# 环

定义
令 $R$ 为非空集合
于 $R$ 上定义两个运算：

加法 $+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b$
乘法 $*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab$

若 $R$ 对加法，乘法封闭，且满足：

R1 $R$ $R$ 对加法构成交换群，即
- G1 加法满足结合律： $(a + b) + c = a + (b + c)$
- G2 存在加法单位元 $0$ ，使得 ${}^\forall a \in R,\ a + 0 = 0 + a = a$
- G3 对任意 $a \in R$ ，存在加法逆元 $-a$ ，使得 $a + (-a) = (-a) + a = 0$
- G4 加法满足交换律： $a + b = b + a$
R2 $R$ $R$ 对乘法满足结合律
- $(ab)c = a(bc)$
R3 $R$ $R$ 对加法和乘法满足分配律
- $a(b + c) = ab + ac ,\ (b + c)a = ba + ca$
R4 $R$ $R$ 具有乘法单位元 $e$ $e$
- ${}^\forall a \in R,\ ae = ea = a$

则称 $R$ 为 环 (Ring)「環」

简单来说，环是在交换群的基础上，引入一个不要求可逆的新运算，并使两个运算可以分配

注意，环上定义的两个运算虽然称作加法和乘法，但是并不一定是一般意义下的实数加法和乘法。例如可以是矩阵乘法，或者映射积（复合），或者直和等等。

环的定义目前是具备争议的，并没有完全统一。有一部分观点认为环的定义不需要乘法的单位元，这种环也有被叫做伪环。
为避免混淆，本笔记规定环具备乘法单位元。

通常将加法的单位元记作 $0$ ，并称为 零元 (Zero element)「零元」，乘法单位元记作 $1$ 。

对于 $R$ 上的元 $a$ ，谈论其逆元的时候，只有加法逆元具有普遍性，加法逆元记作 $-a$ ，乘法逆元不一定存在（一般情况下 $a^{-1}$ 不具备意义）。

R2 和 R4 两条可以合并为对乘法构成 幺半群 (Monoid)「モノイド」

$R$ 上的有限个的和，积可以按一般的形式定义

$a_1 + \cdots +a_n = \sum_{i=1}^n a_i ,\quad a_1 \cdots a_n = \prod_{i=1}^n a_i$

但是注意积的顺序并不能默认可以交换（因为没有要求乘法满足交换律）。
乘法满足交换律时，称 $R$ 为 交换环 (Commutative Ring)「可換環」

示例

$\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ 对一般的加法，乘法构成交换环。
映射 $f:[0,1] \to \mathbb R$ 全体构成的集合对函数加法，函数积构成交换环。
令 $R$ 为任意环， $S$ 为非空集，映射 $f:S \to R$ 全体构成的集合 $M(S,R)$ 对函数加法和函数积构成环。
加法群 $G$ 的自同构映射全体构成的集合 $\mathrm{End}(G)$ 对函数加法和函数积构成环。并称为自同构环。
$n$ 阶方阵全体 $M_n(R)$ 对矩阵加法和矩阵乘法构成环，称为矩阵环，零元为零矩阵 $O$ ，单位元为单位矩阵 $E_n$ ，即使 $R$ 是交换环， $M_n(R)$ 也不一定是交换环。
取一个环 $R$ ，定义集合 $\{x \in R \mid x^2 = x\}$ ，即所有幂等元构成的集合，对一般的加法和乘法构成交换环，称为幂等环或 Boole 环。

以下示例比较重要，并且在后续章节也会频繁使用

示例

整数 $\mathbb Z$ 对一般的加法乘法构成交换环，称为有理整数环。有理指的是通常意义下的整数（ $1,2,3,\cdots$ ），整数论中常常会探究比较抽象的，更加广义的 "整数"。
$R[x] := \{a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \mid a_1,\cdots,a_n \in R, n \in \mathbb N\}$ 构成一个环，称为以 $R$ 为系数域的多项式环，零元为 $0$ ，单位元为 $1_R$

一般地，环具有以下性质

命题
令 $R$ 为环， ${}^\forall a,b,c \in R:$

$0a = a0 = 0$
$(-1)a = -a$
$(-a)b = -(ab)$
$(-1)^2 = 1$
若 $a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_n$ 为 $R$ 上的元，则 $(a_1 + \cdots + a_m)(b_1 + \cdots b_n) = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n a_i b_j$

证明

(1)

$0a = (0+0)a = 0a + 0a \implies 0a = 0$

(2)

$(-1)a + a = (-1 + 1)a = 0 \implies (-1)a = -a$

(3)

$(-a)b + ab = (-a + a)b = 0 \implies (-a)b = -(ab)$

(4)

$(-1)^2 + 1 = (-1 + 1)(-1) = 0 \implies (-1)^2 = 1$

(5)
用数学归纳法证明
令 $m=1$ ，先对 $n$ 归纳
当 $n=1$ 时，显然成立
假设 $n=k$ 时成立，则 $n=k+1$ 时

$(a_1)(b_1 + \cdots + b_k + b_{k+1}) = (a_1)(b_1 + \cdots + b_k) + (a_1)b_{k+1} = \sum_{j=1}^k a_1 b_j + a_1 b_{k+1} = \sum_{j=1}^{k+1} a_1 b_j$

所以对任意 $n$ 成立
再对 $m$ 归纳
当 $m=1$ 时，显然成立
假设 $m=k$ 时成立，则 $m=k+1$ 时

$\begin{aligned} (a_1 + \cdots + a_{k+1})(b_1 + \cdots + b_n) &= (a_1 + \cdots + a_k)(b_1 + \cdots + b_n) + (a_{k+1})(b_1 + \cdots + b_n) \\ &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n a_i b_j + \sum_{j=1}^n a_{k+1} b_j \\ &= \sum_{i=1}^{k+1} \sum_{j=1}^n a_i b_j \end{aligned}$

$\square$

与子群类似的，如果环 $R$ 的子集 $J$ 成为环且对原运算封闭，则称 $J$ 为 子环 (Subring)「部分環」
实际上验证加法子群 $J \subset R$ 为子环只需要验证：

$1_R \in J$
$J$ 对乘法封闭

示例

$\mathbb Z$ 是 $\mathbb Q$ 的子环。
$2\mathbb Z$ 虽然是 $\mathbb Z$ 的加法子群，但是不构成子环（没有单位元 1）。

两个子环的交集和直积仍然是环

命题
令 $R$ 为环， $R_1,R_2 \subset R$ 为 $R$ 的子环，则

$R_1 \cap R_2$ 为 $R$ 的子环
$R_1 \times R_2 := \{(a,b) \mid a \in R_1, b \in R_2\}$ 对逐点加法和逐点乘法构成环

证明

(1)
依照子群性质， $R_1 \cap R_2$ 成为加法子群
$1_R \in R_1 \cap R_2$ ，并且对任意 $a,b \in R_1 \cap R_2$ ，有 $ab \in R_1, ab \in R_2$ ，所以 $ab \in R_1 \cap R_2$ ，所以 $R_1 \cap R_2$ 为 $R$ 的子环

(2)
$(1_{R_1},1_{R_2})$ 成为单位元，并且对任意 $(a,b),(c,d) \in R_1 \times R_2$ ，有 $(a,b)(c,d) = (ac,bd) \in R_1 \times R_2$ ，所以 $R_1 \times R_2$ 对乘法封闭，所以 $R_1 \times R_2$ 为环
$\square$

二项式展开依赖于乘法 $ab = ba$ 的对称，所以在交换环中有二项定理的推广形式

命题 二项定理
令 $R$ 为交换环， $a,b \in R$ ，则对任意 $n \in \mathbb N$ 有

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k},\qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

证明

用数学归纳法证明
当 $n=1$ 时，显然成立
假设 $n=k$ 时成立，则 $n=k+1$ 时

$\begin{aligned} (a + b)^{k+1} &= (a + b)^k (a + b) \\ &= \left(\sum_{i=0}^k \binom{k}{i} a^i b^{k-i}\right)(a + b) \\ &= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} a^{i+1} b^{k-i} + \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} a^i b^{k-i+1} \\ &= a^{k+1} + \sum_{i=1}^k \left(\binom{k}{i} + \binom{k}{i-1}\right) a^i b^{k+1-i} + b^{k+1} \\ &= \sum_{i=0}^{k+1} \binom{k+1}{i} a^i b^{k+1-i} \end{aligned}$

$\square$

# 整环

环中具有两个关键的运算的单位元，通常来说其写作 $0$ 和 $1$
但是请不要混淆：这并非一定是整数 $0$ 和 $1$ ，而是环 $R$ 中的加法单位元和乘法单位元，分别记作 $0_R$ 和 $1_R$
所以，这两个单位元是确实存在有一致的可能性的
如果环中两个运算的单位元一致，即 $1=0$ ，那么由于

$\forall a \in R:\ a = 1a = 0a = 0$

所以这个环中只有 $0$ 一个元，称为 零环 (Zero Ring)「零環」

$1 = 0$ 看起来是荒谬的等式，但是在环中这是真实可成立的，实际上严格来说应该写为 $1_R = 0_R$

零环不具备任何可以研究的意义，所以接下来考虑的环一律默认非零环。

环中有两类元比较特殊：单位和零因子

单位简单来说即为可逆元，可以理解为 “拥有较好性质”

如果一个元 $a \in R$ 具备乘法逆元，那么 $a^{-1}$ 具备意义，并且称其为 单位 (Unit)「単元」

$R$ 的单位全体构成的集合记作 $R^\times$ ，其对乘法构成群

示例

$\mathbb Z^\times = \{ 1, -1 \} \quad$
$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times = \{ a + n\mathbb Z \mid 1 \leq a < n,\ \gcd(a,n) = 1 \} \quad$

另一边，零因子可以理解为 “性质较差”
它就像一个不稳定的因素，可能会导致乘法黑洞

在通常的环中，两个非 $0$ 的元 $a,b$ 的积也可能是 $0$ ，称这样的 $a, b$ 为 零因子 (Zero Divisor)「零因子」。利用零因子可以定义：

称 $R$ 为 整环 (Integral Domain)「整域」，当且仅当环 $R$ 中不存在零因子，且为交换环

整环是环论中非常重要的一类环，尤其是在交换代数中讨论的对象几乎全是整环

注：

Domain 单指没有零因子的环，并不要求交换律
Integral Domain 强调交换律

Integral 源于对整数（Integers, $\mathbb Z$ ）性质的抽象和推广，体现在它保留了整数环 $\mathbb{Z}$ 最核心的代数 “操守”—— 没有零因子。正因为没有零因子，整环才允许我们做类似整数的 “消去” 操作
$ab = ac \quad (\text{且 } a \neq 0) \implies b = c$

示例

有理整数环 $\mathbb Z$ 是整环。
映射 $f:[0,1] \to \mathbb R$ 全体构成的交换环并非整环。例如可以这样获得零因子 $f,g$ ：

$f(t) = \begin{cases} 0 & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ 1 & (\frac{1}{2} < t \leq 1) \end{cases}, \quad g(t) = \begin{cases} 1 & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ 0 & (\frac{1}{2} < t \leq 1) \end{cases}$

非零加法群 $A$ 的自同态环 $\mathrm{End}(A)$ 的单位其实就是 $A$ 的自同构（映射），其全体构成的乘法群无非就是自同构群 $\mathrm{Aut}(A)$

# 域

如果一个环 $R$ 内所有非 $0$ 的元都是单位，则称这个环为 除环 (Division Ring)「斜体」
语义理解为在这个环上的乘法可以定义除法，所以是除环，或者说和域的性质已经非常接近了。即：

$R \text{ 为除环} \iff R \setminus \{0\} = R^\times$

如果其进一步满足乘法交换律，则称为 域 (Field)「体」

示例

$\mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$ 都是域。
有理整数环 $\mathbb Z$ 不是域（单位仅 $1,-1$ ）。
多项式环 $R[x]$ 不是域。

注意明确

整环的关键性质是没有零因子，并且可交换
域的关键性质是所有非零元都是单位（可逆），并且可交换

再次重申：没有零因子等于可以应用消去律，这意味着一种 “稳定” 的乘法结构。在有限的整环中，单射可以等价于满射，所以这种稳定性进一步保证了每个非零元都能找到一个乘法逆元，从而形成域。

命题

任意的域都是整环
有限的整环为域

证明

(1)
在域 $F$ 下，由于所有非零元都对乘法构成交换群，所以只要 $a \neq 0, b \neq 0$ ，则一定 $ab \neq 0$ ，成为整环

(2)
设有限整环 $R$ ，任取 $a \in R \setminus \{0\}$ ，考虑映射 $f:R \to R, f(x) = ax$
假设 $ax = ay$ ，移项 $a(x-y) = 0$ ，由整环的性质可得 $x=y$ ，所以 $f$ 是单射
由于 $R$ 有限，单射必为满射
这意味着一定存在一个元 $x \in R$ 使得 $ax = 1$
由于 $a$ 是任意选取的非零元，所以 $R$ 中所有非零元都是单位，成为域
$\square$

同样的，如果域的子集成为域，则称为 子域 (Subfield)「部分体」

示例

$\mathbb Q$ 是 $\mathbb R$ 的子域。
$\mathbb R$ 是 $\mathbb C$ 的子域。

# 多项式环

接下来让我们讨论一类非常核心的环：多项式环
多项式本身并不陌生，但是至今为止并没有研究过多项式全体构成的集合上的各种结构。
通过研究多项式环，我们可以知道不同的系数会对内部的结构产生怎样的影响

最基本的，多项式环需要系数是一个交换环。以下令 $R$ 为交换环
令 $P := \{ f:\mathbb N \cup \{0\} \to R \}$

$P$ 中的元实为非负整数系数到环 $R$ 中元的映射，所以其可以被当作数列处理
对于 $f \in P,\ n \in \mathbb N \cup \{0\}$ 令 $f(n) = a_n \in R$ ，则

$f = (a_0, a_1, a_2, \ldots)$

以下验证 $P$ 成为交换环。对于 $f,g \in P$ 的数列表示
由 $R$ 的封闭性可得

加法 $f + g = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots) \in P$
乘法 $fg = (c_0, c_1, c_2, \ldots) \in P$ ，其中卷积 $c_n = \sum\limits_{i=0}^n a_i b_{n-i} \quad$
加法零元 $0 = (0,0,0,\ldots) \in P$
乘法单位元 $1 = (1_R,0,0,\ldots) \in P$
标量乘法 $r \in R,\ rf = (r a_0, r a_1, r a_2, \ldots) \in P$

所以 $P$ 成为交换环

通过定义一系列特殊的元

$x = (0,1_R,0,0,\ldots) \in P$
$x^2 = (0,0,1_R,0,0,\ldots) \in P$
$x^n = (0,0,\ldots,0,1_R,0,\ldots) \in P$ ，其中 $1_R$ 在第 $n$ +1 位

所以可以将 $f$ 写成多项式形式

$f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

此时称 $P$ 为 $R$ 上的 形式幂级数环 (Formal Power Series Ring)「形式的べき級数環」，记作 $P = R[[x]]$

对于形式幂级数环 $P = R[[x]]$ ，通过对其项数的限制，让其控制在有限项数内，可以得到多项式环的定义

定义
称 $P$ 上的子环

$R[x] := \{ f \in P \mid {}^\exists n \in \mathbb Z_{\geq 0},\ {}^\forall N > n : a_N = 0 \}$

为 $R$ 上的 多项式环 (Polynomial Ring)「多項式環」

多项式环中的多项式在高次项上系数均为零，即项数有限

零元为常数多项式 $f = 0$
单位元为常数多项式 $f = 1$

接下来讨论多项式环中的元，取

$f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \in R[x],\quad a_n \neq 0$

称满足 $a_n \neq 0$ 的最小的 $n$ 为多项式的 次数 (Degree)「次数」，记作 $\deg(f) = n$
同时，称 $a_n$ 为 $f$ 的 最高次系数 (Leading Coefficient)「最高次係数」，记作 $l_c(f) = a_n$
当 $l_c(f) = 1$ 时，称 $f$ 为 首一多项式 (Monic)「モニック」

此处针对符号记法和概念 $P,\ R[[x]], R[x]$ 作补充说明

这一章节对多项式的处理，实际上是将多项式看作一个映射，由变量 $x$ 映射到多项式
“变量” 这一说法实际上并不准确，但是便于理解

接着通过锁定自然数到环的映射 $f:\mathbb N \to R$ ，确定系数：

$f(n) = a_n \in R$

此时多项式得以转为映射，所有可能的映射构成的集合即为 $P$

反过来，如果直接将 $P$ 中的映射作为多项式处理，那么其成为形式幂级数环 $R[[x]]$
特别地，在有限项数下成为多项式环 $R[x]$

$P$ 本身在数学中还有其他重要应用，不只是在此处为了导出多项式环
但是在本课程中，大概是没有机会真正意义上使用这个记号了

多项式环的定义本身只需要考虑在交换环上，但是对多项式环的性质讨论往往建立在整环上。

在整环上，多项式的次数具有以下基本性质

命题
令 $R$ 为整环，非零元 $f,g \in R[x]$

$\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)$
$\deg(f+g) \leq \max(\deg(f),\deg(g))$

证明

令 $a_n = l_c(f), b_m = l_c(g)$

(1)
在 $fg$ 中比 $m+n$ 次数还要大的所有项的系数均为零，且 $m+n$ 次数的系数为 $a_n b_m$
假设 $a_n b_m = 0$ ，整环性质给出 $a_n = 0$ 或 $b_m = 0$ ，与定义矛盾
所以 $l_c(fg) = a_n b_m,\ \deg(fg) = m+n$

(2)

$l_c(f+g) = \begin{cases} a_n & (n > m) \\ b_m & (n < m) \\ a_n + b_m & (n = m, a_n + b_m \neq 0) \\ 0 & (n = m, a_n + b_m = 0) \end{cases}$

所以 $\deg(f+g) \leq \max(\deg(f),\deg(g))$
$\square$

多项式环可以继承整环性质，这是后续研究的基本

命题

$R \text{ 为整环} \implies R[x] \text{ 为整环}$

证明

令 $f,g \in R[x]$ ， $fg = 0$ ，此时

$\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g) = -\infty$

所以 $\deg(f) = -\infty$ 或 $\deg(g) = -\infty$ ，即 $f = 0$ 或 $g = 0$
$\square$

# 四元数环

Hamilton 四元数 (Hamilton Quaternion)「四元数」指代的一般是 $1, i, j, k$ 四个基元，并且其平方满足：

$i^2 = j^2 = k^2 = -1$

相互乘积关系，注意其乘积不可交换

$ij = k, jk = i, ki = j\\ ji = -k, kj = -i, ik = -j$

乘法表如下：

$\begin{array}{c|cccccccc} & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ -1 & -1 & 1 & -i & i & -j & j & -k & k \\ i & i & -i & -1 & 1 & k & -k & -j & j \\ -i & -i & i & 1 & -1 & -k & k & j & -j \\ j & j & -j & -k & k & -1 & 1 & i & -i \\ -j & -j & j & k & -k & 1 & -1 & -i & i \\ k & k & -k & j & -j & -i & i & -1 & 1 \\ -k & -k & k & -j & j & i & -i & 1 & -1 \\ \end{array}$

在这样的计算性质下，可以用基元来生成一些代数结构

由四元数生成的群叫做 四元数群 (Quaternion Group)「四元数群」
记作 $Q_8$ ，一共八个元

$Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$

其单位元是 $1$ ，每个元的逆元是其相反数

可以逐个分析元的阶

$1$ 的阶为 $1$
$-1$ 的阶为 $2$
$i, -i, j, -j, k, -k$ 的阶均为 $4$

以及群的性质

中心 $Z(Q_8) = \{1, -1\} \quad$
共轭类 $\{1\}, \{-1\}, \{i, -i\}, \{j, -j\}, \{k, -k\} \quad$

并且 $Q_8$ 是最小的 Hamilton 群（每个子群都正规的非阿贝尔群）

接下来如果从环 $R$ 里面向 $Q_8$ 中添加元，并添加加法运算，使其封闭
就可以构成 四元数环 (Quaternion Ring)「四元数环」
记作 $\mathbb H$

$\mathbb H = \{a + bi + cj + dk \mid a,b,c,d \in \mathbb R\}$

此时 $\mathbb H$ 实际上成为了一个四维向量空间的代数结构
其基底为 $\{1, i, j, k\} \quad$

加法和乘法定义如下
加法（各个分量各自相加）

$(a + bi + cj + dk) + (a' + b'i + c'j + d'k) = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k$

乘法（用分配律计算）

$(a + bi + cj + dk)(a' + b'i + c'j + d'k) = (aa' - bb' - cc' - dd') + (ab' + a'b + cd' - dc')i + (ac' + a'c + db' - bd')j + (ad' + a'd + bc' - cb')k$

实际上和复数空间上的计算定义是完全一样的，所以可以看作是复数空间的扩展

$\mathbb H$ 的每个元都有其逆元，所以构成除环。来试着实际找一下乘法逆元

给定四元数 $q = a + b i + c j + d k$ ，设其逆元为 $q^{-1} = a' + b' i + c' j + d' k$ ，根据逆元的运算
$qq^{-1} = (a+bi+cj+dk)(a'+b'i+c'j+d'k) = 1$ ，整理对比系数

实部： $a a' - b b' - c c' - d d'$
$i$ 系数： $a b' + a' b + c d' - d c'$
$j$ 系数： $a c' + a' c + d b' - b d'$
$k$ 系数： $a d' + a' d + b c' - c b'$

于是得到线性方程组：

$\begin{cases} a a' - b b' - c c' - d d' = 1 \\ b a' + a b' - d c' + c d' = 0 \\ c a' + d b' + a c' - b d' = 0 \\ d a' - c b' + b c' + a d' = 0 \end{cases}$

构造增广矩阵并化简：

$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d & 1 \\ b & a & -d & c & 0 \\ c & d & a & -b & 0 \\ d & -c & b & a & 0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{a}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\dfrac{b}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\dfrac{c}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{d}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \end{pmatrix}$

由此可得一般的乘法逆元为（反方向乘法直接代入计算即可验证）

$q^{-1} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}(a - bi - cj - dk),\quad \square$

但是与四元数群一样，四元数环的乘法也是不可交换的，所以它构成除环但不是交换环
这决定了它不是域

四元数环是 Hurwitz 定理中给出的四种有限维实数除环之一：

实数域 $\mathbb R$
复数域 $\mathbb C$
四元数环 $\mathbb H$
八元数环 $\mathbb O$ （不可结合代数）

在几何，物理，计算机图形学等领域中，常用 $\mathbb H$ 来表示旋转（替代旋转矩阵）

简要介绍一下 Hurwitz 定理（不予证明）：

定理 Hurwitz 定理
若 $A$ 是一个附带范数的有限维实数除代数
并且存在一个良好性质的范数 $N$ ，使得对任意 $x, y \in A$ 都有

$N(xy) = N(x)N(y)$

那么 $A$ 必然同构于 $\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H$ 或 $\mathbb O$ 之一

# 环

# 整环

# 域

# 多项式环

# 四元数环

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【抽象代数】理想与商环