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# 函数的微分可能性

微分的概念在高中一般就有所接触，但是高中只是给出了导数表，给出了判定极值的方法。
实际上微分是应用极其广泛的概念，微分可能性也是数学分析中讨论的重点

在充分给出函数极限的定义和性质之后，才可以开始接触函数的微分

定义
令区间 I=[a,b]I = [a, b] 与一个定义在 II 上的实值函数 f:I→Rf:I \to \mathbb R
对于开集内的点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，称 ff 在点 x0x_0 处 可微分 (Differentiable)「微分可能」，当且仅当以下极限存在：

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

记该极限为 f′(x0)f'(x_0) 或 dfdx(x0)\displaystyle\frac{df}{dx}(x_0)，称为函数 ff 在点 x0x_0 处的 微分系数 (Derivative)「微分係数」。

如果一个函数在任意 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b) 处都可微分，通过将每一个点映射到对应的极限值（微分系数），可以得到一个新的函数

f′:(a,b)→R,x0↦f′(x0)f': (a, b) \to \mathbb R, x_0 \mapsto f'(x_0)

称函数 f′f' 为函数 ff 的 一阶微分 (First Derivative)「一阶微分」，或者 导函数 (Derivative Function)「導函数」

在此基础上，因为一阶微分同样可以进行微分可能性的判定，与微分系数的映射，因此还可以得到与一阶微分的微分相对应的函数

f′′:(a,b)→R,x0↦(f′)′(x0)f'': (a, b) \to \mathbb R, x_0 \mapsto (f')'(x_0)

称函数 f′′f'' 为函数 ff 的二阶微分。
类似地，三阶微分也可以表示为 f′′′f'''。但是通常来说随着微分阶数的增加，这样的表示会越来越不方便，因此习惯上对于三阶及以上的微分更多的记法是 f(n)f^{(n)}，其中 nn 是微分的阶数。

若一个函数在其定义域上 rr 阶微分存在，并且所有的微分函数都是连续的（注意：由于可微分强于连续性，所以这实际上是考察第 rr 阶微分的连续性），则称该函数为 CrC^r 类函数。
特别地，若对于任意 r∈Nr \in \mathbb N，函数都是 CrC^r 类的，那么称该函数为 C∞C^\infty 类，或者 光滑 (Smooth)「なめらか」 函数。

命题 微分与四则运算
令 f,gf,g 在点 x0x_0 处可微分，且 k∈Rk \in \mathbb R，则以下成立

  1. f+gf + g 在点 x0x_0 处可微分，且 (f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)
  2. kfk f 在点 x0x_0 处可微分，且 (kf)′(x0)=kf′(x0)(k f)'(x_0) = k f'(x_0)
  3. fgf g 在点 x0x_0 处可微分，且 (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)(f g)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0) g'(x_0)
  4. 若 g(x0)≠0g(x_0) \neq 0，则 fg\displaystyle\frac{f}{g} 在点 x0x_0 处可微分，且 (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)g(x0)2\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{g(x_0)^2} \quad
证明（暂时省略）

定理 高阶 Leibniz 法则

(fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}

证明（暂时省略）

一般来说，导函数满足介值定理，具有类似于连续函数的性质，但是以下例子中，函数具有不连续的导函数

示例
证明函数

f(x)={x2sin⁡(1x),x≠00,x=0f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

具有不连续的导函数

证明（暂时省略）

定理 Legendre 多项式
定义 nn 阶 Legendre 多项式

Pn(x):=12nn!dndxn(x2−1)nP_n(x) := \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 - 1)^n

满足：

  1. Pn′(x)=xPn′(x)+nPn−1(x)P_n'(x) = x P_n'(x) + n P_{n-1}(x)
  2. (x2−1)Pn′′(x)+2xPn′(x)+n(n+1)Pn(x)=0(x^2 - 1) P_n''(x) + 2 x P_n'(x) + n(n + 1) P_n(x) = 0
证明（暂时省略）

定理 Hermite 多项式
定义 nn 阶 Hermite 多项式

Hn(x):=(−1)nex2/2dndxne−x2/2H_n(x) := (-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}

满足：

  1. Hn′′(x)−xHn′(x)+nHn(x)=0H_n''(x) - x H_n'(x) + n H_n(x) = 0
  2. Hn′(x)=nHn−1(x)H_n'(x) = nH_{n-1}(x)
证明（暂时省略）

对于微分来说，以下结论尤为重要
接下来的中值定理，甚至包括 Taylor 定理，本质上都可以追溯到该结论

虽然极值这一概念应该并不陌生（实际上应该套用集合论章节中的极小元与极大元定义），这里还是给出定义方式

  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)≥f(x0)f(x) \geq f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取极小值
  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取极大值
  • 若函数在点 x0x_0 处取极小值或者极大值，则称 ff 在点 x0x_0 处取极值

严格意味着等号不成立

  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)>f(x0)f(x) \gt f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取严格极小值
  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)<f(x0)f(x) \lt f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取严格极大值

命题
令 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R，取点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，以下成立

  1. 可微分必连续：若 ff 在点 x0x_0 可微分，则 ff 在点 x0x_0 处连续
  2. 极值的必要条件：若 ff 在点 x0x_0 取极值，且在点 x0x_0 可微分，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0
证明（暂时省略）

# 中值定理

定理 Rolle 定理
设函数 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分
  • f(a)=f(b)f(a) = f(b)

那么存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得 f′(c)=0f'(c) = 0

证明（暂时省略）

定理 Lagrange 中值定理
设函数 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分

那么存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

证明（暂时省略）

引理
设函数 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分

那么如果在 (a,b)(a, b) 上满足 f′(x)≥0f'(x) \geq 0，则 f(a)≤f(b)f(a) \leq f(b)

证明（暂时省略）

引理
设 ff 在 aa 的邻域上连续，在去心邻域上可微分
那么如果存在 α=lim⁡x→af′(x)\alpha = \displaystyle\lim_{x \to a} f'(x)，则 ff 在点 aa 处可微分，并且 f′(a)=αf'(a) = \alpha

证明（暂时省略）

定理 Cauchy 中值定理
设函数 f,g:[a,b]→Rf, g: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 和 gg 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 和 gg 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分

那么存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得

f′(c)g′(c)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

证明（暂时省略）

# L'Hospital 法则

由 Cauchy 中值定理出发，得到的最广为人知的定理就是 L'Hospital 法则，这对于不定式的极限求解问题非常有用

实际上该定理是由 Johann Bernoulli 研究得出，但是 L'Hospital 购买了版权，并以自己的名字发表

定理 L'Hospital 法则
设函数 f,g:[a,b]→Rf, g: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 和 gg 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 和 gg 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分
  • lim⁡x→af′(x)g′(x)\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在

那么极限 lim⁡x→af(x)g(x)\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} 也存在，并且

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

证明（暂时省略）
  • 实际上 lim⁡x→af′(x)g′(x)\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在，这一要求意味着 aa 的邻域内 g′(x)≠0g'(x) \neq 0

L'Hospital 法则的强大之处在于面对 C∞C^\infty 类函数时，可以无限次重复使用该结论，最终求解出极限值，也就是说

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)=lim⁡x→af′′(x)g′′(x)=⋯=lim⁡x→af(n)(x)g(n)(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \cdots = \lim_{x \to a} \frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}

需要注意的是，L'Hospital 法则的适用范围是非常有限的，只能用于诸如 00\dfrac{0}{0} 或 ∞∞\displaystyle\frac{\infty}{\infty} 这样的不定式的极限求解问题，以下示例给出了一个说明：

示例
显然 lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = +\infty
但是如果我们使用 L'Hospital 法则的话，会得到 lim⁡x→0+01=0\displaystyle\lim_{x \to 0+} \frac{0}{1} = 0，这是一个错误的结论

即使是在使用范围内，滥用 L'Hospital 法则从学习者的角度上来说并不是一件好事
以下示例或许可以作为警钟，让我们不要过度依赖于 L'Hospital 法则，而是专注在极限求解的技巧性上

示例
求解极限值

lim⁡x→∞xx2+1\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

解

直接使用 L'Hospital 法则的话，会得到

lim⁡x→∞1xx2+1=lim⁡x→∞x2+1x\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}

再次使用

lim⁡x→∞xx2+11=lim⁡x→∞xx2+1\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

不难看出这是一个没有尽头的过程。

但是如果我们对分子分母同时除以 xx，就可以得到

lim⁡x→∞11+1x2=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1

□\square

# 合成函数与反函数的微分