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# 简化阶梯形 在线性代数中，一个给出的矩阵往往会被进行各种各样的预处理，从而提炼出最关心的核心信息 其中，最早，也是现在即将开始接触的其中一种，就是简化阶梯形 定义 将矩阵 AAA 进行行向量分割 A=(a1a2⋮am)A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \boldsymbol{a_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_m} \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​a1​a2​⋮am​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​ 称矩阵 AAA 为...

# 线性方程组 本节的一个重要应用是利用矩阵的行化简来解线性方程组 设有如下线性方程组 {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 +...

# 置换 作为行列式定义的铺垫，需要先了解什么是置换 考虑一个含有 nnn 个元素的集合 S={1,2,3,…,n}S = \{1, 2, 3, \ldots, n\} S={1,2,3,…,n} 定义映射 σ:S→S\sigma : S \to S σ:S→S 称 σ\sigmaσ 为集合 SSS 上的 置换 (Permutation)「置換」，当且仅当 σ\sigmaσ 为 SSS 到 SSS 的双射 记 SnS_nSn​ 为含有 nnn...

Laplace 展开是行列式计算中的一种重要方法，它通过将行列式展开为子行列式的线性组合，从而简化计算过程。 # 余子式 令 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij​) 为 nnn 阶矩阵，去掉其第 iii 行与第 jjj 列后所得到的 (n−1)(n-1)(n−1) 阶矩阵，称为 子矩阵，记作 AijA_{ij}Aij​。即 Aij=(a11⋯a1,j−1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮ai−1,1⋯ai−1,j−1ai−1,j+1⋯ai−1,nai+1,1⋯ai+1,j−1ai+1,j+1⋯ai+1,n⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1an,j+1⋯ann)A_{ij} =...

在该线性代数的笔记中，数域符号 F\mathbb FF 指代实数域 R\mathbb RR 或 复数域 C\mathbb CC 中的其中一个。 # 矩阵 在初等数学中，基本的计算单位是单一数字，也就是实数和复数。很显然一个数字只能蕴含一个信息 在线性代数中，数字这一概念将被推广，我们的基本计算单位将转为矩阵 简单来说，称被括号 [][][] 或 ()()() 包裹的，多个数字按行与列排列形成的二维数组为 矩阵 (Matrix)「矩阵」。 例如 A=(123456),B=[789101112]A = \begin{pmatrix} 1 & 2...