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# 函数的极限

目前已经熟知数列的极限，我们将极限的概念也引入到函数中。

定义
令点 a∈Ra \in \mathbb R 与一个定义在其去心邻域上的实值函数 ff
称 ff 在点 aa 处 极限 (Limit)「極限」 为 ℓ\ell，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: 0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

此时，记作

lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x \to a} f(x) = \ell

这里的定义使用去心邻域，重点在于强调即使函数在这一点无法取值，也可以得到该点的一个趋近值，这正是分析学中的关键手段

在实际分析中，不同于数列的单方面趋于无穷，函数自变量的趋近可以由两个不同的方向趋近。

  • 称函数 ff 在点 aa 处的左极限为 ℓ\ell，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: 0<a−x<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt a - x \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

  • 称函数 ff 在点 aa 处的右极限为 ℓ\ell，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: 0<x−a<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt x - a \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

为了在记号上进行区分

  • 记函数 ff 在点 aa 处的左极限为 lim⁡x→a−f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)，或者 lim⁡x↑af(x)\displaystyle\lim_{x \uparrow a} f(x)
  • 记函数 ff 在点 aa 处的右极限为 lim⁡x→a+f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)，或者 lim⁡x↓af(x)\displaystyle\lim_{x \downarrow a} f(x)

极限的定义同样可以被数列替换

命题
令点 a∈Ra \in \mathbb R 与一个定义在其去心邻域上的实值函数 ff，则以下等价

  1. lim⁡x→af(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell
  2. 对任意收敛于 aa 的数列 {xn}\{x_n\}，若满足 ∀n∈N: xn≠a{}^\forall n \in \mathbb N:\ x_n \neq a，则有 lim⁡n→∞f(xn)=ℓ\displaystyle\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \ell
  3. 若定义 f(a):=ℓf(a) := \ell，则 ff 在点 aa 处连续
证明

(1)   ⟹  \implies (2)
任取收敛于 aa 的数列 {xn}\{x_n\}，满足 ∀n∈N: xn≠a{}^\forall n \in \mathbb N:\ x_n \neq a，任取 ε>0\varepsilon \gt 0，根据条件

∃δ>0,∀x∈I: 0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon

由于 xn→ax_n \to a，所以

∃n0∈N,∀n≥n0: ∣xn−a∣<δ{}^\exists n_0 \in \mathbb N, {}^\forall n \geq n_0:\ |x_n - a| \lt \delta

因此，对于任意自然数 n≥n0n \geq n_0，有

∣f(xn)−ℓ∣<ε|f(x_n) - \ell| \lt \varepsilon

(2)   ⟹  \implies (3)
任取收敛于 aa 的数列 {xn}\{x_n\}
取 {xn}\{x_n\} 中所有不等于 aa 的项构成数列 {yn}\{y_n\}，则 yn→ay_n \to a，根据条件

lim⁡n→∞f(yn)=ℓ\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \ell

因此，数列 {f(yn)}\{f(y_n)\} 收敛于 ℓ\ell，又因为 {f(yn)}\{f(y_n)\} 是 {f(xn)}\{f(x_n)\} 的子列，所以 {f(xn)}\{f(x_n)\} 也收敛于 ℓ\ell。

(3)   ⟹  \implies (1)
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，由于 ff 在点 aa 处连续，所以

∃δ>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon

因此，ff 在点 aa 处的极限为 ℓ\ell。
□\square

类似于实数列中收敛性等价于 Cauchy 列，在实值函数上也存在对应的等价关系

定理 Cauchy 条件
以下等价

  • lim⁡x→af(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell
  • ∀ε>0,∃δ>0,∀x,y∈I: 0<∣x−a∣<δ,0<∣y−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x, y \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta, 0 \lt |y - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon
证明

(1)   ⟹  \implies (2)
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，根据条件

∃δ>0,∀x∈I: 0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−ℓ∣<ε/2{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - \ell| \lt \varepsilon/2

因此，对于任意 x,y∈Ix, y \in I 满足 0<∣x−a∣<δ0 \lt |x - a| \lt \delta 和 0<∣y−a∣<δ0 \lt |y - a| \lt \delta，有

∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−ℓ∣+∣ℓ−f(y)∣<ε/2+ε/2=ε|f(x) - f(y)| \leq |f(x) - \ell| + |\ell - f(y)| \lt \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon

(2)   ⟹  \implies (1)
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，根据条件

∃δ>0,∀x,y∈I: 0<∣x−a∣<δ,0<∣y−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣<ε/2{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x, y \in I:\ 0 \lt |x - a| \lt \delta, 0 \lt |y - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon/2

因此，任取 x∈Ix \in I 满足 0<∣x−a∣<δ0 \lt |x - a| \lt \delta，有

∣f(x)−f(a)∣≤∣f(x)−f(y)∣+∣f(y)−f(a)∣<ε/2+ε/2=ε|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f(y)| + |f(y) - f(a)| \lt \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon

□\square

命题 函数极限与四则运算
设函数 ff 和 gg 在点 aa 处的极限分别为 ℓf\ell_f 和 ℓg\ell_g，对于 k∈Rk \in \mathbb R，则以下成立

  1. lim⁡x→a(f(x)+g(x))=ℓf+ℓg\displaystyle\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \ell_f + \ell_g
  2. lim⁡x→akf(x)=kℓf\displaystyle\lim_{x \to a} k f(x) = k \ell_f
  3. lim⁡x→a(f(x)g(x))=ℓfℓg\displaystyle\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = \ell_f \ell_g
  4. 若 ℓg≠0\ell_g \neq 0，则 \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_f}
证明（暂时省略）

命题 函数极限与偏序关系
设函数 ff 和 gg 在点 aa 处的极限分别为 ℓf\ell_f 和 ℓg\ell_g
若在 aa 的某去心邻域内满足

∀x∈I: f(x)≤g(x){}^\forall x \in I:\ f(x) \leq g(x)

则 ℓf≤ℓg\ell_f \leq \ell_g

证明（暂时省略）

与数列极限类似，偏序关系的保持给出了以下常用结论

定理 夹逼定理
设函数 f,g,hf, g, h 在点 aa 处的极限分别为 ℓf,ℓg,ℓh\ell_f, \ell_g, \ell_h
若在 aa 的某去心邻域内满足

∀x∈I: f(x)≤g(x)≤h(x){}^\forall x \in I:\ f(x) \leq g(x) \leq h(x)

那么如果 ℓf=ℓh\ell_f = \ell_h，则 lim⁡x→ag(x)=ℓf\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \ell_f

证明（暂时省略）

# 微分可能性

在充分给出函数极限的定义和性质之后，才可以开始接触函数的微分

定义
令区间 I=[a,b]I = [a, b] 与一个定义在 II 上的实值函数 f:I→Rf:I \to \mathbb R
对于开集内的点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，称 ff 在点 x0x_0 处 可微分 (Differentiable)「微分可能」，当且仅当以下极限存在：

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

记该极限为 f′(x0)f'(x_0) 或 dfdx(x0)\displaystyle\frac{df}{dx}(x_0)，称为函数 ff 在点 x0x_0 处的 微分系数 (Derivative)「微分係数」。

如果一个函数在任意 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b) 处都可微分，通过将每一个点映射到对应的极限值（微分系数），可以得到一个新的函数

f′:(a,b)→R,x0↦f′(x0)f': (a, b) \to \mathbb R, x_0 \mapsto f'(x_0)

称函数 f′f' 为函数 ff 的 一阶微分 (First Derivative)「一阶微分」，或者 导函数 (Derivative Function)「導函数」

在此基础上，因为一阶微分同样可以进行微分可能性的判定，与微分系数的映射，因此还可以得到与一阶微分的微分相对应的函数

f′′:(a,b)→R,x0↦(f′)′(x0)f'': (a, b) \to \mathbb R, x_0 \mapsto (f')'(x_0)

称函数 f′′f'' 为函数 ff 的二阶微分。
类似地，三阶微分也可以表示为 f′′′f'''。但是通常来说随着微分阶数的增加，这样的表示会越来越不方便，因此习惯上对于三阶及以上的微分更多的记法是 f(n)f^{(n)}，其中 nn 是微分的阶数。

若一个函数在其定义域上 rr 阶微分存在，并且所有的微分函数都是连续的（注意：由于可微分强于连续性，所以这实际上是考察第 rr 阶微分的连续性），则称该函数为 CrC^r 类函数。
特别地，若对于任意 r∈Nr \in \mathbb N，函数都是 CrC^r 类的，那么称该函数为 C∞C^\infty 类，或者 光滑 (Smooth)「なめらか」 函数。

命题 微分与四则运算
令 f,gf,g 在点 x0x_0 处可微分，且 k∈Rk \in \mathbb R，则以下成立

  1. f+gf + g 在点 x0x_0 处可微分，且 (f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)
  2. kfk f 在点 x0x_0 处可微分，且 (kf)′(x0)=kf′(x0)(k f)'(x_0) = k f'(x_0)
  3. fgf g 在点 x0x_0 处可微分，且 (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)(f g)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0) g'(x_0)
  4. 若 g(x0)≠0g(x_0) \neq 0，则 fg\displaystyle\frac{f}{g} 在点 x0x_0 处可微分，且 \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}
证明（暂时省略）

定理 高阶 Leibniz 法则

(fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}

证明（暂时省略）