# 函数的极限

目前已经熟知数列的极限，我们将极限的概念也引入到函数中。

定义
令点 $a \in \mathbb R$ 与一个定义在其去心邻域上的实值函数 $f$
称 $f$ 在点 $a$ 处 极限 (Limit)「極限」 为 $\ell$ ，当且仅当

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon$

此时，记作

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell$

这里的定义使用去心邻域，重点在于强调即使函数在这一点无法取值，也可以得到该点的一个趋近值，这正是分析学中的关键手段

在实际分析中，不同于数列的单方面趋于无穷，函数自变量的趋近可以由两个不同的方向趋近。

称函数 $f$ 在点 $a$ 处的左极限为 $\ell$ ，当且仅当

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt a - x \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon$

称函数 $f$ 在点 $a$ 处的右极限为 $\ell$ ，当且仅当

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt x - a \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon$

为了在记号上进行区分

记函数 $f$ 在点 $a$ 处的左极限为 $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$ ，或者 $\displaystyle\lim_{x \uparrow a} f(x)$
记函数 $f$ 在点 $a$ 处的右极限为 $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ ，或者 $\displaystyle\lim_{x \downarrow a} f(x)$

极限的定义同样可以被数列替换

命题
令点 $a \in \mathbb R$ 与一个定义在其去心邻域上的实值函数 $f$ ，则以下等价

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$
对任意收敛于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$ ，若满足 ${}^\forall n \in \mathbb N:\ x_n \neq a$ ，则有 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \ell$
若定义 $f(a) := \ell$ ，则 $f$ 在点 $a$ 处连续

证明

(1) $\implies$ (2)
任取收敛于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$ ，满足 ${}^\forall n \in \mathbb N:\ x_n \neq a$ ，任取 $\varepsilon \gt 0$ ，根据条件

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon$

由于 $x_n \to a$ ，所以

${}^\exists n_0 \in \mathbb N, {}^\forall n \geq n_0:\ |x_n - a| \lt \delta$

因此，对于任意自然数 $n \geq n_0$ ，有

$|f(x_n) - \ell| \lt \varepsilon$

(2) $\implies$ (3)
任取收敛于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$
取 $\{x_n\}$ 中所有不等于 $a$ 的项构成数列 $\{y_n\}$ ，则 $y_n \to a$ ，根据条件

$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \ell$

因此，数列 $\{f(y_n)\}$ 收敛于 $\ell$ ，又因为 $\{f(y_n)\}$ 是 $\{f(x_n)\}$ 的子列，所以 $\{f(x_n)\}$ 也收敛于 $\ell$ 。

(3) $\implies$ (1)
任取 $\varepsilon \gt 0$ ，由于 $f$ 在点 $a$ 处连续，所以

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon$

因此， $f$ 在点 $a$ 处的极限为 $\ell$ 。
$\square$

类似于实数列中收敛性等价于 Cauchy 列，在实值函数上也存在对应的等价关系

定理 Cauchy 条件
以下等价

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$
${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x, y \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta, 0 \lt |y - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon$

证明

(1) $\implies$ (2)
任取 $\varepsilon \gt 0$ ，根据条件

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon/2$

因此，对于任意 $x, y \in I$ 满足 $0 \lt |x - a| \lt \delta$ 和 $0 \lt |y - a| \lt \delta$ ，有

$|f(x) - f(y)| \leq |f(x) - \ell| + |\ell - f(y)| \lt \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$

(2) $\implies$ (1)
任取 $\varepsilon \gt 0$ ，根据条件

${}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x, y \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta, 0 \lt |y - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon/2$

因此，任取 $x \in I$ 满足 $0 \lt |x - a| \lt \delta$ ，有

$|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f(y)| + |f(y) - f(a)| \lt \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$

$\square$

命题 函数极限与四则运算
设函数 $f$ 和 $g$ 在点 $a$ 处的极限分别为 $\ell_f$ 和 $\ell_g$ ，对于 $k \in \mathbb R$ ，则以下成立

$\displaystyle\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \ell_f + \ell_g$
$\displaystyle\lim_{x \to a} k f(x) = k \ell_f$
$\displaystyle\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = \ell_f \ell_g$
若 $\ell_g \neq 0$ ，则 \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_f}

证明（暂时省略）

命题 函数极限与偏序关系
设函数 $f$ 和 $g$ 在点 $a$ 处的极限分别为 $\ell_f$ 和 $\ell_g$
若在 $a$ 的某去心邻域内满足

${}^\forall x \in I:\ f(x) \leq g(x)$

则 $\ell_f \leq \ell_g$

证明（暂时省略）

与数列极限类似，偏序关系的保持给出了以下常用结论

定理 夹逼定理
设函数 $f, g, h$ 在点 $a$ 处的极限分别为 $\ell_f, \ell_g, \ell_h$
若在 $a$ 的某去心邻域内满足

${}^\forall x \in I:\ f(x) \leq g(x) \leq h(x)$

那么如果 $\ell_f = \ell_h$ ，则 $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \ell_f$

证明（暂时省略）

# Landau 符号

通过 $\varepsilon$ - $\delta$ 的方法严格定义了 “无限接近” 到底是什么
在分析学的初期，无穷小本身还被当作一个运算对象实体，Landau 符号就是在这个背景下被引入的

考虑定义在 $x_0$ 的某个去心邻域上的函数 $f,g$ ，让 $x \to x_0$ ，我们想要分析二者趋近的速度差异，也就是考虑极限

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$

利用 Landau 符号 $o$

一般地，若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ $x \to x_{0} lim g (x) = 0$ ，则称 $g$ $g$ 在点 $x_0$ $x_{0}$ 处无穷小
- 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ ，这意味着 $f$ 比 $g$ 更快去到 $0$ ，称 $f$ 在点 $x_0$ 处是 $g$ 的高阶无穷小，记作 $f = o(g)$
同样，一般若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$ $x \to x_{0} lim g (x) = \infty$ ，则称 $g$ $g$ 在点 $x_0$ $x_{0}$ 处无穷大
- 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ ，这意味着 $f$ 比 $g$ 更慢趋近于 $\infty$ ，称 $f$ 在点 $x_0$ 处是 $g$ 的低阶无穷大，记作 $f = o(g)$

所以

$x \to x_0, f = o(g) \iff \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

我们希望右侧的极限在 $g$ 为 $0$ 也可以被定义，因此严格来说是

${}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \implies |f(x)| \leq \varepsilon |g(x)|$

另一边，若

${}^\exist M \in \mathbb R, {}^\exist \delta \gt 0,{}^\forall x: 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \implies |f(x)| \leq M |g(x)|$

这意味着趋于 $x_0$ 时， $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 有界。这记为 $f = O(g)$

总结一下

在趋于无穷小的时候
- $f = o(g)$ 表示 $f$ 比 $g$ 更快趋近于 $0$
- $f = O(g)$ 表示 $f$ $f$ 至少与 $g$ 一样快地趋于 $0$
在趋于无穷大的时候
- $f = o(g)$ 表示 $f$ 比 $g$ 更慢趋近于 $\infty$
- $f = O(g)$ 表示 $f$ 的增长速度不会超过 $g$ 的常数倍

如果利用 Landau 符号，可以做到重新表示很多概念，例如函数 $f$ 在点 $x_0$ 出的连续性等价于

$f(x) = f(x_0) + o(1)$

计算机算法的时间复杂度分析也常用 $O(g)$ 表示复杂度阶数

$O(1)$ ：常数阶
$O(\log n)$ ：对数阶
$O(n)$ ：线性阶
$O(n \log n)$ ：线性对数阶
$O(n^2)$ ：平方阶
$O(2^n)$ ：指数阶

需要提醒的一点是，严格来说并不应该写作等号（等价关系），而是应该写作 $f \in o(g)$ ，只是等号的形式更为方便。使用的时候要自己注意

$f_1 = o(g), f_2 = o(g) \not\Rightarrow f_1 = f_2$

示例
尝试利用 Landau 符号求解极限

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}
\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}

解（暂时省略）

# 函数的极限

# Landau 符号

【数理统计】6-抽样分布

【数学分析】3-函数的连续性