在进入微分几何的复杂计算分析之前，熟练掌握向量之间的基本运算性质是非常有必要的。
微分几何大部分的情况下就是在对你计算能力的考验

# 内积与向量积

定义
对于向量 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b \in \mathbb R^n$ ，定义二者 内积 (dot product)「内積」 为

$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b := \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

同时

称满足关系 $\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = \|\boldsymbol a\| \|\boldsymbol b\| \cos \theta$ 的 $\theta \in \mathbb (-\pi, \pi)$ 为 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 之间的 夹角 (angle)「角度」。
称 $\|\boldsymbol a\| = \sqrt{\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a} \quad$ 为向量 $\boldsymbol a$ 的 模长 (magnitude)「大きさ」。

内积的概念在线性代数的内积空间中早已提及，这里只做提醒，重申定义是为了强调微分几何中通常讨论 Euclidean 空间 $\mathbb E^n$

一定要注意内积没有结合律，也就是说一般地 $(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c \neq \boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c)$

相比之下，更应该重视向量积的定义
向量积多数情况下也被称为外积，但是注意外积实际上包含多个内容，以下都被称为外积

向量积（cross product）
楔积（wedge product）
张量积（tensor product）

向量积并不能随意地定义在任意维度的空间中，在本课程中，我们仅讨论 $\mathbb R^3$ 空间中的向量积。

定义
对于 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b \in \mathbb R^3$ ，定义二者 向量积 (cross product)「外積」 为

$\boldsymbol a \times \boldsymbol b = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

很多地方也会将向量积的定义写为单一行列式形式。这样的好处是方便记忆，但是不禁让人思考在同一个行列式里面同时使用实数和向量两个不同类型的元素是否合理。

$\boldsymbol a \times \boldsymbol b = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \boldsymbol i -\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \boldsymbol j + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \boldsymbol k$

其中 $\boldsymbol i = (1, 0, 0), \boldsymbol j = (0, 1, 0), \boldsymbol k = (0, 0, 1)$ 分别是 $x, y, z$ 轴的单位向量。

向量积的计算中最需要注意的一点是非交换性

命题 向量积的计算性质
对于向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 和标量 $k$ ，有

$\boldsymbol a \times \boldsymbol b = -\boldsymbol b \times \boldsymbol a$
$\boldsymbol a \times (\boldsymbol b + \boldsymbol c) = \boldsymbol a \times \boldsymbol b + \boldsymbol a \times \boldsymbol c$
$(k\boldsymbol a) \times \boldsymbol b = k(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) = \boldsymbol a \times (k \boldsymbol b)$

证明

(1)

$\boldsymbol a \times \boldsymbol b = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = -\boldsymbol b \times \boldsymbol a$

(2)

$\boldsymbol a \times (\boldsymbol b + \boldsymbol c) = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 + c_1 & b_2 + c_2 & b_3 + c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \boldsymbol a \times \boldsymbol b + \boldsymbol a \times \boldsymbol c$

(3)

$(k\boldsymbol a) \times \boldsymbol b = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ k a_1 & k a_2 & k a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = k(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)$

同理可证 $\boldsymbol a \times (k \boldsymbol b) = k(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)$

$\square$

# 内积与向量积共存的计算

实际计算中往往会涉及到同时涵盖内积与向量积的表达式，在不了解下列计算性质的前提下化简它们会极其困难。
这些计算性质也是分水岭，熟练的人和不熟练的人在微分几何的学习中会拉开很大的差距

定义 标量三重积
对于 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b,\ \boldsymbol c \in \mathbb R^3$ ，定义其三者的 标量三重积 (Scalar Triple Product)「スカーラ三重積」 为

$[\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c] := \boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)$

标量三重积等价于行列式的表示，虽然不能随意交换顺序但是可以轮换。

命题 标量三重积的计算性质
对于 $\mathbb R^3$ 内的三元 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b,\ \boldsymbol c$

$\displaystyle[\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c] = \begin{vmatrix}\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b \cdot \boldsymbol c\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \quad$
轮换对称性: $[\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c] = [\boldsymbol b, \boldsymbol c, \boldsymbol a] = [\boldsymbol c, \boldsymbol a, \boldsymbol b]$

证明

(1)
从定义展开，由行列式的 Laplace 展开定理可知

$[\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c] = \boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = a\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$

(2)
显然，任意一个轮换在行列式上都等价于两次列交换，因此行列式不变

$\square$

回顾线性代数知识也可以知道，若标量三重积（行列式）不为零，意味着该矩阵正则，等价于三个列向量线性无关

定义 向量三重积
对于 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b,\ \boldsymbol c \in \mathbb R^3$ ，称

$\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)$

为三者的 向量三重积 (Vector Triple Product)「ベクトル三重積」

向量三重积在实际计算中很棘手，从简化的角度考虑需要尽可能减少向量积的数量，所以以下性质尤为重要

命题 向量三重积恒等式

$\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) = (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol c$

证明

从定义展开

$\begin{aligned} \boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) &= \begin{pmatrix} a_2 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} \\ -\left(a_1 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix}\right) \\ a_1 \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (a_2 b_2 + a_3 b_3) c_1 \\ (a_3 c_3 + a_1 c_1) b_2 - (a_3 b_3 + a_1 b_1) c_2 \\ (a_1 c_1 + a_2 c_2) b_3 - (a_1 b_1 + a_2 b_2) c_3 \end{pmatrix} \\ &= (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol c \end{aligned}$

$\square$

完成上述准备工作后，可以开始总结混合计算中的常用恒等式了

命题
对于 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b,\ \boldsymbol c,\ \boldsymbol d \in \mathbb R^3$ ，有

$(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) = (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol d) - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol d)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c)$
$(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) = [\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol d] \boldsymbol c - [\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c] \boldsymbol d$

证明

(1)
利用标量三重积的轮换对称，和向量三重积恒等式得到

$\begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) &= [\boldsymbol a \times \boldsymbol b, \boldsymbol c, \boldsymbol d] \\ &= [\boldsymbol c, \boldsymbol d, \boldsymbol a \times \boldsymbol b] \\ &= \boldsymbol c \cdot (\boldsymbol d \times (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)) \\ &= \boldsymbol c \cdot [(\boldsymbol d \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol a - (\boldsymbol d \cdot \boldsymbol a) \boldsymbol b] \\ &= (\boldsymbol d \cdot \boldsymbol b)(\boldsymbol c \cdot \boldsymbol a) - (\boldsymbol d \cdot \boldsymbol a)(\boldsymbol c \cdot \boldsymbol b) \\ &= (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol d) - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol d)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c) \end{aligned}$

(2)
也是利用向量三重积的恒等式

$\begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) &= \{ \boldsymbol a \cdot (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) \} \boldsymbol b - \{ \boldsymbol b \cdot (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) \} \boldsymbol a \\ &= [\boldsymbol a, \boldsymbol c, \boldsymbol d] \boldsymbol b - [\boldsymbol b, \boldsymbol c, \boldsymbol d] \boldsymbol a \\ &= [\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol d] \boldsymbol c - [\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c] \boldsymbol d \end{aligned}$

$\square$

定理 Jacobi 恒等式
对于 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b,\ \boldsymbol c \in \mathbb R^3$ ，有

$\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) + \boldsymbol b \times (\boldsymbol c \times \boldsymbol a) + \boldsymbol c \times (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) = \boldsymbol 0$

证明

$\begin{aligned} \boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) + \boldsymbol b \times (\boldsymbol c \times \boldsymbol a) + \boldsymbol c \times (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) &= (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol c + (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol a) \boldsymbol c \\ &- (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol a + (\boldsymbol c \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol a - (\boldsymbol c \cdot \boldsymbol a) \boldsymbol b \\ &= \boldsymbol 0 \end{aligned}$

$\square$

# 几何意义

向量积具有几何意义，其模长等于两个向量所张成的平行四边形的面积，方向则遵循右手定则。

命题
令 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 是 $\mathbb R^3$ 内的两个独立的向量，此时 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 的方向垂直于 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 所在的平面，且其长度等于以 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 为邻边的平行四边形的面积。

证明

令 $S$ 为以 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 为邻边的平行四边形的面积。面积公式给出

$S = \|\boldsymbol a\| \|\boldsymbol b\| \sin \theta$

其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 之间的夹角。
而另一边

$\|\boldsymbol a \times \boldsymbol b\| = \sqrt{\|\boldsymbol a\|^2 \|\boldsymbol b\|^2 \sin^2 \theta} = \|\boldsymbol a\| \|\boldsymbol b\| \sin \theta = S$

$\square$

同样地，注意到标量三重积的形式是对向量积的结果进行点乘，向量积的模长会依据夹角被保留下来，所以整体是体积的形式。但是需要去除符号的影响

命题
令 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 是 $\mathbb R^3$ 内的三个独立的向量，此时 $|[\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c]|$ 的值等于以 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 为邻边的平行六面体的体积。

证明

令张成的平行六面体的高为 $h$ ，z 轴夹角为 $\varphi$ ，则体积

$V = S h = \|\boldsymbol a \times \boldsymbol b\| \|\boldsymbol c\| \cos \varphi = \|(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c\| = |[\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c]|$

此处有绝对值的原因是 $\cos \varphi$ 可能为负数

$\square$

向量积在经由线性映射之后，会被拉伸或者压缩，其模长会乘以线性映射的行列式的绝对值

命题
令 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b \in \mathbb R^3$ 线性无关
且矩阵 $A$ 可逆，则有

$(A\boldsymbol a) \times (A\boldsymbol b) = |A| \; (A^T)^{-1} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)$

证明

对矩阵 $A$ 进行行向量分解

$A = \begin{pmatrix} \boldsymbol p_1^T \\ \boldsymbol p_2^T \\ \boldsymbol p_3^T \end{pmatrix}$

则借助内积与向量积的混合计算性质，有

$\begin{aligned} A \boldsymbol a \times A \boldsymbol b &= \begin{pmatrix} \boldsymbol p_1^T \boldsymbol a \\ \boldsymbol p_2^T \boldsymbol a \\ \boldsymbol p_3^T \boldsymbol a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \boldsymbol p_1^T \boldsymbol b \\ \boldsymbol p_2^T \boldsymbol b \\ \boldsymbol p_3^T \boldsymbol b \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (\boldsymbol p_2^T \cdot \boldsymbol a)(\boldsymbol p_3^T \cdot \boldsymbol b) - (\boldsymbol p_2^T \cdot \boldsymbol b)(\boldsymbol p_3^T \cdot \boldsymbol a) \\ -\left( (\boldsymbol p_1^T \cdot \boldsymbol a)(\boldsymbol p_3^T \cdot \boldsymbol b) - (\boldsymbol p_1^T \cdot \boldsymbol b)(\boldsymbol p_3^T \cdot \boldsymbol a) \right) \\ (\boldsymbol p_1^T \cdot \boldsymbol a)(\boldsymbol p_2^T \cdot \boldsymbol b) - (\boldsymbol p_1^T \cdot \boldsymbol b)(\boldsymbol p_2^T \cdot \boldsymbol a) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (\boldsymbol p_2^T \times \boldsymbol p_3^T)^T \\ (\boldsymbol p_3^T \times \boldsymbol p_1^T)^T \\ (\boldsymbol p_1^T \times \boldsymbol p_2^T)^T \end{pmatrix} \cdot (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \\ &= \begin{pmatrix} |A_{11}| & -|A_{12}| & |A_{13}| \\ -|A_{21}| & |A_{22}| & -|A_{23}| \\ |A_{31}| & -|A_{32}| & |A_{33} \end{pmatrix} \cdot (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \end{aligned}$

而同时，注意到矩阵的逆可以由伴随矩阵给出，所以

$(A^T)^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} |A_{11}| & -|A_{12}| & |A_{13}| \\ -|A_{21}| & |A_{22}| & -|A_{23}| \\ |A_{31}| & -|A_{32}| & |A_{33}| \end{pmatrix}$

综上，得到

$(A\boldsymbol a) \times (A\boldsymbol b) = |A| \; (A^T)^{-1} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)$

$\square$

# 内积与向量积

# 内积与向量积共存的计算

# 几何意义

【线性代数】1-矩阵

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