# 广义积分的定义

# 收敛性

# Gamma 函数 $\Gamma(t)$

对于实数 $t \gt 0$，定义

$$\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1} e^{-x} \, dx$$

称为 Gamma 函数，它是阶乘函数在实数域上的推广

Gamma 函数具有以下性质：

• 当 $t = n$ 为自然数时，有 $\Gamma(n) = (n-1)!$
• 满足递推关系 $\Gamma(t+1) = t \Gamma(t)$
• 在正整数点处有极点

此外，Gamma 函数还可以通过以下反演公式进行计算

$$\Gamma(t) \Gamma(1 - t) = \frac{\pi}{\sin \pi t},\quad t \notin \mathbb Z$$

通过递推关系可以得到

$$\Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2n)!}{4^n n!} \sqrt{\pi}$$

以及

$$\int_0^\infty x^{a-1} e^{-bx} \, dx = \frac{\Gamma(a)}{b^a},\quad a,b \gt 0$$

# Beta 函数 $B(x,y)$

对于实数 $x,y > 0$，定义

$$B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1 - t)^{y-1} \, dt$$

称为 Beta 函数，它与 Gamma 函数有密切关系
满足关系

$$B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

此外，Beta 函数还可以通过以下积分形式进行计算

$$B(x,y) = \int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} \, dt$$