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我们在研究一个行列时，实际上是在研究其所蕴含的信息。 很多时候，我们并不关注内部的一些大数字，而是在意成分的互相关系。 所以在面对一些复杂的矩阵时，一个思路是被期待的：是否可以让复杂的行列通过某种变换，成为一个简单漂亮的行列，并且还可以尽可能地保留原矩阵的信息？ 请注意：特征值的讨论对象仅局限于 方阵，对于非方阵无法进行特征值的讨论，但是可以进行奇异值的讨论 # 特征值 为了解答第一个问题：到底什么样的信息是被需要的，需要引入以下内容 定义 令 AAA 为系数域 F\mathbb FF 上的 nnn 阶方阵 称数 λ∈F\lambda \in \mathbb...

不难看出，对线性变换的对角化本质上是在寻找一组更加优美的基。 那么，自然产生的疑问是：什么样的情况下对角化可以得到正交归一基？ 该问题可以拆解为 什么情况下得到的特征向量组是正交的 什么情况下得到的特征向量组是正交归一的 本节将分别从正交矩阵和酉矩阵出发，讨论这两个问题 # 正交矩阵诱导出的对角化 对角化所使用的矩阵 PPP 一般来说只是正则矩阵。 分析什么时候可以由满足 tP=P−1{}^t P = P^{-1}tP=P−1 的正交矩阵来进行对角化 此时，设 P−1AP=DP^{-1} A P = D P−1AP=D 那么 A=PDP−1A = P D...

通过线性变换的对角化，哪怕是对于一些看似非线性代数的问题，只要能按照以下流程，都可以被解决 构造出线性空间 找到某种条件对应的线性变换 通过对角化，用新的语言描述这一条件 回推到原问题中给出结果 # 线性递推数列 令 V=RNV = \mathbb R^\mathbb NV=RN，即所有实数数列 其中的元（数列）可以表示为（同时也可以作为列向量） a={an}n∈N=(a1,a2,a3,…)\boldsymbol a = \{a_n\}_{n \in \mathbb N} = (a_1, a_2, a_3,...

对角化非常强大，它可以抽取出线性映射中最漂亮的基，洞察空间的真实结构 但是对角化具有非常多的限制条件，例如现在已知对于 nnn 阶方阵来说 需要有 nnn 个线性无关的特征向量才可以对角化 需要是实对称矩阵才可以通过正交矩阵对角化 需要是 Hermitian 矩阵才可以通过酉矩阵对角化 那么有没有某一种变化，它的功效稍微低一些，但是可以对任意方阵执行呢？ 定理 上三角化定理 令 AAA 为 F\mathbb FF 上的 nnn 阶方阵，且 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots,...

# 内积空间 定义 令 VVV 为域 F\mathbb FF 上的线性空间，称映射 ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb F ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F 为 VVV 上的 内积 (Inner Product)「内積」，当且仅当对任意 a,b,c∈V\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c \in Va,b,c∈V，以及任意 k∈Fk \in...