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梯度，散度与旋度是几何中重要的计算对象，形式上定义 nn 维空间上的 Nabla 算子为

∇:=(∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xn)\nabla := \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_1} \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x_2} \\[6pt] \vdots \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x_n} \end{pmatrix}

# 梯度

给定在开集 U⊂RnU \subset \mathbb R^n 上光滑的标量场 ff，定义其 梯度 (Gradient)「勾配」 为

grad:=∇f=(∂f∂x1∂f∂x2⋮∂f∂xn)\mathrm{grad} := \nabla f = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial x_2} \\[6pt] \vdots \\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}

梯度算子作用在标量场上，得到一个向量场

命题 梯度算子的计算性质
令 f,gf, g 为 UU 上的光滑标量场，a,b∈Ra, b \in \mathbb R，则

  1. 线性性质：grad(af+bg)=a gradf+b gradg\mathrm{grad}(af + bg) = a \, \mathrm{grad} f + b \, \mathrm{grad} g
  2. grad(fg)=f gradg+g gradf\mathrm{grad}(fg) = f \, \mathrm{grad} g + g \, \mathrm{grad} f
证明

(1)
梯度计算仅仅是各个分量上的偏微分合并，所以偏微分的线性性质直接给出梯度算子的线性性质
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几何意义上，梯度场 gradf\mathrm{grad} f 的方向是标量场 ff 增长最快的方向，且其模长表示在该方向上增长的速率

# 散度

# 旋度

旋度的定义本身比较复杂，但是好在实际应用中往往只需要处理二维旋度
给定 R2\mathbb R^2 上的向量场 F=(X1,X2)\boldsymbol F = (X_1, X_2)，定义其 旋度 (Curl)「回転」 为

rot F:=∇×F=∂X2∂x1−∂X1∂x2\mathrm{rot} \, \boldsymbol F := \nabla \times \boldsymbol F = \frac{\partial X_2}{\partial x_1} - \frac{\partial X_1}{\partial x_2}

命题 旋度算子的线性性质
令 F=(X1,X2),G=(Y1,Y2)\boldsymbol F = (X_1, X_2), \boldsymbol G = (Y_1, Y_2) 为 R2\mathbb R^2 上的光滑向量场，a,b∈Ra, b \in \mathbb R，则

  • rot(aF+bG)=a rot F+b rot G\mathrm{rot}(a\boldsymbol F + b\boldsymbol G) = a \, \mathrm{rot} \, \boldsymbol F + b \, \mathrm{rot} \, \boldsymbol G
证明

□\square