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偏微分可能性确保了多元函数在特定方向上的变化性质，但是上升到高维角度，分量同时变化时可能会产生相互作用的叠加效果，使得原本在分量上偏微分可能的函数整体上并不具备良好的微分性质

为了确定多元函数作为整体的微分可能性，需要引入更强的 Frechet 微分

特别地，在有限维度下，Frechet 微分等价于全微分

以下作为区分，实数值函数记作 ff，向量值函数记作 FF

# Fréchet 微分

定义
设 U⊂RnU \subset \mathbb R^n 为开集，F:U→RmF: U \to \mathbb R^m
对于 a∈U\boldsymbol a \in U，如果存在线性映射 A:Rn→RmA: \mathbb R^n \to \mathbb R^m，使得

lim⁡h→0∥F(a+h)−F(a)−A(h)∥∥h∥=0\lim_{\boldsymbol h \to 0} \frac{\|F(\boldsymbol a + \boldsymbol h) - F(\boldsymbol a) - A(\boldsymbol h)\|}{\|\boldsymbol h\|} = 0

则称 FF 在 a\boldsymbol a 处 Fréchet 可微，AA 为 FF 在 a\boldsymbol a 处的 Fréchet 导数 (Fréchet derivative)，记作 DF(a)DF(\boldsymbol a)。

注意，通过极限定义微分是一元数学分析时引入的思想，由于极限本身的定义依赖于 ε−δ\varepsilon-\delta 式分析，所以通过极限给出的定义和通过 ε−δ\varepsilon-\delta 给出的定义是等价的
Frechet 可微性也可以写作

∀ε>0,∃δ>0,s.t.∥h∥<δ⇒∥F(a+h)−F(a)−A(h)∥<ε∥h∥\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{s.t.}\ \|\boldsymbol h\| < \delta \Rightarrow \|F(\boldsymbol a + \boldsymbol h) - F(\boldsymbol a) - A(\boldsymbol h)\| < \varepsilon \|\boldsymbol h\|

依据定义证明 Frechet 可微的问题与一元情形类似。但是需要注意以下顺序，不可替换：

  • 选取定义域内的元，并固定 x0\boldsymbol x_0
  • 依据固定的元，计算给出其的微分系数 A=DF(x0)A = DF(\boldsymbol x_0)
  • 任取 ε>0\varepsilon > 0 并固定，通过已有的数据定义出 δ>0\delta > 0
  • 在 B(x0,δ)B(\boldsymbol x_0, \delta) 内放缩

判断 Frechet 不可微的方式通常是利用极限的唯一性
即如果能找到某个方向使得极限值不为 00，则说明 Frechet 不可微

函数的全微分系数即为 Jacobi 矩阵

DF(a)=(∂F1∂x1(a)∂F1∂x2(a)⋯∂F1∂xn(a)∂F2∂x1(a)∂F2∂x2(a)⋯∂F2∂xn(a)⋮⋮⋱⋮∂Fm∂x1(a)∂Fm∂x2(a)⋯∂Fm∂xn(a))DF(\boldsymbol a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1}(\boldsymbol a) & \frac{\partial F_1}{\partial x_2}(\boldsymbol a) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}(\boldsymbol a) \\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1}(\boldsymbol a) & \frac{\partial F_2}{\partial x_2}(\boldsymbol a) & \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_n}(\bold a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}(\boldsymbol a) & \frac{\partial F_m}{\partial x_2}(\boldsymbol a) & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n}(\boldsymbol a) \end{pmatrix}

由于 Frechet 微分极强，可以覆盖所有分量上的偏微分，所以 Frechet 可微性可以得到所有方向的偏微分可能性
但是反过来，只要求各个分量的偏微分可能性并不能保证 Frechet 可微性，需要添加连续的条件

命题
令 U⊂RnU \subset \mathbb R^n 为开集，F:U→RmF: U \to \mathbb R^m

  • 若 FF 在 a∈U\boldsymbol a \in U 处 Fréchet 可微，则 FF 在 a\boldsymbol a 处各偏导数均存在
  • 若 FF 在 a∈U\boldsymbol a \in U 处各偏导数均存在，且各偏导数在 a\boldsymbol a 处连续，则 FF 在 a\boldsymbol a 处 Fréchet 可微

参照以下实例

示例
证明

f(x,y)={x3−y3x2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}

在 (0,0)(0,0) 处各偏导数均存在，但不可微 (Frechet)

证明

首先计算偏微分，在 (0,0)(0,0) 处的两方向上

lim⁡h→0f(h,0)−f(0,0)h=lim⁡h→0h3−0h2+0−0h=lim⁡h→0h2h2=1\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^3 - 0}{h^2 + 0} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h^2} = 1

lim⁡k→0f(0,k)−f(0,0)k=lim⁡k→00−k30+k2−0k=lim⁡k→0−k2k2=−1\lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0 - k^3}{0 + k^2} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{-k^2}{k^2} = -1

所以偏导数存在，fx(0,0)=1f_x(0,0) = 1，fy(0,0)=−1f_y(0,0) = -1
此时若函数在 (0,0)(0,0) 处 Frechet 可微，则其 Frechet 导数必定为

Df(0,0)=(fx(0,0),fy(0,0))=(1−1)Df(0,0) = (f_x(0,0), f_y(0,0)) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix}

将此微分值代入极限进行判断，沿方向 y=xy = x 趋于 (0,0)(0,0) 时

lim⁡(x,y)→(0,0)∣f(x,y)−f(0,0)−Df(0,0)(xx)∣x2+y2=lim⁡x→0∣x3−x3x2+x2−0−(1,−1)(xx)∣x2+x2=lim⁡x→0∣−2x∣2∣x∣=2≠0\begin{aligned} &\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|f(x,y) - f(0,0) - Df(0,0) \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}|}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ =& \lim_{x \to 0} \frac{\left|\frac{x^3 - x^3}{x^2 + x^2} - 0 - (1,-1)\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}\right|}{\sqrt{x^2 + x^2}} \\ =& \lim_{x \to 0} \frac{|-2x|}{\sqrt{2} |x|} = \sqrt{2} \neq 0 \end{aligned}

所以 ff 在 (0,0)(0,0) 处不可微 (Frechet)