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# 函数的极限

目前已经熟知数列的极限，我们将极限的概念也引入到函数中。

定义
令点 a∈Ra \in \mathbb R 与一个定义在其去心邻域上的实值函数 ff
称 ff 在点 aa 处 极限 (Limit)「極限」 为 ℓ\ell，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: 0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

此时，记作

lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x \to a} f(x) = \ell

这里的定义使用去心邻域，重点在于强调即使函数在这一点无法取值，也可以得到该点的一个趋近值，这正是分析学中的关键手段

在实际分析中，不同于数列的单方面趋于无穷，函数自变量的趋近可以由两个不同的方向趋近。

  • 称函数 ff 在点 aa 处的左极限为 ℓ\ell，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: 0<a−x<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt a - x \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

  • 称函数 ff 在点 aa 处的右极限为 ℓ\ell，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: 0<x−a<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt x - a \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

为了在记号上进行区分

  • 记函数 ff 在点 aa 处的左极限为 lim⁡x→a−f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)，或者 lim⁡x↑af(x)\displaystyle\lim_{x \uparrow a} f(x)
  • 记函数 ff 在点 aa 处的右极限为 lim⁡x→a+f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)，或者 lim⁡x↓af(x)\displaystyle\lim_{x \downarrow a} f(x)

命题