# 集合

元素 $a$ 属于集合 $A$ ，记作 $a \in A$
元素 $a$ 不属于集合 $A$ ，记作 $a \not\in A$

交并定义

$$\begin{aligned} A \cup B &= \{ x \mid x \in A \lor x \in B \} \\ A \cap B &= \{ x \mid x \in A \land x \in B \} \end{aligned}$$

交并计算

$$\begin{aligned} A \cup ( B \cap C ) &= ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \\ A \cap ( B \cup C ) &= ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) \end{aligned}$$

若任意 $x \in A$ 都有 $x \in B$，则 $A \subset B$
若 $A \subset B$ 且 ${}^\exists y \in B: y \not\in A$，则 $A \subsetneq B$

集合等号的定义：

$$A = B \iff ( A \subset B ) \land ( B \subset A )$$

空集 $\varnothing, \phi, \emptyset$ 是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集

含有 $n$ 个元素的集合具有 $2^n$ 个子集，以及 $2^n - 1$ 个真子集，以及 $2^n - 2$ 个非空真子集

交并计算与空集的性质

$$\begin{aligned} A \cup A &= A, \qquad A \cap A = A \\ A \cup \emptyset &= A, \qquad A \cap \emptyset = \emptyset \end{aligned}$$

全集 $U$ 下的补集定义

$$A^c = U - A = U \setminus A = \{ x \mid x \in U \land x \not\in A \}$$

补集的性质

$$\begin{aligned} (A \cap B)^c &= A^c \cup B^c \\ (A \cup B)^c &= A^c \cap B^c \\ (A^c)^c &= A \end{aligned}$$

基础数系

• 自然数集 \mathbb N = \
• 整数集 \mathbb Z = \
• 有理数集 $\mathbb Q = \left\{ \dfrac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb Z, b \neq 0 \right\}$
• 实数集 $\mathbb R$：包含所有有理数与无理数
• 复数集 \mathbb C = \

# 数列

通项公式与前 $n$ 项和 $S_n$ 的关系

$$a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \gt 1 \end{cases}$$

等差数列：公差 $d$ 下满足 $a_{n+1} - a_n = d$

• 通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$
• 等差中项：$a_n = \dfrac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2} \quad$
• 前 $n$ 项和：$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2} \quad$

等比数列：公比 $q$ 下满足 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$

• 通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \quad$
• 等比中项：$a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} \quad$
• 前 $n$ 项和：$S_n = a_1 \dfrac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)$

常见级数求和公式

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \left[ \dfrac{n(n+1)}{2} \right]^2 \end{aligned}$$

# 基本初等函数

指数

• $n \in \mathbb N, n \geq 2: (\sqrt[n]{a})^n = a$
• $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & n \gt 1 \text{ 为奇数} \\ |a|, & n \gt 0 \text{ 为偶数} \end{cases} \quad$
• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m},\quad a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \quad$
• $r,s \in \mathbb Q, a \gt 0: a^r \cdot a^s = a^{r+s},\quad \dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad (a^r)^s = a^{rs} \quad \quad$

对数

• $\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0$
• 底数 $10$ 的常用对数记作 $\lg x$，底数 $e$ 的自然对数记作 $\ln x$
• 令 $M,N \gt 0$，则
  • $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$
  • $\log_a \left( \dfrac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N$
  • $\log_a M^N = N \log_a M$
• 恒等式 $a^{\log_a x} = x$
• 换底公式：$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \quad$

# 三角函数

弧度制换算

$$1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \mathrm{rad}, \quad 1 \mathrm{rad} = \dfrac{180}{\pi}^\circ$$

较为常用的弧度

$$\frac{\pi}{6} = 30^\circ, \quad \frac{\pi}{4} = 45^\circ, \quad \frac{\pi}{3} = 60^\circ, \quad \frac{\pi}{2} = 90^\circ, \quad \pi = 180^\circ, \quad 2\pi = 360^\circ$$

扇形的弧长与面积，其中 $\theta$ 为弧度，$r$ 为半径

• 弧长 $l = r \theta$
• 面积 $S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta$

三角函数基本恒等式

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

诱导公式

• $\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x$
• $\sin(\pi - x) = \sin x, \quad \cos(\pi - x) = -\cos x$
• $\sin(\pi + x) = -\sin x, \quad \cos(\pi + x) = -\cos x$
• $\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \pm x \right) = \cos x, \quad \cos\left( \dfrac{\pi}{2} \pm x \right) = \mp \sin x$

# 三角恒等变换

和差公式

$$\begin{aligned} \sin (A \pm B) &= \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \cos (A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\ \tan (A \pm B) &= \dfrac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \end{aligned}$$

二倍角公式

$$\begin{aligned} \sin 2A &= 2 \sin A \cos A \\ \cos 2A &= \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A \\ \tan 2A &= \dfrac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} \end{aligned}$$

三倍角公式

$$\begin{aligned} \sin 3A &= 3 \sin A - 4 \sin^3 A \\ \cos 3A &= 4 \cos^3 A - 3 \cos A \\ \tan 3A &= \dfrac{3 \tan A - \tan^3 A}{1 - 3 \tan^2 A} \end{aligned}$$

半角公式

$$\begin{aligned} \sin \dfrac{A}{2} &= \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos A}{2}} \\ \cos \dfrac{A}{2} &= \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos A}{2}} \\ \tan \dfrac{A}{2} &= \dfrac{\sin A}{1 + \cos A} = \dfrac{1 - \cos A}{\sin A} \end{aligned}$$

积化和差

$$\begin{aligned} \sin A \sin B &= \dfrac{1}{2} [ \cos (A - B) - \cos (A + B) ] \\ \cos A \cos B &= \dfrac{1}{2} [ \cos (A - B) + \cos (A + B) ] \\ \sin A \cos B &= \dfrac{1}{2} [ \sin (A + B) + \sin (A - B) ] \end{aligned}$$

和差化积

$$\begin{aligned} \sin A \pm \sin B &= 2 \sin \dfrac{A \pm B}{2} \cos \dfrac{A \mp B}{2} \\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \dfrac{A + B}{2} \cos \dfrac{A - B}{2} \\ \cos A - \cos B &= -2 \sin \dfrac{A + B}{2} \sin \dfrac{A - B}{2} \end{aligned}$$

辅助角公式

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( x + \varphi ),\quad \tan \varphi = \dfrac{b}{a}$$

# 解三角形

正弦定理，其中 $R$ 为三角形外接圆半径

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

余弦定理

$$\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\ a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \end{aligned}$$

三角形面积公式

• $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C = \dfrac{1}{2} ac \sin B = \dfrac{1}{2} bc \sin A$
• $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ 为半周长
• $S = \dfrac{abc}{4R}$，其中 $R$ 为三角形外接圆半径
• $S = 2 r p$，其中 $r$ 为三角形内切圆半径，$p$ 为半周长

# 不等式

基础不等式关系

• $a \gt b \iff b \lt a$
• $a \gt b, b \gt c \implies a \gt c$
• $a \gt b \implies a + c \gt b + c$
• $a \gt b, c \gt 0 \implies ac \gt bc$
• $a \gt b \gt 0 \implies n \geq 2: a^n \gt b^n$
• $a \gt b \gt 0 \implies n \geq 2: \sqrt[n]{a} \gt \sqrt[n]{b} \quad$

重要不等式

• 完全平方 $a^2 + b^2 \geq 2ab$，等号成立当且仅当 $a = b$
• 基本不等式 $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a = b$
• $\dfrac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$，等号成立当且仅当 $a = b$
• $4ab \leq (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$，等号成立当且仅当 $a = b$
• $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$，等号成立当且仅当 $a = b = c$
• $\left| \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \right| \geq 2$，等号成立当且仅当 $a = b \neq 0$

# 立体几何

空间几何体的侧面积

• 正棱柱 $S = Ch$，其中 $C$ 为底面周长，$h$ 为高
• 正棱锥 $S = \dfrac{1}{2} Ch$，其中 $C$ 为底面周长，$h$ 为高
• 圆柱 $S = 2 \pi r h$，其中 $r$ 为底面半径，$h$ 为高
• 圆锥 $S = \pi r l$，其中 $r$ 为底面半径，$l$ 为母线长
• 圆台柱 $S = (r_1 + r_2) \pi l$，其中 $r_1, r_2$ 分别为上下底面半径，$l$ 为母线长

空间几何体表面积

• 圆柱 $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
• 圆锥 $S = \pi r l + \pi r^2$
• 圆台 $S = (r_1 + r_2) \pi l + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$
• 球 $S = 4 \pi r^2$

空间几何体体积

• 柱体 $V = B h$，其中 $B$ 为底面积，$h$ 为高
• 锥体 $V = \dfrac{1}{3} B h$，其中 $B$ 为底面积，$h$ 为高
• 台体 $V = \dfrac{1}{3} h (B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$，其中 $B_1, B_2$ 分别为上下底面积，$h$ 为高
• 圆柱 $V = \pi r^2 h$，其中 $r$ 为底面半径，$h$ 为高
• 圆锥 $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$，其中 $r$ 为底面半径，$h$ 为高
• 圆台 $V = \dfrac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$，其中 $r_1, r_2$ 分别为上下底面半径，$h$ 为高
• 球 $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

# 直线，圆与方程

直线方程

• 点斜式：$y - y_1 = k(x - x_1)$
• 斜截式：$y = kx + b$
• 两点式：$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} \quad$
• 截距式：$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
• 一般式：$Ax + By + C = 0$

过点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 的直线斜率：$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad$

• 两直线平行的判定：$k_1 = k_2$
• 两直线垂直的判定：$k_1 \cdot k_2 = -1$

距离

• 两点间距离：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \quad$
• 点到直线的距离：$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \quad$
• 两平行直线间的距离：$d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \quad$

圆

• 标准式：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 为圆心，$r$ 为半径
• 一般式：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中圆心 $( -\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2} )$，半径 $r = \sqrt{\left( \dfrac{D}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{E}{2} \right)^2 - F}$

直线与圆的位置关系判定：求圆心到直线的距离 $d$，并与半径 $r$ 比较

• $d \gt r$：相离
• $d = r$：相切
• $d \lt r$：相交

过圆上一点 $(x_0, y_0)$ 的切线方程：$(x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = r^2$

# 圆锥曲线

椭圆

• 标准式：$\dfrac{(x - a)^2}{a^2} + \dfrac{(y - b)^2}{b^2} = 1$，其中 $(a, b)$ 为椭圆中心，$a \gt b \gt 0$
• 焦点坐标：$(a c, b), (-a c, b)$，其中 $c = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$
• 离心率：$e = c = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$

双曲线

• 标准式：$\dfrac{(x - a)^2}{a^2} - \dfrac{(y - b)^2}{b^2} = 1$，其中 $(a, b)$ 为双曲线中心，$a, b \gt 0$
• 焦点坐标：$(a c, b), (-a c, b)$，其中 $c = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}$
• 离心率：$e = c = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}$
• 渐近线方程：$y - b = \pm \dfrac{b}{a} (x - a)$

抛物线

• 标准式：$(y - b)^2 = 4p (x - a)$，其中 $(a, b)$ 为抛物线顶点，$p \neq 0$
• 焦点坐标：$(a + p, b)$
• 准线方程：$x = a - p$
• 焦准距：$e = 1$

# 导数表

# 复数

复平面上数的表示：
对于复数 $z \in \mathbb C$，可以表示为

$$z = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R}$$

• 实部：$\mathrm{Re}(z) = x$
• 虚部：$\mathrm{Im}(z) = y$。
• 模长：$|z|^2 = \mathrm{Re}^2(z) + \mathrm{Im}^2(z)$。
• 偏角：$\theta$，其中 $\theta$ 满足 \cos \theta = \dfrac{x}{|z|}, \quad \sin \theta = \dfrac{y}
• 共轭：$\overline{z} = x - iy$

利用模长和偏角极坐标表示，取

• 半径 $r = |z|$
• 角度 $\theta \in \arg z$

则复数可以表示为

$$z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

在极坐标表示下的复数乘除法可以更方便的写为模长，偏角的计算
令 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$，则

• z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^
• \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \dfrac{r_1}{r_2} e^

再改写为三角函数的形式，可以得到

• $z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]$
• $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$

总结

• 复数乘法：模长相乘，偏角相加
• 复数除法：模长相除，偏角相减

De Moivre 定理：$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$