对于实数 $a$ ，定义其 $\delta$ - 邻域 ( $\delta$ -Neighborhood)「 $\delta$ - 近傍」 为

$B(a, \delta) := \{x \in \mathbb R: |x - a| \lt \delta\}$

如果不强调范围，可以一般称为邻域

同时，定义去掉点 $a$ 本身的范围

$B^*(a, \delta) := B(a, \delta) \setminus \{a\}$

为其 $\delta$ - 去心邻域 ( $\delta$ -Punctured Neighborhood)「 $\delta$ - 除外近傍」

# 连续性

定义
令 $a \in \mathbb R$ ，函数 $f: I (\subset \mathbb R) \to \mathbb R$
称函数 $f$ 在点 $a$ 处 连续 (Continuous)「連続」，当且仅当

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon$

称函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续，当且仅当 $f$ 在 $I$ 上的每个点处连续。

可以用邻域重新表述连续性的定义

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ x \in B(a, \delta) \implies f(x) \in B(f(a), \varepsilon)$

命题
若函数 $f$ 在点 $a$ 处连续，则 $f$ 在 $a$ 的某个邻域内有界

证明

根据条件

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt 1$

因此，对于 $x \in B(a, \delta)$ ，有

$|f(x)| \leq |f(x) - f(a)| + |f(a)| \lt 1 + |f(a)|$

$\square$

命题 四则运算的连续性
设 $f,g$ 为定义在 $I \subset \mathbb R$ 上的函数，且在 $a \in I$ 处连续，则

$f + g$ 在 $a$ 处连续
$kf$ 在 $a$ 处连续，其中 $k \in \mathbb R$
$fg$ 在 $a$ 处连续
若 $\dfrac{1}{f(a)} \neq 0$ ，则 $\dfrac{1}{f}$ 在 $a$ 处连续

证明

各个小问的记号不共享

(1) 任取 $\varepsilon \gt 0$
根据条件

$\begin{cases} {}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon/2 \\ {}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |g(x) - g(a)| \lt \varepsilon/2 \end{cases}$

因此，定义

$\delta := \min\{\delta_1, \delta_2\} \gt 0$

则对于任意 $x \in I$ 满足 $|x - a| \lt \delta$ ，有

$\begin{aligned} |(f + g)(x) - (f + g)(a)| &= |(f(x) - f(a)) + (g(x) - g(a))| \\ &\leq |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| \\ &\lt \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \end{aligned}$

(2) 任取 $\varepsilon \gt 0$
根据条件

$\begin{cases} {}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon/|k| \\ {}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |g(x) - g(a)| \lt \varepsilon/|k| \end{cases}$

因此，定义

$\delta := \min\{\delta_1, \delta_2\} \gt 0$

则对于任意 $x \in I$ 满足 $|x - a| \lt \delta$ ，有

$\begin{aligned} |kf(x) - kf(a)| &= |k||f(x) - f(a)| \\ &\lt |k| \cdot \varepsilon/|k| = \varepsilon \end{aligned}$

(3) 任取 $\varepsilon \gt 0$
因为 $f,g$ 在 $a$ 处连续，所以各自存在一个邻域，使得函数有界。取其中较小的一个领域 $\delta_0$ ，则对任意 $x \in B(a, \delta_0)$ ，有

$|f(x)|,\ |g(x)| \leq M$

又根据函数的连续性，有

$\begin{cases} {}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon/(2M) \\ {}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |g(x) - g(a)| \lt \varepsilon/(2M) \end{cases}$

因此，定义

$\delta := \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\} \gt 0$

则对于任意满足 $|x - a| \lt \delta$ 的 $x \in I$ ，有

$\begin{aligned} |fg(x) - fg(a)| &= |f(x)g(x) - f(a)g(a)| \\ &= |f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a)| \\ &\leq |f(x) - f(a)||g(x)| + |f(a)||g(x) - g(a)| \\ &\lt M \cdot \varepsilon/(2M) + M \cdot \varepsilon/(2M) \\ &= \varepsilon \end{aligned}$

(4) 任取 $\varepsilon \gt 0$
因为 $f$ 在 $a$ 处连续，且 $\dfrac{1}{f(a)} \neq 0$ ，所以

${}^\exists \delta_0 \gt 0, m \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_0 \implies |f(x)| \geq m$

同时，根据函数的连续性，有

${}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt m^2 \varepsilon$

因此，定义

$\delta := \min\{\delta_0, \delta_1\} \gt 0$

则对于任意满足 $|x - a| \lt \delta$ 的 $x \in I$ ，有

$\begin{aligned} \left|\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(a)}\right| &= \left|\frac{f(a) - f(x)}{f(x)f(a)}\right| \\ &= \frac{|f(x) - f(a)|}{|f(x)||f(a)|} \\ &\lt \frac{m^2 \varepsilon}{m \cdot m} \\ &= \varepsilon \end{aligned}$

$\square$

命题 复合函数的连续性
令 $f: I \to \mathbb R$ 和 $g: J \to \mathbb R$ ，其中 $I, J \subset \mathbb R$ ，且 $f(I) \subset J$ 。
如果 $f$ 在 $a \in I$ 处连续，且 $g$ 在 $f(a)$ 处连续，则复合函数 $g \circ f$ 在 $a$ 处连续。

证明

任取 $\varepsilon \gt 0$
因为 $g$ 在 $f(a)$ 处连续，所以

${}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall y \in J:\ |y - f(a)| \lt \delta_1 \implies |g(y) - g(f(a))| \lt \varepsilon$

又因为 $f$ 在 $a$ 处连续，所以

${}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |f(x) - f(a)| \lt \delta_1$

那么，对于任意满足 $|x - a| \lt \delta_2$ 的 $x \in I$ ，有

$|g(f(x)) - g(f(a))| = |g(y) - g(f(a))| \lt \varepsilon$

$\square$

函数连续性的定义基于 $\varepsilon$ - $\delta$ 语言，而数列的极限也是同源的 $\varepsilon$ - $n_0$ 语言。因此通过数列的极限，可以获得等价的定义方式

命题
令 $I \subset \mathbb R$ ，函数 $f: I \to \mathbb R$ ，以及 $a \in I$ 。以下等价

$f$ 在 $a$ 处连续
对于任意 $I$ 中的数列 $\{x_n\}$ ，有 $x_n \xrightarrow{n \to \infty} a \implies f(x_n) \xrightarrow{n \to \infty} f(a)$

证明

(1) $\implies$ (2)
任取 $I$ 中的数列 $\{x_n\}$ ，满足 $x_n \xrightarrow{n \to \infty} a$ 。
任取 $\varepsilon \gt 0$ ，因为 $f$ 在 $a$ 处连续，所以

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon$

同时，数列的收敛给出

${}^\exists n_0 \in \mathbb N, {}^\forall n \in \mathbb N:\ n \gt n_0 \implies |x_n - a| \lt \delta$

因此，对于任意 $n \gt n_0$ ，有

$|f(x_n) - f(a)| \lt \varepsilon$

(2) $\implies$ (1)
使用反证法证明，假设 $f$ 在 $a$ 处不连续，则

${}^\exists \varepsilon_0 \gt 0, {}^\forall \delta \gt 0, {}^\exists x \in I:\ |x - a| \lt \delta \ \land \ |f(x) - f(a)| \geq \varepsilon_0$

因此，可以构造数列 $\{x_n\}$ 满足

$|x_n - a| \lt 1/n \quad \land \quad |f(x_n) - f(a)| \geq \varepsilon_0$

可以知道该数列收敛于 $a$ ，但 $f(x_n)$ 不收敛于 $f(a)$ ，与条件矛盾。
$\square$

以下重要结论与函数的连续性相关：

定理 Weierstrass 的最值定理
令函数 $f: [a,b] \to \mathbb R$ 连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且存在最大最小值。

证明

首先用反证法证明函数有界：假设函数没有界，则对于任意 $n \in \mathbb N$ ，都存在一个与之对应的 $x_n \in [a,b]$ ，使得 $|f(x_n)| \geq n$ 。
不妨基于这个对应构造数列 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N}$ ，因为各个 $x_n$ 都在 $[a,b]$ 上，即为有界。
Bolzano-Weierstrass 定理给出：存在一个收敛的子列 $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb N}$ ，那么显而易见的是

${}^\forall k \in \mathbb N:\ |f(x_{n_k})| \geq n_k$

然而，若设子列收敛值为 $x_0$ ，则根据函数的连续性，有

$f(x_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0)$

这意味着数列 $\{f(x_{n_k})\}_{k \in \mathbb N}$ 收敛，因而有界，这与原假设矛盾，故函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

接下来证明函数可取最值：因为有界性，可知

$A := \{f(x) \mid x \in [a,b]\}$

非空且有界，因此存在 $\sup A$ 和 $\inf A$
同时，上下确界的点列版本定义给出

${}^\exists \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \subset [a,b]:\ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \sup A$

根据 $A$ 的定义，显然对于各个 $n$ 都有

${}^\exists y_n \in [a,b]:\ f(y_n) = x_n$

再度应用 Bolzano-Weierstrass 定理，存在一个收敛的子列 $\{y_{n_k}\}_{k \in \mathbb N}$ ，设其收敛值为 $y_0$ ，则根据函数的连续性，有

$f(y_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(y_0)$

因此， $f(y_0) = \sup A$ ，同样的道理可以证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值。
$\square$

定理 中值定理
令函数 $f: [a,b] \to \mathbb R$ 连续，则 $f$ 可以取 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意值。

证明

不失一般性，可令 $f(a) \lt f(b)$ ，取 $m \in [f(a), f(b)]$ ，目标是证明存在 $c \in [a,b]$ 使得 $f(c) = m$ 。

定义

$x_0 := \sup\{x \in [a,b] \mid f(x) \leq m\}$

则根据上确界的性质

${}^\exists \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \subset \{x \in [a,b] \mid f(x) \leq m\}:\ \lim_{n \to \infty} x_n = x_0$

因此，根据函数的连续性，有

$f(x_n) \xrightarrow{n \to \infty} f(x_0)$

又因为对于任意 $n$ 都有 $f(x_n) \leq m$ ，所以 $f(x_0) \leq m$ 。

另一边，构造数列

$y_n := x_0 + \frac{b - x_0}{n}$

则 $y_n \xrightarrow{n \to \infty} x_0$ ，根据函数的连续性，有

$f(y_n) \xrightarrow{n \to \infty} f(x_0)$

因为 $y_n \gt x_0$ ，所以 $f(y_n) \gt m$ ，因此 $f(x_0) \geq m$ 。
综上， $f(x_0) = m$
$\square$

中值定理的一个重要结论是不动点定理：如果函数 $f: [a,b] \to [a,b]$ 连续，则存在 $c \in [a,b]$ 使得 $f(c) = c$ 。

# 一致连续性

一个函数即使在整个区间上连续，但是本质上也是遍历每一个定义域的点，并确保每一个点都有一个变化可控的邻域。
然而，这样的性质在纵观函数全局的时候略有不足

定义
令 $I \subset \mathbb R$ ，函数 $f: I \to \mathbb R$ 。
称函数 $f$ 在区间 $I$ 上 一致连续 (Uniformly Continuous)「一様連続」，当且仅当

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x,y \in I:\ |x - y| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon$

请注意这里的 $\delta$ 出现在 $x,y$ 的前面，说明这是一个对全局可控的 $\delta$ ，约束力将非常强

虽然直观上已经非常明确，但还是严格给出强弱关系的证明：

命题
如果函数 $f: I \to \mathbb R$ 在区间 $I$ 上一致连续，则 $f$ 在 $I$ 上连续。

证明

任取 $a \in I$
任取 $\varepsilon \gt 0$ ，因为 $f$ 在 $I$ 上一致连续，所以

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x,y \in I:\ |x - y| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon$

因此，对于任意满足 $|x - a| \lt \delta$ 的 $x \in I$ ，有

$|f(x) - f(a)| \lt \varepsilon$

$\square$

在判断一致连续性时，以下结论非常重要：有界闭区间上连续函数必定一致连续

命题
令 $I = [a,b]$ ，函数 $f: I \to \mathbb R$ 连续，则 $f$ 在 $I$ 上一致连续。

证明

使用反证法证明，假设 $f$ 在 $I$ 上不一致连续，则存在一个无法控制的误差 $\varepsilon_0 \gt 0$ ，使得对于任意 $\delta \gt 0$ ，都存在 $x,y \in I$ 满足

$|x - y| \lt \delta \quad \land \quad |f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0$

然而，我们可以取

$\delta := \frac{1}{n}$

因此，对于任意 $n \in \mathbb N$ ，都存在 $x_n,y_n \in I$ 满足

$|x_n - y_n| \lt \frac{1}{n} \quad \land \quad |f(x_n) - f(y_n)| \geq \varepsilon_0$

因为 $I$ 是有界闭区间，所以数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都是有界的。根据 Bolzano-Weierstrass 定理，存在一个收敛的子列 $\{x_{n_k}\}$ ，设其收敛值为 $x_0$ ，则根据数列的收敛性，有

$y_{n_k} \xrightarrow{k \to \infty} x_0$

又因为函数 $f$ 在 $I$ 上连续，所以

$\begin{cases} f(x_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0) \\ f(y_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0) \end{cases}$

因此，数列 $\{f(x_{n_k})\}$ 和 $\{f(y_{n_k})\}$ 都收敛于 $f(x_0)$ ，这与 $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \geq \varepsilon_0$ 矛盾。
$\square$

# 连续性

# 一致连续性

【数学分析】4-微分

【数学分析】2-数列