $f''(x)$ は連続とする。

• $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) \lt 0$ なら $f(a)$ は極大値
• $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) \gt 0$ なら $f(a)$ は極小値

曲線の凹凸・変曲点
曲線 $y = f(x)$ の凹凸・変曲点

• ある区間で $f''(x) \gt 0$ ならば、その区間で下に凸
• ある区間で $f''(x) \lt 0$ ならば、その区間で上に凸
• 変曲点 凹凸が変わる曲線上の点のこと。
• 点 $(a, f(a))$ が曲線 $y = f(x)$ の変曲点ならば $f''(a) = 0$

# 方程式・不等式への応用

方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解の個数

• $y = f(x)$ のグラフと $y = g(x)$ のグラフの共有点の個数を調べる。

不等式 $f(x) \gt g(x)$ の証明

• $F(x) = f(x) - g(x)$ として、$F(x)$ の最小値 $m$ を求め、$m \gt 0$ を示す。

# 速度・加速度、近似式

平面上の運動の速度・加速度

• 平面上を点 $P$ が曲線を描いて運動し、時刻 $t$ のときの位置 (座標) が $x = f(t), y = g(t)$ で与えられるとき、速度 $\boldsymbol{v}$、加速度 $\boldsymbol{\alpha}$ は $\boldsymbol{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right), \quad \boldsymbol{\alpha} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$
• また、速さ $|\boldsymbol{v}|$、加速度 $\boldsymbol{\alpha}$ の大きさ $|\boldsymbol{\alpha}|$ は、順に $\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}, \quad \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}$

1 次の近似式

• $|h|$ が十分小さいとき $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$
• $|x|$ が十分小さいとき $f(x) \approx f(0) + f'(0)x$

# 積分法

# 不定積分

基本的な関数の不定積分 $C$ は積分定数とする。

• $\displaystyle\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \text{ は実数、} \alpha \neq -1)$
• $\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \log|x| + C$
• $\displaystyle\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\displaystyle\int \cos x dx = \sin x + C$
• $\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$
• $\displaystyle\int e^x dx = e^x + C$
• $\displaystyle\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C \quad (a \gt 0, a \neq 1)$

置換積分法
$C$ は積分定数とする。

• $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du, \quad g(x) = u$
• $\displaystyle\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$
• $\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| + C$
• $\displaystyle\int \{f(x)\}^\alpha f'(x)dx = \frac{\{f(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)$

部分積分法

• $\displaystyle\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
• 特に $\displaystyle\int f(x)dx = xf(x) - \int xf'(x)dx$

# 定積分

定積分の置換積分法

• $x = g(t), a = g(\alpha), b = g(\beta)$ のとき $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt$

定積分の部分積分法

• $\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)dx = \left[f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx$

偶関数・奇関数の定積分

• 偶関数のとき $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$
• 奇関数のとき $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)dx = 0$

定積分で表された関数
$a, b$ は定数とする。

• $\displaystyle\int_a^x f(t)dt$ は $x$ に無関係で、$x$ の関数である。
• $\displaystyle\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$
• $\displaystyle\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$

定積分と和の極限 (区分求積法)
$f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続で、この区間を $n$ 等分して両端と分点を $a = x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n = b$ とし、$\frac{b-a}{n} = \Delta x$ とおくと

• $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\Delta x$
• 特に $a = 0, b = 1$ とすると
  • $\displaystyle\int_0^1 f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$

# 積分法の応用

# 面積、体積、曲線の長さ

面積 $x = g(y)$ と $y$ 軸の間の面積

• 曲線 $x = g(y)$ と $y$ 軸と 2 直線 $y = c, y = d \ (c \lt d)$ で囲まれた部分の面積 $S = \displaystyle\int_c^d |g(y)|dy$
• $x = f(t), y = g(t)$ で表される曲線と面積 $S = \displaystyle\int_a^b y dx = \int_\alpha^\beta g(t)f'(t)dt$ ただし、常に $y \ge 0, a = f(\alpha), b = f(\beta)$

立体の体積

• 切り口の面積が $S(x)$ の立体の体積は、$a \lt b$ のとき $V = \displaystyle\int_a^b S(x)dx$

回転体の体積

• 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸と 2 直線 $x = a, x = b \ (a \lt b)$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 $V = \displaystyle\pi\int_a^b \{f(x)\}^2 dx = \pi\int_a^b y^2 dx$

曲線の長さ

• 曲線 $x = f(t), y = g(t) \ (\alpha \le t \le \beta)$ の長さは $\displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$
• 曲線 $y = f(x) \ (a \le x \le b)$ の長さは $\displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx = \displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$

# 発展事項（微分方程式）

簡単な微分方程式と一般解

• 変数分離形 $f(y)\dfrac{dy}{dx} = g(x)$ に変形できるときは、両辺を $x$ で積分する。 $\int f(y)dy = \int g(x)dx$
• $\dfrac{dy}{dx} = ky$ の一般解は $y = Ce^{kx} \ (C \text{ は任意定数})$