Home 数学 抽象代数

# 环

# 环的定义

定义
令 RR 为非空集合
于 RR 上定义两个运算：

  • 加法 +:R×R→R,(a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b
  • 乘法 ∗:R×R→R,(a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab

若 RR 对加法，乘法封闭，且满足：

  • R1 RR 对加法构成交换群，即
    • G1 加法满足结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)
    • G2 存在加法单位元 00，使得 ∀a∈R,a+0=0+a=a\forall a \in R,\ a + 0 = 0 + a = a
    • G3 对任意 a∈Ra \in R，存在加法逆元 −a-a，使得 a+(−a)=(−a)+a=0a + (-a) = (-a) + a = 0
    • G4 加法满足交换律：a+b=b+aa + b = b + a
  • R2 RR 对乘法满足结合律
    • (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)
  • R3 RR 对加法和乘法满足分配律
    • a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+caa(b + c) = ab + ac ,\ (b + c)a = ba + ca
  • R4 RR 具有乘法单位元 ee
    • ∀a∈R,ae=ea=a\forall a \in R,\ ae = ea = a

则称 RR 为 环 (Ring)「環」

简单来说，环是在 交换群的基础上，引入一个不要求可逆的新运算，并使两个运算可以分配

注意，环上定义的两个运算虽然称作加法和乘法，但是并不一定是一般意义下的实数加法和乘法。例如可以是矩阵乘法，或者映射积（复合），或者直和等等。

环的定义目前是具备争议的，并没有完全统一。有一部分观点认为环的定义不需要乘法的单位元，这种环也有被叫做伪环。
为避免混淆，此处规定 环具备乘法单位元。

通常将加法的单位元记作 00，并称为 零元 (Zero element)「零元」，乘法单位元记作 11。

对于 RR 上的元 aa，谈论其逆元的时候，只有加法逆元具有普遍性，加法逆元记作 −a-a，乘法逆元不一定存在（一般情况下 a−1a^{-1} 不具备意义）。

R2 和 R4 两条可以合并为对乘法构成 幺半群 (Monoid)「モノイド」

RR 上的有限个的和，积可以按一般的形式定义

a1+⋯+an=∑i=1nai,a1⋯an=∏i=1naia_1 + \cdots +a_n = \sum_{i=1}^n a_i ,\quad a_1 \cdots a_n = \prod_{i=1}^n a_i

但是注意 积的顺序并不能默认可以交换（因为没有要求乘法满足交换律）。
乘法满足交换律时，称 RR 为 交换环 (Commutative Ring)「可換環」

示例

  • 例 1 整数 Z\mathbb Z 对一般的加法乘法构成交换环，称为 有理整数环。有理指的是通常意义下的整数（1,2,3,⋯1,2,3,\cdots），整数论中常常会探究比较抽象的，更加广义的 "整数"。
  • 例 2 Q,R,C\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C 对一般的加法，乘法构成交换环。
  • 例 3 映射 f:[0,1]→Rf:[0,1] \to \mathbb R 全体构成的集合对函数加法，函数积构成交换环。
  • 例 4 令 RR 为任意环，SS 为非空集，映射 f:S→Rf:S \to R 全体构成的集合 M(S,R)M(S,R) 对函数加法和函数积构成环。
  • 例 5 加法群 GG 的自同构映射全体构成的集合 End(G)End(G) 对函数加法和函数积构成环。并称为 自同构环。
  • 例 6 R[x]:={a0+a1x+⋯+anxn∣a1,⋯,an∈R,n∈N}R[x] := \{a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \mid a_1,\cdots,a_n \in R, n \in \mathbb N\} 构成一个环，称为以 RR 为系数域的 多项式环，零元为 00，单位元为 1R1_R
  • 例 7 nn 阶方阵全体 Mn(R)M_n(R) 对矩阵加法和矩阵乘法构成环，称为 矩阵环，零元为零矩阵 OO，单位元为单位矩阵 EnE_n，即使 RR 是交换环，Mn(R)M_n(R) 也不是交换环。

# 环的性质

命题
∀a,b,c∈R:\forall a,b,c \in R:

  • 0a=a0=00a = a0 = 0
  • (−1)a=−a(-1)a = -a
  • (−a)b=−(ab)(-a)b = -(ab)
  • (−1)2=1(-1)^2 = 1
  • 若 a1,⋯,am,b1,⋯,bna_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_n 为 RR 上的元，则

(a1+⋯+am)(b1+⋯bn)=∑i=1m∑j=1naibj(a_1 + \cdots + a_m)(b_1 + \cdots b_n) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j

证明

(1) 0a=(0+0)a=0a+0a⇒0a=00a = (0+0)a = 0a + 0a \Rightarrow 0a = 0
(2) (−1)a+a=(−1+1)a=0⇒(−1)a=−a(-1)a + a = (-1 + 1)a = 0 \Rightarrow (-1)a = -a
(3) (−a)b+ab=(−a+a)b=0⇒(−a)b=−(ab)(-a)b + ab = (-a + a)b = 0 \Rightarrow (-a)b = -(ab)
(4) (−1)2+1=(−1+1)(−1)=0⇒(−1)2=1(-1)^2 + 1 = (-1 + 1)(-1) = 0 \Rightarrow (-1)^2 = 1
(5) 用数学归纳法证明
令 m=1m=1，先对 nn 归纳
当 n=1n=1 时，显然成立
假设 n=kn=k 时成立，则 n=k+1n=k+1 时

(a1)(b1+⋯+bk+bk+1)=(a1)(b1+⋯+bk)+(a1)bk+1=∑j=1ka1bj+a1bk+1=∑j=1k+1a1bj(a_1)(b_1 + \cdots + b_k + b_{k+1}) = (a_1)(b_1 + \cdots + b_k) + (a_1)b_{k+1} = \sum_{j=1}^k a_1 b_j + a_1 b_{k+1} = \sum_{j=1}^{k+1} a_1 b_j

所以对任意 nn 成立
再对 mm 归纳
当 m=1m=1 时，显然成立
假设 m=km=k 时成立，则 m=k+1m=k+1 时

(a1+⋯+ak+1)(b1+⋯+bn)=(a1+⋯+ak)(b1+⋯+bn)+(ak+1)(b1+⋯+bn)=∑i=1k∑j=1naibj+∑j=1nak+1bj=∑i=1k+1∑j=1naibj\begin{aligned} (a_1 + \cdots + a_{k+1})(b_1 + \cdots + b_n) &= (a_1 + \cdots + a_k)(b_1 + \cdots + b_n) + (a_{k+1})(b_1 + \cdots + b_n) \\ &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n a_i b_j + \sum_{j=1}^n a_{k+1} b_j \\ &= \sum_{i=1}^{k+1} \sum_{j=1}^n a_i b_j \end{aligned}

与子群类似的，如果环 RR 的子集 JJ 成为环且对原运算封闭，则称 JJ 为 子环 (Subring)「部分環」
实际上验证加法子群 J⊂RJ \subset R 为子环只需要验证：

  • 1R∈J1_R \in J
  • JJ 对乘法封闭

示例

  • 例 1 Z\mathbb Z 是 Q\mathbb Q 的子环。
  • 例 2 2Z2\mathbb Z 虽然是 Z\mathbb Z 的加法子群，但是不构成子环（没有单位元 1）。

命题
令 RR 为环，R1,R2⊂RR_1,R_2 \subset R 为 RR 的子环，则

  • R1∩R2R_1 \cap R_2 为 RR 的子环
  • R1×R2:={(a,b)∣a∈R1,b∈R2}R_1 \times R_2 := \{(a,b) \mid a \in R_1, b \in R_2\} 对逐点加法和逐点乘法构成环
证明

(1)
依照子群性质，R1∩R2R_1 \cap R_2 成为加法子群
1R∈R1∩R21_R \in R_1 \cap R_2，并且对任意 a,b∈R1∩R2a,b \in R_1 \cap R_2，有 ab∈R1,ab∈R2ab \in R_1, ab \in R_2，所以 ab∈R1∩R2ab \in R_1 \cap R_2，所以 R1∩R2R_1 \cap R_2 为 RR 的子环

(2)
(1R1,1R2)(1_{R_1},1_{R_2}) 成为单位元，并且对任意 (a,b),(c,d)∈R1×R2(a,b),(c,d) \in R_1 \times R_2，有 (a,b)(c,d)=(ac,bd)∈R1×R2(a,b)(c,d) = (ac,bd) \in R_1 \times R_2，所以 R1×R2R_1 \times R_2 对乘法封闭，所以 R1×R2R_1 \times R_2 为环
□\square

# 整环

如果环中两个运算的单位元一致，即 1=01=0，那么由于
∀a∈R:a=1a=0a=0\forall a \in R:\ a = 1a = 0a = 0
所以这个环中只有 00 一个元，称为 零环 (Zero Ring)「零環」

1=01 = 0 看起来是荒谬的等式，但是在环中这是真实可成立的，实际上严格来说应该写为 1R=0R1_R = 0_R

零环不具备任何可以研究的意义，接下来考虑的环一律默认非零环。

环中有两类元比较特殊：单位和零因子

单位简单来说即为可逆元，可以理解为 “拥有较好性质”

如果一个元 a∈Ra \in R 具备乘法逆元，那么 a−1a^{-1} 具备意义，并且称其为 单位 (Unit)「単元」

RR 的单位全体构成的集合记作 R×R^\times，其对乘法构成群

示例

  • 例 1 Z×={1,−1}\mathbb Z^\times = \{ 1, -1 \} \quad
  • 例 2 (Z/nZ)×={x+mZ∣gcd⁡(x,m)=1}(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times = \{x + m\mathbb Z \mid \gcd(x,m) = 1\} \quad

另一边，零因子可以理解为 “性质较差”
它就像一个不稳定的因素，可能会导致乘法黑洞

在通常的环中，两个非 00 的元 a,ba,b 的积也可能是 00，称这样的 a,ba, b 为 零因子 (Zero Divisor)「零因子」
特别地

定义
若环 RR 中不存在零因子，则称 RR 为 整环 (Integral Domain)「整域」

注：Domain 单指没有零因子的环，并不要求交换律

示例

  • 例 1 有理整数环 Z\mathbb Z 是整环。
  • 例 2 映射 f:[0,1]→Rf:[0,1] \to \mathbb R 全体构成的交换环并非整环。例如可以这样获得零因子f,gf,g：

f(t)={0(0≤t≤12)1(12<t≤1),g(t)={1(0≤t≤12)0(12<t≤1)f(t) = \begin{cases} 0 & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ 1 & (\frac{1}{2} < t \leq 1) \end{cases}, \quad g(t) = \begin{cases} 1 & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ 0 & (\frac{1}{2} < t \leq 1) \end{cases}

  • 例 3 非零加法群 AA 的自同态环 End(A)End(A) 的单位其实就是 AA 的自同构（映射），其全体构成的乘法群无非就是自同构群 Aut(A)Aut(A)

# 域

研究单位和零因子，是将环强化到下一个阶段的关键

如果一个环 RR 内所有非 00 的元都是单位，则称这个环为 除环 (Division Ring)「斜体」
语义理解为在这个环上的乘法可以定义除法，所以是除环，或者说和域的性质已经非常接近了。即：

R为除环⟺R∖{0}=R×R \text{ 为除环} \iff R \setminus \{0\} = R^\times

如果其进一步满足 乘法交换律，则称为 域 (Field)「体」

示例

  • 例 1 Q⊂R⊂C\mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C 都是域。
  • 例 2 有理整数环 Z\mathbb Z 不是域（单位仅 1,−11,-1）。
  • 例 3 多项式环 R[x]R[x] 不是域。

注意明确

  • 整环的关键性质是没有零因子，并且可交换
  • 域的关键性质是所有非零元都是单位（可逆），并且可交换

二者通过以下命题产生关联

命题

  • 任意的域都是整环
  • 有限的整环为域
证明

(1)
在域 FF 下，由于所有非零元都对乘法构成交换群，所以只要 a≠0,b≠0a \neq 0, b \neq 0，则一定 ab≠0ab \neq 0，成为整环

(2)
设有限整环 RR，任取 a∈R∖{0}a \in R \setminus \{0\}，考虑映射 f:R→R,f(x)=axf:R \to R, f(x) = ax
假设 ax=ayax = ay，移项 a(x−y)=0a(x-y) = 0，由整环的性质可得 x=yx=y，所以 ff 是单射
由于 RR 有限，单射必为满射
这意味着一定存在一个元 x∈Rx \in R 使得 ax=1ax = 1
由于 aa 是任意选取的非零元，所以 RR 中所有非零元都是单位，成为域
□\square

同样的，如果域的子集成为域，则称为 子域 (Subfield)「部分体」

示例

  • 例 1 Q\mathbb Q 是 R\mathbb R 的子域。
  • 例 2 R\mathbb R 是 C\mathbb C 的子域。

# 四元数环

这是一个非常有意思的东西

Hamilton 四元数 (Hamilton Quaternion)「四元数」 指代的一般是 1,i,j,k1, i, j, k 四个基元，并且其平方满足：

i2=j2=k2=−1i^2 = j^2 = k^2 = -1

相互乘积关系，注意其乘积不可交换

ij=k,jk=i,ki=jji=−k,kj=−i,ik=−jij = k, jk = i, ki = j\\ ji = -k, kj = -i, ik = -j

乘法表如下：

1−1i−ij−jk−k11−1i−ij−jk−k−1−11−ii−jj−kkii−i−11k−k−jj−i−ii1−1−kkj−jjj−j−kk−11i−i−j−jjk−k1−1−iikk−kj−j−ii−11−k−kk−jji−i1−1\begin{array}{c|cccccccc} & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ \hline 1 & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k \\ -1 & -1 & 1 & -i & i & -j & j & -k & k \\ i & i & -i & -1 & 1 & k & -k & -j & j \\ -i & -i & i & 1 & -1 & -k & k & j & -j \\ j & j & -j & -k & k & -1 & 1 & i & -i \\ -j & -j & j & k & -k & 1 & -1 & -i & i \\ k & k & -k & j & -j & -i & i & -1 & 1 \\ -k & -k & k & -j & j & i & -i & 1 & -1 \\ \end{array}

在这样的计算性质下，可以用基元来生成一些代数结构

由四元数生成的群叫做 四元数群 (Quaternion Group)「四元数群」
记作 Q8Q_8，一共八个元

Q8={±1,±i,±j,±k}Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}

其单位元是 11，每个元的逆元是其相反数

可以逐个分析元的阶

  • 11 的阶为 11
  • −1-1 的阶为 22
  • i,−i,j,−j,k,−ki, -i, j, -j, k, -k 的阶均为 44

以及群的性质

  • 中心 Z(Q8)={1,−1}Z(Q_8) = \{1, -1\} \quad
  • 共轭类 {1},{−1},{i,−i},{j,−j},{k,−k}\{1\}, \{-1\}, \{i, -i\}, \{j, -j\}, \{k, -k\} \quad

并且 Q8Q_8 是最小的 Hamilton 群（每个子群都正规的非阿贝尔群）

接下来如果从环 RR 里面向 Q8Q_8 中添加元，并添加加法运算，使其封闭
就可以构成 四元数环 (Quaternion Ring)「四元数环」
记作 H\mathbb H

H={a+bi+cj+dk∣a,b,c,d∈R}\mathbb H = \{a + bi + cj + dk \mid a,b,c,d \in \mathbb R\}

此时 H\mathbb H 实际上成为了一个四维向量空间的代数结构
其基底为 {1,i,j,k}\{1, i, j, k\} \quad

加法和乘法定义如下
加法（各个分量各自相加）

(a+bi+cj+dk)+(a′+b′i+c′j+d′k)=(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j+(d+d′)k(a + bi + cj + dk) + (a' + b'i + c'j + d'k) = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k

乘法（用分配律计算）

(a+bi+cj+dk)(a′+b′i+c′j+d′k)=(aa′−bb′−cc′−dd′)+(ab′+a′b+cd′−dc′)i+(ac′+a′c+db′−bd′)j+(ad′+a′d+bc′−cb′)k(a + bi + cj + dk)(a' + b'i + c'j + d'k) = (aa' - bb' - cc' - dd') + (ab' + a'b + cd' - dc')i + (ac' + a'c + db' - bd')j + (ad' + a'd + bc' - cb')k

实际上和复数空间上的计算定义是完全一样的，所以可以看作是复数空间的扩展

H\mathbb H 的每个元都有其逆元，所以构成除环。来试着实际找一下乘法逆元

给定四元数 q=a+bi+cj+dkq = a + b i + c j + d k，设其逆元为 q−1=a′+b′i+c′j+d′kq^{-1} = a' + b' i + c' j + d' k，根据逆元的运算
qq−1=(a+bi+cj+dk)(a′+b′i+c′j+d′k)=1qq^{-1} = (a+bi+cj+dk)(a'+b'i+c'j+d'k) = 1，整理对比系数

  • 实部：aa′−bb′−cc′−dd′a a' - b b' - c c' - d d'
  • ii 系数：ab′+a′b+cd′−dc′a b' + a' b + c d' - d c'
  • jj 系数：ac′+a′c+db′−bd′a c' + a' c + d b' - b d'
  • kk 系数：ad′+a′d+bc′−cb′a d' + a' d + b c' - c b'

于是得到线性方程组：

{aa′−bb′−cc′−dd′=1ba′+ab′−dc′+cd′=0ca′+db′+ac′−bd′=0da′−cb′+bc′+ad′=0\begin{cases} a a' - b b' - c c' - d d' = 1 \\ b a' + a b' - d c' + c d' = 0 \\ c a' + d b' + a c' - b d' = 0 \\ d a' - c b' + b c' + a d' = 0 \end{cases}

构造增广矩阵并化简：

(a−b−c−d1ba−dc0cda−b0d−cba0)⟶(1000aa2+b2+c2+d20100−ba2+b2+c2+d20010−ca2+b2+c2+d20001−da2+b2+c2+d2)\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d & 1 \\ b & a & -d & c & 0 \\ c & d & a & -b & 0 \\ d & -c & b & a & 0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{a}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\dfrac{b}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\dfrac{c}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{d}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \end{pmatrix}

由此可得 一般的乘法逆元 为（反方向乘法直接代入计算即可验证）

q−1=1a2+b2+c2+d2(a−bi−cj−dk),□q^{-1} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}(a - bi - cj - dk),\quad \square

但是与四元数群一样，四元数环的乘法也是不可交换的，所以它构成除环但不是交换环
这决定了它 不是域

四元数环是 Hurwitz 定理中给出的四种有限维实数除环之一：

  • 实数域 R\mathbb R
  • 复数域 C\mathbb C
  • 四元数环 H\mathbb H
  • 八元数环 O\mathbb O（不可结合代数）

在几何，物理，计算机图形学等领域中，常用 H\mathbb H 来表示旋转（替代旋转矩阵）

简要介绍一下 Hurwitz 定理（不予证明）：

定理 Hurwitz 定理
若 AA 是一个附带范数的有限维实数除代数
并且存在一个良好性质的范数 NN，使得对任意 x,y∈Ax, y \in A 都有

N(xy)=N(x)N(y)N(xy) = N(x)N(y)

那么 AA 必然同构于 R,C,H\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H 或 O\mathbb O 之一